探究与发现为什么截口曲线是椭圆

1、普通高中课程标准实验教科书人教 A 版选修 1-1/ 选修 2-1第二章圆锥曲线与方程-> 选修 1-1 2.1椭圆/ 选修 2-1 2.2椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆【拓展学习材料】如图 1，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆，那么为什么截口曲线是椭圆呢？图 1图 2Have a try!如图 3，用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱，得到一条截口曲线，你能仿照上述方法，证明截口曲线也是椭圆吗？图 31GPDandelin （丹德林）GerminalPierre Dandelin(1794-1847)是比利时著名的数学家，工程学教授.他在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果

2、，举世闻名的 Dandelin 双球就以他的名字命名 . 由于在数学学科上的巨大成就， 1825 年，他在布鲁塞尔被推举为皇家科学院院士 .课外提升 ( 一) ：定理在空间中，取直线 l 为轴，直线 l' 与 l 相交于 O 点，其夹角为 ， l ' 围绕 l 旋转得到以 O 为顶点， l ' 为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴 l 交角为 （当 与 l 平行时，记 0），则：（ 1） ，平面 与圆锥的交线为椭圆；（ 2） ，平面 与圆锥的交线为抛物线；（ 3） ，平面 与圆锥的交线为双曲线 .结论（ 1）问题：利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个

3、位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明： ，平面 与圆锥的交线为椭圆 .证明 step1：利用 Dandelin 双球，证明交线为椭圆（已证）.证明 step2：上面一个 Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为/；如果平面 与平面 的交线为 m，在图中椭圆上任取一点A，该 Dandelin 球与平面 的切点为 F，则点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的距离比是（小于 1）.（称点 F 为这个椭圆的焦点，直线 m 为椭圆的准线，常数为离心率 e.）.如图 4, 上面一个 Dandelin 球与圆锥的交线为圆 S,记

4、圆 S，所在的平面为 . 设 与 的交线为 m.在椭圆上任取一点 P,连接 PF1 .在 中过 P作 m的垂线 ,垂足为 A.过 P作 的垂线 , 垂足为 B, 连接 AB, 则 AB是 PA在平面 上的射影 .mSQ1ABF1P图42容易证明 , mAB.故PAB是平面与平面交成的二面角的平面角 .在 Rt ABP中,APB, 所以PBPAcos.1设过 的母线与圆 交于点Q1,则在Rt PQ1B中,PSQ1PB,所以 PBPQ1 cos .2PF1cos.因为 0,故 cosPF1cos由1 2得coscos , 则1.PA2PAcos由上所述可知 ,椭圆的准线为 m, 椭圆上任一点到焦点

5、的距离与到准线的距离之比为常数 cos ,因此椭圆的离心率为 ecos,即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的coscos余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比.课外提升 ( 二) ：平面截圆锥得到圆锥曲线的坐标法证明3Have a try!（参考解答）如图 5， PF1PF2LF1F2 ，即证 .勇攀高峰如图 6，用一个与圆锥的轴截面平行的平面截圆锥，得到一条截口曲线是双曲线的一支，你能仿照上述方法证明吗？图 6（参考解答）如图 7,当 时, 平面 与圆锥的两部分相交在.圆锥的两部分分别嵌入 Dandelin球,与平面 的两个切点分别是 F1、F2 , 与圆锥两部分截得的圆分别为 S1、S2.在截口上任取一点P,连接 PF1、 PF2 .过 P和圆锥的顶点O作母线 ,分别与两个球切于Q1、 Q2 ,则PF1PQ1 , PF2PQ2 .所以 | PF1PF2 | | PQ1PQ2 |Q1Q2 .由于 Q1Q2为两圆 S1、 S2 所在平行平面之间的母线段长,因此