求数列通项八法

1、八法求通项湖北 何先付一、归纳法：观察所给数列每一项的特点，分析项数 n 与数值 an 之间的对应关系，找出规律：一是找出每项中与项数无关的因素， 让其保持不变； 二是找出随项数变化的因素与项数 n 的联系，写出通项公式，再代回检验，如有不符适当调整。当然正确与否还要用数学归纳法进行证明。例 1、11 ，13 ， 15 ，17， 22426282解析：观察整式部分为 1；分母为偶数2n 的平方；分子为奇数2n-1；符号奇数项为正，偶数偶为负可用 (-1)n-1 表示，因而通项为 an1 ( 1) n 1 2n21 .(2n)例 2、 1，2+3，4+5+6， 7+8+9+10，11+12+13

2、+14+15， 解析：它为自然数列的前 n 项的和 Sn 被分成第一项为，第二项为后两项的和，第三项为后三项的和，依此类推 a11， 216 3，410 6，3 1，3=S a =S -S a =S -S a =S -Sa5=S15-S10， ，注意到 S 的脚标，归纳得anS1 2 3nS123n 1Sn( n 1)Sn (n 1)22n( n1) n(n 1)n(n1)n(n1)2(21)2(21)n( n21).222二、定义法：若能根据条件先判断一个数列是等差数列或等比数列，则可用公式：an=a1+(n-1)d 或 an=a1qn-1 求出该数列的通项公式。例 3、已知数列 a n 满

3、足 a1=1， an 12an(nN*) ，求数列 a n 的通项公an2式。解析：在 an 12an两边取倒数，得11 1111，所以an 2an 12 anan 1an2数 列 1 为 等 差 数 列 ， 公 差 为 d1，首项为 11， 因 此an2a111 (n 1) 1 n 1 ，故 an2 。an22n 1例 4、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且有 a1=2，3Sn=5an-an-1+3Sn-1，求数列 an 的通项公式。解析：由 3Sn=5an-an-1+3Sn-1，得 3（Sn-Sn-1）=5an-an-1，即 3an=5an-an-1，所以an1， 数 列 a n

4、为 等 比 数 列 ， 公 比 为 q1， 首 项 为 a1=2， 故an 122an2 (1 )n 1( 1) n 2 。22三、公式法：若知道一个数列的通项公式的表达形式， 则可根据题目条件，确定待定系数，从而求出其通项公式。例 5、设等差数列 an 的前 n 项和是 Sn，bn= 1 ，且 a3 b3= 1 S3 +S5=21。求Sn2数列 an 和 b n 的通项公式。解析：由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得11a11(a1 2d )23a1 3dd.(3a13d) (5a110d )211所以 an=1+(n-1)=n， bn112。Snn(n1) n( nn1)2四、前 n

5、项和法：时， nnn-1；验证所得的通项公确定当 n=1 时， a1 1；推出2=Sna =S -S式， n=1 时 an 与 1 的关系，若1适合 时， n 的表达式，则可合并，否则写aan2a成 ana1 (n1)=SnSn 1 ( n 2)例 6、设数列 a n 的前 n 项和是 Sn=3n2-n（nN*），求数列 a n 的通项公式。解析：当 n=1 时， a1= S1=2；当 n 2 时， an=Sn-Sn-1=(3n2-n)-3(n-1) 2-(n-1)=6n-4.些式对 n=1 也适用。所以 an=6n-4.例 7、已知数列 a n 的前 n 项和是 Sn，且满足 a1= 1 ，

6、an=-2Sn Sn-1（n2）。2求数列 1 是否为等差数列？请证明你的结论。Sn解析：因an=Sn-Sn-1 ，所以Sn -Sn-1= -2Sn Sn-1 ，两边同除以-Sn Sn-1 ，得1 11 ，所以数列 1 为等差数列。SnSn 12Sn五、累差法：，则可用等差数列的通项公式求n ；若若 ann-1常数n1a -a-a =d()a =a +(n-1)d-aa=f(n)(与 n 有关的式子 )，则可用累差法： a=（a -a ） +（ a）+ +n n-12）（ 2nn n-1n-1 n-2（ a3+1） 1 求 n 。-aa -a +aa1(n2) ，求数列 a n 的通例 8、已

7、知数列 a n ，满足 a1=1，an =an-1 +n( n1)项公式。解析：由条件，知 ann-1111，所以-a=-n(n 1)n1 nan =（ an-an-1）+（an-1-an-2）+（ a3 -a2）+ （a2-a1）+a1（1 1） +（11）+ +（11）+（11）+1=2-1=-2-1-.n 1 nn 2 n 132n六、累商法：若 an=q(常数，则可用等比数列的通项公式n 1 n-1求 an；若 an=f(n)(与an 1)a =a qan 1n 有关的式子 )，则可用累商法：nan· an 1· · a3· a2·a1

8、 求 n 。a =an 1an 2a2a1a2 2例 9、设 a n 是首项为 1 的正项数列，且（ n+1）an+1 -n an + an+1an=0(n=1，2，3， )，求它的通项公式。解析：原式可分解为（ an+1 +an）（n+1）an+1-n an=0 ，因an 为“正项数列”，所以（ n+1） an+1n ，从而 an 1n，故-n a =0n1annan·an 1· ·a3·a21n 1·n 2· ·2·1· 1=1a =an 1an 2a2a1·a=n 132.nn七、递推法：

9、若给出数列的递推公式， 则可适当递推得出所要的结论， 再转化处理。 但要特别注意，在递推时， n 的取值范围的变化。例 10、(2004 全国高考卷 I，理 15) 已知数列 an ，满足 a1=1，an =a1 +2a2 +33n-1n 的通项 an1n1a + +（n-1）a(n 2) ，则数列 a_n2解析：由条件递推，得 an-1 123（n-2） n-23) =a+2a +3 a +a (n-，得 ann-1n，所以 nn-1，即 ann(n3)，- a=(n-1)aa =naan 1又由，知 a21，=a =1所以 an=an· an1· · a3 &

10、#183; a2=n(n-1)×3(n3)ana24an121n1,21n1an=n(n 1)432n(n1)4 3n3n!222n例 11、（2005 山东济宁一模， 18）已知各项均为正数的数列 a n 中，Sn 是a 与 1 的等差中项，其中 S 是其前 n 项和，求数列 a 的通项公式。nnn解析：由条件，得 2Snan14Snan22an1 递推，得4Sn 1an212an11 （ n 2） -，得 4( SnSn1 )an2an212an2an1即 4an an2an2 12an2an 12(anan 1 ) (anan 1 )( anan 1 )因数列 a n 各项均为正数，所以 an an12 （n2），从而数列 a n 为等差数列，公差为 d=2，由，令 n=1，注意到 S11，可求得1 。=aa =1故 an=1+(n-1)× 2=2n-1.八、待定系数法：若已知an+1=pan+q，则可设an+1+x=p(an+x) ，展开合并，比较对应系数，得xq， 故 an 1qp(anq ) ， 所 以 数 列 anq 是 首 项 为p1p1p 1p 1a1q，公比为 p 的等