复数讲义(绝对经典)

1、实用标准复数一、复数的概念1 虚数单位i:（1）它的平方等于1 ，即 i 21 ；（ 2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立（ 3） i 与 1 的关系 :i 就是 1的一个平方根，即方程x21 的一个根，方程x21 的另一个根是 -i （4） i的周期性：i 4n 1i ， i 4n 21 ，i 4n 3i ，i 4 n1 实数 a( b0)2 数系的扩充：复数abi 虚数 a bi( b0)纯虚数bi( a0)0)非纯虚数 abi( a3 复数的定义：形如a，R )的数叫复数，a叫复数的实部， b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做bi( a b复数集，用字

2、母C 表示4 复数的代数形式 :通常用字母 z 表示，即 za bi (a ，bR) ，把复数表示成 abi的形式，叫做复数的代数形式5 复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系：对于复数 a bi( a ，bR) ，当且仅当b0时，复数 abi( a ，bR) 是实数 a ；当 b 0 时，复数z abi 叫做虚数；当 a0 且 b0时， zbi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时， z 就是实数 06 复数集与其它数集之间的关系：N 苘ZQ 苘 RC7 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等这就是说，如果 a ，a ，b ，d ，c ， dR ，那么

3、 abicdiac ， bd文档实用标准二、复数的几何意义1 复平面、实轴、虚轴：复数z，R )与有序实数对a ，b 是一一对应关系 建立一一对应的关系点Z的横坐a bi( a b标是 a ，纵坐标是 b ，复数 zabi( a ，bR ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数2 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0，它所确定的复数是z 0 0i 0表示是实数除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数3复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b)这就是复数的一种几

4、何意义也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法三、复数的四则运算1 复数 z1 与 z2 的和的定义：z1z2abicdiacbd i2 复数 z1 与 z2 的差的定义：12a bic dia cb d izz3 复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z14 复数的加法运算满足结合律: ( z1z2 )z3z1( z2z3 )5 乘法运算规则：设 z1abi ， z2c di ( a 、 b 、 c 、 dR ) 是任意两个复数，那么它们的积 z1 z2abic diacbdbcad i其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成 1 ，并且把实部与虚部分别合并

5、两个复数的积仍然是一个复数6 乘法运算律：（1） z1 z2 z3z1z2 z3（2） (z1 z2 ) z3z1 ( z2 z3 )（3） z1 z2z3z1 z2z1 z37 复数除法定义：满足 cdix yiabi 的复数 xyi ( x 、 yR ) 叫复数 abi 除以复数 c di 的商，记为：文档实用标准(a bi)c di 或者 abicdi8 除法运算规则：设复数 abi (a、 bR ) ，除以 cdi(c ， dR ) ，其商为 xyi （ x 、 yR ) ，即 ( abi)cdixyi xyicdicxdydxcy i cxdydxcy iabixacbdcxdya2

6、2由复数相等定义可知解这个方程组，得cd，dxcyb，bcadyc2d 2于是有 :(abi)cdiacbdbcadc2d22d2ic利用 cdicdic2d2 于是将 abi 的分母有理化得：cdi原式abi(abi)( cdi) acbi(di)(bcad )icdi(cdi)( cdi)c2d 2(acbd )(bcad)iacbdbcadc2d2c2d2c2d2 i ( (a bi)cdiacbdbcadi22c22cdd点评 : 是常规方法，是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数 cdi 与复数 cdi ，相当于我们初中学习的32 的对偶式32 ，它

7、们之积为1是有理数，而cdicdi22把这种方法叫做分母cd是正实数所以可以分母实数化实数化法9 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数文档实用标准例题精讲1 复数的概念【例 1】 已知aia，b 的值分别为（）12 bi(i 为虚数单位），那么实数i3A2，5B -3，1C-11D2，2【答案】 D【例 2】 计算： i 0! + i 1! + i 2! + i 100!（ i 表示虚数单位）【答案】 952i【解析】 i 41 ，而 4 | k! （ k4 ），故 i 0!+ i 1! + i 2! + i1

8、00!i i ( 1) ( 1) 1 97 95 2i【例 3】 设 z(2t 25t3)(t 22t2)i ， tR ，则下列命题中一定正确的是（）A z 的对应点 Z 在第一象限B z 的对应点 Z 在第四象限C z 不是纯虚数D z 是虚数【答案】 D22t 2(t210【解析】 t1)【例 4】 在下列命题中，正确命题的个数为（）两个复数不能比较大小；若 ( x21) (x23x 2)i 是纯虚数，则实数x1 ； z 是虚数的一个充要条件是z zR ；若 a ，b 是两个相等的实数，则( ab)( ab)i 是纯虚数； zR 的一个充要条件是zz z1 的充要条件是 z1 zA 1B

9、2C 3D 4【答案】 B【解析】 复数为实数时， 可以比较大小， 错； x1 时，22，错； z 为实数时，( x1) ( x 3x 2)i 0也有 zz R ，错； ab0 时， (ab)(ab)i0 ，错；正确2 复数的几何意义文档实用标准【例 5】 复数 zm2i（ mR ， i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）12iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】 A【解析】 由已知 zm2i(m2i )(12i )112i(12i )(12i )( m 4) 2(m 1)i 在复平面对应点如果在第一象限，则5m 4 0 ，而此不等式组无解即在复平面上对应的点不可能位于第

10、一象限 m 1 0【例6】若3 ，5 ，复数 (cossin)(sincos )i 在复平面内所对应的点在（）44A第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限【答案】 B【解析】 结合正、余弦函数的图象知，当3 ，5 时， cossin0 ，sincos0 44【例 7】 如果复数 z 满足 zi z i2 ，那么 zi 1的最小值是（）A 1B 2C 2D 5【答案】 A【解析】 设复数 z 在复平面的对应点为Z ，因为 ziz i 2 ，所以点 Z 的集合是y 轴上以 Z1 (0 ，1) 、 Z 2 (0 ， 1) 为端点的线段z i 1 表示线段 Z1Z2 上的点到点 ( 1， 1) 的距

11、离此距离的最小值为点Z2 (0 ， 1)到点 ( 1， 1)的距离，其距离为1【例 8】 满足 z1 及 z1z3 的复数 z 的集合是（）22A13 i ， 13 iB111122i ，i222222C22 i ， 22 iD 13 i ，13 i22222222【答案】 D【解析】 复数 z 表示的点在单位圆与直线x1z1z31 ，与点3 ，的距离上（2表示 z 到点002222相等，故轨迹为直线x1 ），故选 D2文档实用标准【例 9】 已知复数 ( x2)yi( x ，yR ) 的模为3 ，则 y 的最大值为 _x【答案】3【解析】 x2yi3 ，yOCx ( x2)2y23 ，故 (

12、 x，y) 在以 C(2 ，0) 为圆心，3 为半径的圆上，y 表示圆上的点 ( x， y) 与原点连线的斜率x如图，由平面几何知识，易知y 的最大值为3 x【例 10】复数 z 满足条件：2 z1zi ，那么 z 对应的点的轨迹是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线【答案】 A【解析】 A；设 zx yi ，则有 (2 x1) 2 yi x ( y1)i ，2222，(2 x 1)(2 y)x( y 1)22化简得：x2y15 ，故为圆339【点评】 zz0的几何意义为点z 到点 z0 的距离； zz0r (r0)中 z 所对应的点为以复数z0 所对应的点为圆心，半径为r 的圆上的点【例 11】复

13、数 z1 ， z2 满足 z1 z20， z1 z2z1z2 ，证明：z120 z 22【解析】 设复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点为Z1， Z2，由 z1z2z1z2 知，以 OZ1， OZ2为邻边的平z1z22 22行四边形为矩形，OZ1OZ 2 ，故可设ki( k R， k0)，所以1k ik0 zz222也可设 z1a bi ，z2cdi ，则由向量 (a ，b) 与向量 (c ，d ) 垂直知 acbd0，z1a bi(acbd )(bc ad)ibcad2z120 ，故z10 z2c di2d2c2d2 i2z2cz2【例 12】已知复数 z1 ， z2满足 z17 1 ，

14、 z27 1 ，且 z1z24 ，求 z1与 z1 z2 的值z2【答案】47 i ； 43【解析】 设复数 z1 ， z2 在复平面上对应的点为Z1， Z2 ，由于 (71)2(71)242 ，222故 z1z2z1z2 ，文档实用标准故以 OZ1， OZ2为邻边的平行四边形是矩形，从而OZ1OZ 2，则 z171i47i ；z2713z1 z2z1 z24 【例 13】已知 z1 ，z2C ， z1z2 1 ， z1 z23 ，求 z1z2 【解析】 设复数 z1，z2 ， z1z2 在复平面上对应的点为Z1 ，Z2，Z 3 ，由 z1z21知，以 OZ1 ， OZ2 为邻边的平行四边形是

15、菱形，记O 所对应的顶点为P ，由 z1 z23 知，PZ1O 120 （可由余弦定理得到） ，故Z1OZ260 ，从而 z1z21 【例 14】已知复数 z 满足 z (23i)z (23i)4 ，求 dz 的最大值与最小值【答案】 dmax221， d min13【解析】 设 zxyi ，则 ( x，y) 满足方程 ( x2)2y214dxyx41(x2) 3x228 ，8222233又 1 x 3 ，故当 x1，y0 时， dmin1；当 x8 ，y2 5时，有 d max2 213333 复数的四则运算【例 15】已知 mR ，若 (m664i ，则 m 等于（）mi)A 2B 2C

16、2D 4【答案】 B【解析】 (m mi)663662 m (2i)8im64i m 8 m【例 16】计算： (22i )12( 2 3i)100( 13i )9(123i )100【答案】 51121212(i100126【解析】 原式(1i)2 3)2(2i)193 i) 91003 i) 9 ( i)1002151129 (1 i(i23)29 (12222【例 17】已知复数 z1cosi ， z2sini ，则 z1 z2 的最大值为（）文档实用标准A 3B 2C 6D 322【答案】 A【解析】 z1 z2(cosi)(sini)(cossin1)(cossin )i(cos s

17、in 1)2(cos sin )2cos2sin 221sin22 2，4故当 sin 21 时，z1z2有最大值123 42【例 18】对任意一个非零复数z ，定义集合 M z w | wnN z ，n（）设 z 是方程 x10 的一个根，试用列举法表示集合M z 若在 M z 中任取两个数，求其和x为零的概率 P ；（ 2）若集合 M z 中只有3 个元素，试写出满足条件的一个z 值，并说明理由【答案】（ 1） 1 ；（ 2） z13i 322【解析】 （ 1） z 是方程 x210的根， zi 或 zi ，不论 zi 或 zi ， M z i ，i2，i3 ，i4 i ， 1， i ，1

18、，于是 P21C423（2）取 z13 i ，则 z213 i 及 z31 2222于是 M z z，z2 ，z3 或取 z13i （说明：只需写出一个正确答案）2225x6(x2)i0 【例 19】解关于 x 的方程 x【答案】 x1 3 i ，x2 2 25x60x或x3【解析】 错解：由复数相等的定义得x22 x20x2x分析：“ a bi c diac ，且 bd 成立” 的前提条件是 a ，b ，c ，dR ，但本题并未告诉x 是否为实数法一：原方程变形为x2(5i) x62i0 ，(5i) 24(62i)2i(1 i) 2 由一元二次方程求根公式得x1(5i) (1i)i， x2(

19、5 i)(1i)2322 原方程的解为x13i ， x22 文档实用标准法二：设 xabi( a ，bR) ，则有 (abi) 25(abi) 6( abi2)i0 ，(a2b25ab6) (2 ab 5ba2)i0a2b25a b 6 02ab 5ba20，由得： a5b2，代入中解得：a3或 a2 ，2b1b1b0故方程的根为 x13i ，x2 2 【例 20】已知22， z2(x2a)i ，对于任意 xR，均有 1az1xix12 成立，试求实数的取值范zz围【答案】 a1，12【解析】 z1z242122， xx( xa) ， (12(120对 xR 恒成立2a)xa )当 12a0

20、，即 a1 时，不等式恒成立；2当 12a0 时，12 a01 a1 4(12a)(1a2 ) 02综上， a1，12【例 21】关于 x 的方程 x2(2ai )xai10 有实根，求实数a 的取值范围【答案】 a1【解析】 误： 方程有实根，(2 ai )2ai )2504(14a解得 a 5或 a 522析：判别式只能用来判定实系数一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的情况，而该方程中 2a i与 1ai 并非实数正：设 x0 是其实根，代入原方程变形为x022ax01( a x0 )i0 ，由复数相等的定义，得x022ax010 ，解得 a1 x0a 0【例 22】设方程 x22x

21、 k0 的根分别为，且22 ，求实数 k 的值【答案】 k1 或 k3 4 4k 0 且2)2()244 4k (2 2) 2 ，【解析】 若，为实数，则(文档实用标准解得 k1 若 ，为虚数，则44k0 且，共轭，2()2()2444k (2 2)2 ，解得 k 3 综上， k1或 k3 【例 23】用数学归纳法证明：(cosisin)ncos()isin(n)，nNn并证明 (cosisin) 1cosisin，从而 (cosisin)ncos(n )isin( n ) 【解析】 n 1时，结论显然成立；若对 nk 时，有结论成立，即(cosisin)kcos(k)isin( k ) ，则

22、对 nk 1 ， (cosisink1(cosisin)(cosisink)由归纳假设知，上式(cosisin)cos(k )isin( k )(coscosksinsin k )icossin( k )sin cos kcos(k1)isin( k1) ，从而知对 nk1 ，命题成立综上知，对任意 nN ，有n(cosisin)cos(n)isin( n，)n N易直接推导知：(cosisin)(cosisin )(cos()isin()(cosisin)cos0isin 0 1故有 (cosisin1cosisin)(cosisin) n(cosisin) n(cos()isin() nc

23、os( n )isin( n)cos(n)isin( n) 【例 24】若 cosisinnn1n 2an 1 xan0 （ a1 ，a2 ， ，anR ）的解，是方程 xa1xa2 x求证： a1 sina2 sin 2an sin n0 【解析】 将解代入原方程得：(cosisin)na1 (cosisin) n 1an0 ，将此式两边同除以(cosisin)n ，则有：1a1 (cosisin) 1a2 (cosisin) 2an (cosisin ) n0，即1a1 (cosisin)a2 (cos2isin2 )an (cos nisin n)0，(1a1 cosa2 cos2an

24、cos n )i( a1 sina2 sin 2an sin n)0 ，由复数相等的定义得a1 sina2 sin 2an sin n0文档实用标准【例 25】设 x 、 y 为实数，且xy5，则 x y =_1 i12i13i【答案】 4【解析】 由x1y5知， x (1i )y (12i )5 (1 3i ) ，1i2i1 3i2510即 (5 x2 y5)(5 x4y15)i0 ，故 5x2 y50 ，解得x1 ，故 xy4 5x4 y150y5【例 26】已知z是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹z 1【答案】以1 ，为圆心， 1 为半径的圆，并去掉点(0 ，0) 和点 (1，0)

25、022【解析】 法一：设 zxyi （ x ，yR ），则zx yix(x1)y2yi是纯虚数，( x 1)2y2z 1 x 1 yi故 x2y2x 0( y0) ，即 z 的对应点的轨迹是以1 ，为圆心， 1为半径的圆，并去掉点(0 ，0) 和点 (1，0) 202法二：z是纯虚数，zz0（ z0 且 z1）11z1zzzzz( z 1)0，得到 22z z，1z0 ， z(z 1)zz1设 zxyi （ x，yR ），则 x2y2x （ y0 ） z 的对应点的轨迹以1 ，为圆心，1 为半径的圆，并去掉点(0 ，0) 和点 (1，0) 022【例 27】设复数 z 满足 z2 ，求 z2z4 的最值2zz4 ，则 z2z 4 z2zzz z( z 1 z) 【解析】 由题意， z设 z abi(2 a 2 ， 2 b 2) ，则 z2z 4 2 a bi 1 abi 2 2a 1 当 a1 时， z2z4 min0，此时 z115 i ；222文档实用标准当 a2 时， z2z4 min10，此时 z 2 【例 28】若 f (z)2zz3i， f (z i )6 3i ，试求 f ( z) 【答案】 6 4i【解析】 f (z)2zz3i， f ( z i)2(zi)( zi)3i2z2izi 3i2zz2i.又知 f ( zi)63i ， 2z