圆锥曲线大题综合测试(含详细答案).

1、圆锥曲线1设椭圆 M : x2y2a21 a2 的右焦点为 F1，直线 l : x与 x 轴交于点 A ，若 OF12F1 A（其中 O2a 2a22为坐标原点）（ 1）求椭圆 M 的方程；（ 2）设 P 是椭圆 M 上的任意一点，EF 为圆 N : x2y2 2 1的任意一条直径（ E 、 F 为直径的两个端点） ，求 PE PF 的最大值2 已知椭圆 E : x2y2 1 a b0 的一个焦点为 F13,0 , 而且过点 H3,1 .a2b22（）求椭圆E 的方程；（）设椭圆E 的上下顶点分别为A1 , A2 , P 是椭圆上异于A1 , A2 的任一点 , 直线 PA1 , PA2 分别

2、交 x 轴于点 N , M ,若直线 OT 与过点 M ,N的圆 G相切,切点为 T . 证明：线段 OT 的长为定值 , 并求出该定值 .yA1TP.GOMN xA23、已知圆O: x2y22 交 x 轴于 A,B 两点 , 曲线 C 是以 AB 为长轴 , 离心率为2 的椭圆 , 其左焦点为 F, 若 P 是圆 O2上一点 , 连结 PF, 过原点 O作直线 PF的垂线交直线 x=-2 于点 Q.( ) 求椭圆 C 的标准方程； ( ) 若点 P的坐标为 (1,1),求证 : 直线 PQ与圆 O相切；( ) 试探究 : 当点 P在圆 O上运动时 (不与 A、 B重合 ),y直线 PQ与圆

3、O是否保持相切的位置关系 ?若是 , 请证明；若不是, 请说明理由 .QPAFOBxy 2x2x1y1x2y2) 0 ，椭圆的离心率4 设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )是椭圆b21(a b 0) 上的两点，满足 (,) (,x 2babae3 , 短轴长为2，0 为坐标原点 . （ 1）求椭圆的方程；（ 2）若直线 AB 过椭圆的焦点F（ 0，c），（ c 为半焦距），2求直线 AB的斜率 k 的值；（ 3）试问： AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.5 、直线 l： y = mx + 1 ，双曲线22，问是否存在m 的值，使 l 与 C 相交

4、于 A , B 两点，且以 AB 为直径C： 3xy = 1的圆过原点6 已知双曲线 C： x2y21(a 0, b 0)的两个焦点为1，2a2b2F （-20）， F（ 2，0），点 P(3, 7) 在曲线 C上。（ 1）求双曲线 C 的坐标；（ 2）记 O为坐标原点，过点Q(0,2) 的直线 l 与双曲线 C 相交于不同两点E，F，若 OEF的面积为 2 2 ，求直线 l 的方程。7. 已知椭圆 C : x2y2 1( a b 0) 经过点 A(2, 1)，离心率为2 , 过点 B(3, 0) 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两a2b22点M,N（1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线

5、AM 和直线 AN 的斜率分别为 kAM 和 kAN ，求证 : kAMkAN 为定值8已知椭圆 C1 : x 2y2 1(ab 0) 的离心率为2 ，直线 l : yx 2 2 与以原点为圆心、以椭圆 C1 的短半a222b轴长为半径的圆相切。 （）求椭圆 C1 的方程；（）设椭圆 C1 的左焦点为F1，右焦点为 F2，直线 l1 过点 F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2 垂直 l1 于点 P，线段 PF2 的垂直平分线交l2 于点 M ，求点 M 的轨迹 C2 的方程；（）若 AC 、 BD 为椭圆 C1 的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形 ABCD 的面积的最小值9 设 F

6、 是椭圆 C： x2y21( ab 0) 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与 x 轴交于点 P，线段 MN为椭圆的长a2b2轴，已知 |MN | 8，且 | PM |2| MF |(1) 求椭圆 C的标准方程；（ 2）若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两点A、B 求证： AFM =BFN；(2) 求三角形 ABF面积的最大值10 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2 倍且经过点M (2,1) ，平行于 OM 的直线 l 在y轴上的截距为m(m 0)， l 交椭圆于 A、B 两个不同点（1）求椭圆的方程； （2m3）求的取值范围；（ ）求证直线 MA、 MB 与

7、x 轴始终围成一个等腰三角形。x 2y21( a b 0) ，左、右两个焦点分别为F1 、 F2 ，上顶点 A(0,b) ，AF1 F2 为正三角形11 已知椭圆 C ：ba 22且周长为 6.（ 1）求椭圆 C 的标准方程及离心率；（ 2） O 为坐标原点，P 是直线 F1 A 上的一个动点，求 | PF2 | PO |的最小值，并求出此时点P 的坐标12 如图，设P 是圆 x2y22 上的动点， PD x 轴，垂足为 D ， M 为线段 PD 上一点，且|PD|= 2|MD| ，点 A 、F1 的坐标分别为（0， 2 ），（ 1，0）。（ 1）求点 M 的轨迹方程；（ 2）求 |MA|+|

8、MF 1|的最大值，并求此时点M 的坐标。13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中。椭圆 C : x2y21 的右焦点为 F ，右准线为 l 。2（ 1）求到点 F 和直线 l 的距离相等的点G 的轨迹方程。（ 2）过点 F 作直线交椭圆 C 于点 A, B ，又直线 OA 交 l 于点 T , 若 OT2OA ，求线段 AB 的长；（ 3）已知点 M 的坐标为 x0 , y0 ,x0x0 xy0 y1于点 N ，且和椭圆 C 的一个交点为点P ，0 ，直线 OM 交直线2，使得 OP2是否存在实数OM ON ? ，若存在，求出实数；若不存在，请说明理由。yTAOFxBl第18题图11A(a2

9、，a22，01a220) F1OF12AF10a222a2a 223a 26a 22MM :x2y214622N : x2y221N1PEPFNENPNFNP 6NFNPNFNP 72228NPNFNP 1PE PF29NPPMP x0 ，y010x02y021x026 3 y021162N 0,2NP22y022 y021212x021y02 ， 2y01NP21213PE PF11142A10,1 ,A2 0, 1, Px0, y0,PA1 : y 1y01 x , y0 , xNx0 ;x0y01PA2 : y 1y01 x , y0 , xMx0;x0y01|OM | |ON |x0x

10、0x02y01 y0 1y02,1x02y021, x024 1 y02,|OM | |ON| 44MNQGQ,GM ,GO , r|GM |OT 2OG2GM 2(OQ2QG2 ) (MQ2QG2 )OQ 2MQ 2(| OQMQ |)(| OQ |MQ|)|OM| |ON| 4|OT |2.OT2l43 7.(14) :( )a2, e2,c=1, b=1,2Cx 2y 2152() P(1,1),kPF12 ,OQy=-2x,Q(-2,4)7, k2OQkPQ1, kOP 1, k OPk PQ1, OP PQ,PQO10()PO,PQO11: P( x , y) ( x02),y22

11、x2 ,k PFy 0,k OQx 01 ,0000x 01y 0OQyx 01 xQ(-2,2 x 02 )12y 0y0y 02 x 02y0y 0y2(2 x 02)22 x 0x 0k PQ0x0,kOPx013x02( x 02) y0( x 02) y 0y 0kOPk PQ1, OPPQ,PQO.144 91 2b2.b1, eca 2b 23a2.e3y2x21. 2aa242ABykx3ykx3( k24) x223k , x1 x 21y2x 2123kx 10x1x2k 24k 2444x1 x2y1 y220x1 x21 (kx13)( kx23) (1k ) x1 x

12、23k (x1 x2 )3b2a 24444k 24 (1)3k23k3 ,解得 k274k 244k 2443AB.S AOB=18A，BABy=kx+bykxb2kb( k24) x2240得到 x1x2y2x22kbx bk 2144x1 x2b 24 x1 x2y1 y20x1 x2(kx1b)(kx2b)0代入整理得 : 2b2k 2411k 2444S1x2 |1| b | ( x1 x2 )2| b | 4k 24b2164k 21| b | x14x1 x2 |k 242 | b |221261c2,971且 c2a2b2a22,b22a2b2x2y221422lly=kx+2

13、 E x1 , y1F x2 , y2y=kx+2x2y21 (1k 2 ) x24kx60221 k 20=16k 224(1 k2 )0k 233 k3x1x214k且 x1 x26k 21k 2|EF |1k 2( xx )24 x x1k2(4k) 224812121k 2k2 1Od12S1 | EF | d22k 224k)2242 2k=2 ,(k2k211ly2x2y2x212411,a2b271a2b2c2 ,a6 b3c2 .a2Cx2y215632llyk( x3)yk (x3),x2y 2(12k2 ) x212k 2 x18k 26 0 .7631,lCMN 144k

14、44(12k 2 )(18k26)24(1 k 2 )01k1.M N(x1, y1 ) (x2 , y2 )x1 x212k 2x1x218k26y1k (x1 3) y2k( x2 3)912k212k2kAMy11y2110kAN2x22x1( kx13k1)(x22)(kx23k1)( x12)2kx1x2(5k1)( x1x2 )12k4( x12)( x22)x1 x22( x1x2 ) 42k(18k26)(5k1) 12k 2(12k 4)(12k 2 )4k 2418k 26 24k24(12k2 )2k222kAMkAN2148 6e2 ,e2c2a2b21 , a22b2

15、2a2a22直线 l : xy20与圆 x2y 2b 222b,b2,b24,a28,2C1x2y21.384MP=MF 2Ml1 : x2F220MC l1F2MC2y28x6ACACkA( x1 , y1 ), C (x2 , y2 )ACyk( x 2).x2y21及 y k (x2)得 (1 2k 2 ) x28k 2 x 8k 28 0.848k 28k 2x1x22 , x1 x2812k12k2 .|AC |(12)(x1 x2 )2(1k2)( x1 x2 )24x1 x2 32( k21)k12k 291132(1k2 )BD,用kk| BD |k 22kAC BDABCDS

16、1|AC| |BD|16(1 k 2 ) 2122( k22)(1 2k 2 )(1222) (12k2 )(k 22)23(k 21) 22k )( k264 ,当1 2k22Sk 22时, 即 k1139ACABCDS 89(1)|MN |8a = 4|PM|=2|MF |a2a2(a c) 即 2e2210e121(舍去)1又a3e或 e或e 1(舍去)|PM |2|MF |得a 2(a c)即2e3e 1 0c3c22c2b2a2c212椭圆的标准方程为x 2y 211612(2) 当 AB的斜率为0 时，显然AFMBFN0. 满足题意当 AB的斜率不为0 时，设 A( x1 , y1

17、 ), B( x2 , y2 ) ， AB方程为 xmy 8,代入椭圆方程整理得(3m24) y 248my 144 0则( 48m) 24144(3m24), y1y248my1 y 2144y1y2y1y23m 246( y13m 24kAFkBF2my1 y2y2 )0116(my6)(my6)x 2 x22 my 6 my212kAFkBF0, 从而 AFMBFN .综上可知：恒有AFMBFN(3) S ABF S PBF SPAF1 | PF| | y2y1 |72 m2423m2472m247272333(m24)161623243 16mm24当且仅当3 m2416即m228 （

18、此时适合0 的条件）取得等号 .m243三角形 ABF面积的最大值是33x2y210【解析】：（1）设椭圆方程为a2b21(ab0)a2ba28x2y21则 411解得2所以椭圆方程a2b2b282（ 2）因为直线 l平行于 OM ，且在 y 轴上的截距为 m11y1 xm又 KOMm 由2x22mx 2m24 02，所以 l 的方程为： yxx2y22182因为直线 l 与椭圆交于A、B 两个不同点，(2 m)24(2m24)0,所以m 的取值范围是m |2m 2, m 0 。（ 3）设直线 MA、 MB 的斜率分别为k1 , k2 ，只要证明 k1k20 即可设 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，则 k1y11 , k2y21x12x22由 x22mx2m240可得 x1x22m, x1x22m24而 k1y1 1y21( y1 1)( x22) ( y2 1)( x12)k22x22( x12)( x22)x1(1x1m 1)( x22) (1x2 m 1)(x1 2)x1x2 (m2