专题：与圆有关的最值问题

1、与圆有关的最值（取值范围）问题引例1:在坐标系中，点A的坐标为（3 ,0）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2设 tan / BOC=m则m的取值范围是 .引例2 :如图，在边长为1的等边OAB中，以边AB为直径作OD,以O为圆心OA长为半径作OO,C为半圆弧AB上的一个动点（不与 A、B两点重合），射线AC交O O于点E, BC=a , AC=b，求a b的最大值.P为圆O上一动点，以 P为圆心，PA长引例3:如图，/ BAC=60，半径长为1的圆O与/ BAC的两边相切,为半径的圆P交射线AB、AC于D E两点，连接DE贝懺段DE长度的最大值为（).此题是一个圆中的

2、动点问题,也是圆中的最值问题,主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接1 .引例1:通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点 O A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是 高中“直线斜率”的直接运用；2 .引例2:通过圆的基本性质，寻找动点 C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用；3.弓侧3:本例动点的个数由引例 1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、 动点关联上增加了题目的难度，

3、解答中还是注意动点 D、E与一个定点A构成三角形的不变条件 （/ DAE=60 ）,构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用；综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透二、解题策略1 .直观感觉，画出图形；2 .特殊位置，比较结果；3 .理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立 等式，进行转化三、中考展望与题型训练 例一、斜率运用如图，A点的坐标为（-2 , 1）,以

4、A为圆心的O A切x轴于点B, P（a, b）为O A上的一个动点，请分别探索:【拓展延伸】：b 2a的范围；b -2a的范围；例二、圆外一点与圆的最近点、最远点1 如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=4, BC=3点D是平面内的一个动点，且 AD=2, M为BD的中点，在 D点运动过程中，线段 CM长度的取值范围是2. 如图，O O的直径为4, C为O O上一个定点，/ ABC=30 ,动点P从A点出发沿半圆弧 AB向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧)，当P点到达B点时运动停止，在运动过程中，过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.(1) 在点P的运动过程中，线段(

5、2) 在点P的运动过程中，线段CD长度的取值范围为;AD长度的最大值为.例三、正弦定理1 如图， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 , AB=2,. 2 , D是线段 BC上的一个动点，以 AD为直径作OO 分别交ABAC于E, F两点，连接EF,则线段EF长度的最小值为2.如图，定长弦 CD在以AB为直径的O O上滑动(点 C D与点丄AB于点P,若CD=3 AB=8贝U PM长度的最大值是 .A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP例四、柯西不等式、配方法1如图，已知半径为 2的OO与直线I相切于点A,点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点 P作直线I的垂线，垂足为C, PC

6、与OO交于点D,连接PA PB,设PC的长为x ( 2V x V 4),则当x=时，PD?CD的值最 大，且最大值是为2. 如图，线段AB=4, C为线段AB上的一个动点，以AC BC为边作等边 ACD和等边 BCE OO外接于 CDE则O 0半径的最小值为（）.A.4 B. 2 3 C.33. 22D. 23. 在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O O, P是O 0上一动点，且 P在第一象限内，过点P作O 0的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,线段AB长度的最小值是例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角）则线段CE长度的最小值是.1 如图，在 Rt ABC中，/ C

7、=90°, AC=6 BC=8 D为AB边上一点，过点 D作CD的垂线交直线 BC于点E,2.如图，Rt ABC中，/ C=90°,Z A=30°, AB=4,以AC上的一点 0为圆心 0A为半径作O 0,若O 0与边BC始终有交点（包括 B、C两点），则线段A0的取值范围是 _.3如图，射线 PQ/射线MN PML MN A为PM的中点，0为射线PQ上的一个动点， AC丄AB交MN于点C,当以0为圆心，以0B为半径的圆与线段PM有公共点时（包括P、M两点），则线段0P长度的最小值为例五、其他几何知识的运用如图所示，AC丄AB, AB=6, AC=4,点D是以AB

8、为直径的半圆 0上一动点，DEL CD交直线AB于点E,设/ DAB=, (0 ° V :- < 90 °).若要使点E在线段 0A上(包括 0、A两点)，则tan的取值范围为.©1【题型训练】1如图，已知直线I与O 0相离，0ALI于点A,0A=50A与O 0相交于点P,AB与O 0相切于点B, BP的延长线交直线I于点C,若在O 0上存在点Q使厶QAC是以AC为底边的等腰三角形，则O 0的半径r的取值范围为.CDGF0B E2.已知：如图， Rt ABC中，/ B=90o,Z A=30o, BC=6cm点0从A点出发，沿 AB以每秒 廳cm的速度向B 点

9、方向运动，当点 0运动了 t秒(t >0)时，以O点为圆心的圆与边 AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点, 过E作EG丄DE交射线BC于 G.(1) 若点G在线段BC上，贝U t的取值范围是 ;(2) 若点G在线段BC的延长线上，则t的取值范围是.3. 如图，O M O N的半径分别为 2cm, 4cm,圆心距MN=10cm P为O M上的任意一点，Q为O N上的任意一点,tan/.-的最大值为().”、V6(B)4,、(A)-(C)1233Q.Pn i直线PQ与连心线I所夹的锐角度数为:,当P、Q在两圆上任意运动时,ABCD中,4.如图，在矩形AB=3, BC=4, 0为矩形 AB

10、CD勺中心，以D为圆心1为半径作O D, P为O D上的一个动点，连接 AP 0P则厶AOP面积的最大值为().(A)4(B)21(C)35(D)175.如图，在 Rt ABC中，/ C=90°, AC=8 BC=6经过点 C且与边AB相切的动圆与 CA CB分别相交于点 P、 Q则线段PQ长度的最小值是（）.A.194246.如图，在等腰 Rt ABC中，/ C=90°, AC=BC=4 D是AB的中点，点E在AB边上运动（点 E不与点A重合），过A、D E三点作O 0,0 O交AC于另一点F,在此运动变化的过程中，线段EF长度的最小值为7.如图， 一个动点,A B两点的

11、坐标分别为 线段DA与y轴交于点C.1（2 , 0）、（0, 2） , O C的圆心的坐标为（-1 , 0），半径为1,若D是O C上的 丘，则厶ABE面积的最小值是2卫2B&如图，已知 一个动点，射线1, D是OC上的(0 , 1),().A B两点的坐标分别为（-2 , 0）、AD与y轴交于点丘，则厶ABE面积的最大值是（）.1110C.33Rt ABC中，/ ACB=90 , AC=BC=4 O C的半径为1,点P在斜边 AB上, PQ切O O于点 Q 则9.如图，等腰 切线长PQ长度的最小值为（）.A. 7 B.22C. 3D.410.如图/ BAC= 60°，半径长1O P交射线AB AC于D E两点,的OO与/ BAC的两边相切, 连接P为O O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的DE则线段DE长度的范围为 .E.D B11.在直角坐标系中，点A的坐标为（3, 0），点P （ m, n ）12 .在坐标系中，点 A的坐标为(3, 0),点B是y轴右侧一点，且 AB=2,点C上直线y=x+