2013李永乐复习全书(数一)第八章例题整理可供自己再做一遍答案见书!!

1、2013李永乐复习全书（数一）例题（无答案）（第八章）x21、求下列极限：（I） lim|1 + 進、xy丿(a")3三2 .+y2、证明极限2 2x +ylim 2LW，0 )x2+y2+(x-y)不存在.3、求下列函数在指定点处的偏导数:(I)设 f (x,y )=x2+( y-1 )arcs in,求兰cx4、5、6、7、9、f 2222(n) f(x,y)邛x+y)ln(x+y(x，小(0,0)，求f0,0 )与 f 0,0)0,(x,y)=(0,0)ex设u=e'Xsinx，则空巴在点2丄】的值为求下列函数在指定点处的二阶偏导数:-.2/、x-y 土 C z(I)

2、z= arctan,求cx1-xy-.22G z(n) z=ln(1+x +y )，求说 f1,1设 z=f (u,v,x )u=W(x,y ),v= (y )都是可导函数，求复合函数z=f (W(x,y )，屮(y ),x )的偏导数与皂.excy设z=f （u,v ）,u=w（x,y ）,v=屮（x,y ）具有二阶连续导数，求复合函数Q zZ=f （W（x,y ），屮（x,y ）的二阶偏导数一 cxI y2+yz-zt2=0 设u=f （x,y,z,t）关于个变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定z,t为y的函数，求与皀ex科tez+zs in t=0设u=u（x,y ）有二阶连续偏导数，

3、证明在极坐标变换X二rcos日,y = rsin下有f2r2“rAf 2c u c u C u 1 cu1 c u+ =2+一 一C 22C20'2exbyorrerr10、设函数z=（1+ey ）cosx-yey，证明：函数z有无穷多个极大值点，而无极小值点11、求函数z=x y(4-x-y )在由直线x+y=6， x轴和y轴所围成的区域 D上的最大值与最小值.12、已知平面曲线 Ax2+2Bxy+Cy2=1 (C >0, AC -B2 >0 )为中心在原点的椭圆求它13、的面积.求函数u=ln (x+Jy2+z2 )在点A(1,0,1 )沿A指向B(3,-2,2 )方向

4、的方向导数.14、22Yr设有曲面 S : 一 +y2+=1，平面 n ： 2x+2y + z+5=0 .24(I)在曲面S上求平行与平面 n的切线方程；(n)求曲面S与平面n之间的最短距-15、16、I x=tI 2一在曲线<y=-t，的所有切线中，与平面 x+2y+z=4平行的切线z=t3(A)只有一条.(B)只有两条.(C)至少有三条.(D)不存在.Ix2 +z2=10求曲线r： « 22 ，在点M0(1,，,3)处的切线与法平面方程.y +z =1017、良.1=-sin y+,设 z(x,y )满足 ex1-xy 求 z( x,y ).L z(1y 尸sin y,18

5、设 f (x,y )= <x +y i 0,x3y 22d,x +y H(0,0)，则 x2 + y2=(0,0 ),、f (x,y )在(0,0 )处19、(A)连续，偏导数存在.(C)不连续，偏导数存在.22设 f . I字yX%2 H(0,0 卜设 f (x,y )= <x +y 22,、1x2+y2= 0,0 ,(B)连续，偏导数不存在.(D)不连续，偏导数不存在20、21、22、22 7x +y0,处的可微性，若可微并求dfz=(x2+y2 )e-arctan y ,x-2求dz与土Z<xy-.2c zzUg 创(x+y)，求：yu=f U ly X丿，求dU与豊廿

6、cf(I)求 一，一 ；(n)讨论 f(x,y )在(0,0)ex cyp2z尸2z23、设z=z(x,y)是由方程xy+x+y-z=ez所确定的二元函数，求 dz ,耳及excxy24、设由方程护(bz-cy,cx-az,ay-bx )=0确定隐函数z=z(x,y卜其中W对所有连续偏导数,ppFzrza,b,c为非零常数，且b®1 £2 h0,求a一+b一. excy25、设严f(x-uty-ut,z-ut)求包，昱I g (x,y,z )=0,excy26、设z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足影2oz-4竺+3=0 ,cxiycyex2(I)作变量替换 u=3x+

7、y , v=x+y , 以u,v作为新的自变量，变换上述方程;(n)求满足上述方程的z(x,y ).2 . 2 z=x +y ,27、在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积的最大者 28、在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆x+y+z = 1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?29、曲面2x2 +3y2+z2=6上的点P(1,)处指向外侧的法向量为 n,求函数u=屈 +8y在点P处沿方向n的方向导数.30、设在xOy平面上，各点的温度 T与点的位置间的关系为 T=4x2+9y2，点P0为(9,4),求： (I) gradT p ； (n)在点P)处沿极角为

8、210°的方向I的温度变化率;(川)在什么方向上点 P0处的温度变化率取得：1°最大值；2°最小值；3°零，并求此最大、最小值 .31、设 f'(u)H0 , x0+y0 HO ,则曲面 z=f (Jx2+y2 )上点丘二©% )(20 =f (Jx02+y7)处的法线与z轴的关系是32、(A) 平行 (B) 异面直线(C)垂直相交(D)不垂直相交设F(x,y,z )有连续偏导数，求曲面S:n-,-,- =0上灯点(怡$0,20)处的切平面ly z X 丿方程，并证明切平面过定点盲,ttt22233、证明曲线： x=ae cost, y=ae si nt, z=ae与锥面 S： x