华师版第28章-圆知识点总结与练习题

1、第28章圆知识点复习与练习题一、圆的概念集合形式的概念：i、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:二、点与圆的位置关系1、点

2、在圆内dr点C在圆内；2、点在圆上dr点B在圆上；3、点在圆外dr点A在圆外；三、直线与圆的位置关系平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。A,I C2、直线与圆相切有一个交点;3、直线与圆相交有两个交点;-可编辑修改-四、圆与圆的位置关系外离（图1）无交点外切（图2）有一个交点相交（图3）有两个交点R r；内切（图4）有一个交点内含（图5）无交点五、垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且

3、平分弦所对的另一条弧3个结论，即:以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它AB是直径AB CD CEDE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在。中，AB /CDB-'MAC 弧 BD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的 3个结论，即： AOB DOE ; AB DE ;OC OF ;弧BA 弧BD七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆

4、周角等于它所对的圆心的角的一半。即：: AOB和 ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 AOB 2 ACB2、圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在。中，C、D都是所对的圆周角C D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在。中，.AB是直径或C 90C 90，AB是直径推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，.OC OA OB. MBC是直角三角形或 C 90注：此推论实是八年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一

5、半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在。中，C BAD 180B D 180四边形ABCD是内接四边形DAE C九、切线的性质与判定定理(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：: MN OA且MN过半径OA外端.MN是。O的切线(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1 ：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论2 :过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、

6、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：.PA、PB是的两条切线PA PBPO平分 BPA、圆骞定理(1)相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在。中，弦AB、CD相交于点P, .PA PB PC PD(2)推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在。中，直径AB CD ,2. CE AE BE(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在。中，PA是切线，PB是割线PA2 PC PB(4)割线定理：从圆外一点

7、引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)即：在。中，PB、PE是割线. PC PB PD PE十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：O1O2垂直平分 AB o即：O1、O 02相交于A、B两点.0102垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：(1)公切线长： Rt 0102c 中，AB2 CO12 go22 CO22 ;(2)外公切线长： CO2是半径之差； 内公切线长：CO2是半径之和-可编辑修改-十四、圆内正多边形的计算(1)正三角形在O O中4 ABC是正三角形，有关计算在Rt BOD中进行：O

8、D:BD:OB 1:62；(2)正四边形同理，四边形的有关计算在 Rt OAE中进行，OE:AE:OA 1:1: 22 :(3)正六边形同理，六边形的有关计算在Rt OAB 中进行，AB:OB:OA 1: 73:2.卜五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式n R1、扇形：(1)弧长公式：l ；180n R2(2)扇形面积公式：S 36011R 2n ：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长S :扇形面积D1母线长C12、圆柱：(1)圆柱侧面展开图S表 S侧 2s底=2 rh 2 r2(2)圆柱的体积：V r h3 .圆锥：(1)圆锥侧面展开图Si S侧S底=Rr/12,(2)圆锥的体积：V

9、 r h3十六、内切圆及有关计算(1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）祥BC中， C 90,AC b,BC a,AB c,则内切圆的半径r-1 ，（3） Svabc 2r（a b c）,其中a, b, c是边长，r是内切圆的半径。（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC切。O于点B, AB为弦，/ABC叫弦切角，/ ABC= /D。C练习题一、选择题1 .（北京市西城区）如图，BC是。O的直径，P是CB延长线上一点,于点A,如果PA=由，PB=1 ,那么/APC等于（）（A） 15（B） 30（C） 45（D） 60PA

10、 切。O2.（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱九章算术中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为。的直径，弦 ABXCD,垂足为E, CE= 1寸，AB =寸，求直径CD的长”.依题意，CD长为 （）（A） 一寸（B） 13 寸（C） 25 寸（D） 26 寸23.（北京市朝阳区） 已知：如图，。半径为5, PC切。O于点C, PO交。O于点A,PA=4,那么PC的长等于 （）（A） 6（B） 2 V5（C） 2 v,10（D） 2 v144.（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20兀平方厘米，它

11、的母线长为 5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于(A) 2厘米（B） 2、5厘米（C）4厘米（D）8厘米5.（重庆市）如图，。为MBC的内切圆，ZC=90 , AO的延长线交 BC于点D,AC = 4, DC=1 ,则。O的半径等于（）5(B)45(D)-66 .（重庆市）一居民小区有一正多边形的活动场.为迎接“AAPP”会议在重庆市的召开，小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台,花台都以多边形的顶点为圆心,比多边形的内角为圆心角，花台占地面积共为12兀平方米.若每个花台的造价为400 元,则建造这些花台共需资(A) 2400 元(B) 2800 元(C) 3200

12、 元(D) 3600 元AB7.（成都市）如图，已知AB是。O的直径,弦CDLAB于点P,CD=10 厘米，AP : PB=1 ： 5,那么。O的半径是(A) 6厘米(C) 8厘米(D) 5J3厘米8.(成都市)在 RtZABC 中，已知 AB=6, AC=8, /A= 90AC旋转一周得到一个圆锥， 其表面积为S1；把RtAABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2 ,那么S1 ： S2等于(A) 2：3(B) 3 ： 4(C) 4 ： 9(D) 5 ： 129.（苏州市）如图,O的弦AB=8厘米，弦CD平分AB于点E.若CE=2厘米.ED长(A) 8厘米(B) 6厘米(C)4厘

13、米(D) 2厘米.如果把RtZABC绕直线10.（广东省）如图，若四边形 ABCD是半径为1和。O的内接正方形，则图中四个弓形（即四个阴影部分）的面积和为（A） （2兀一2）厘米（B） （2兀一1）厘米（C）（兀一2）厘米（D）（兀一 1）厘米11 .（武汉市）如图，已知圆心角/ BOC= 100 ,则圆周角/ BAC的度数是(A) 50(B) 100(C) 130(D) 20012 .（武汉市）已知：如图,E是相交两圆。M和。O的一个交点，且 MEXNE,2.（重庆市）如图,AB是。O的直径，四边形ABCD内接于。O,c c cBC CD AD比为3 ： 2 ： 4, MN是。O的切线，C是

14、切点，则/ BCM的度数为的度数AB为外公切线，切点分别为 A、B,连结AE、BE.则/AEB的度数为(A) 145(B) 140 °(C) 135 °( D) 130二、填空题1.（北京市东城区）如图，AB、AC是。O的两条切线，切点分别为是优弧 砧上的一点，已知/ BAC= 80 ,那么/BDC =度.4.（重庆市）如图，四边形ABCD内接于。O, AD /BC,BC=6,则四边形 ABCD的面积为A3+CD =AD + B。，若 ad = 43.（重庆市）如图， P是O O的直径AB延长线上一点，PC切。O于点C, PC= 6,BC : AC= 1 ：2,则 AB 的

15、长为5 .（哈尔滨市）如图，圆内接正六边形 ABCDEF中，AC、BF交于点M .则SzxabmSA AFM6 .（南京市）如图， AB是。的直径，弦 CDLAB,垂足是 G, F是CG的中点，延长AF 交。于 E, CF= 2, AF=3,则 EF 的长是7 .（福州市）在。O中，直径 AB = 4厘米，弦 CDLAB于E, OE= J3 ,则弦CD的长为厘米.8 .（河南省）如图，AB为。的直径，P点在AB的延长线上，PM切。于M点.若OA = a, PM= J3a,那么PMB的周长的9 .（四川省）扇形的圆心角为120 ,弧长为6兀厘米，那么这个扇形的面积为 10.（贵阳市）某种商品的商

16、标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为4,ZA= 60 , BD是以a为圆心，ab长为半径的弧，CD是以B为圆心，BC长为半径的弧， 则该商标图案的面积为 11 .（成都市）如图，PA、PB与。O分别相切于点 A、点B, AC是。的直径,PC交。O于点D,已知/APB=60 , AC = 2,那么CD的长为12 .（温州市）如图，扇形 OAB中，Z AOB = 90 ,半径OA = 1 , C是线段AB的中点,OA,交黜于点D,则CD =13 .（常州市）已知扇形的圆心角为 150 ，它所对的弧长为20兀厘米，则扇形的半径是厘米，扇形的面积是 乎方厘米.14 .（常州市）如图，D

17、E是。O直径，弦ABIDE,垂足为C,若AB = 6,CE=1，则CD =OC =三.简答题：1 .如图，MN 是半径为1的。O的直径，点 A在OO上，/AMN=30 ° , B为AN弧的中点，点 P是直径 MN上一个动点，则求 PA+PB的最小值2.如图，AB是。O的直径，点 D在AB的延长线上，且 BD OB,点C在O O上，/CAB=30 ° ,求证：DC是。O的切线.3.如图,AB既是。C的切线也是。D的切线，O C与O D相外切，O C的半径r=2 , O D的半径R=6 ,求四边形 ABCD的面积。4 .如图，BC是O O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线 D

18、E平分AC于E,求证:AC 是。O的切线.（2）若AD : DB=3 : 2, AC=15 ,求。O的直径.5 .如图，AB是。O的直径，点P在BA的延长线上，弦 CD ±AB,垂足为E,且PC2 PE ? PO . （1）求证:PC是。的切线；（2）若OE：EA=1 ：2, PA=6 ,求。的半径；（3）求Sn PCA的值.（12分）6 .如图，O O的两条割线 AB、AC分别交圆。于D、B、E、C,弦DF/AC 交BC于C.（1）求证：AC FG BC CG；（2）若CF=AE.求证：4ABC为等腰三角形.-可编辑修改-7 1 “ 吆 7 .如图，AB是。的直径，弦 CD，AB与点E,点P在O O上，/1=/C,（1）求证：CB /PD ;3(2)右 BC 3, Sin P ,求。O 的直径。5-可编辑修改-8 .如图，4ABC内接于。O, AB是。O的直径，PA是过A点的直线，/ PAC=