复习一元二次方程

1、，元二次方程复习知识点一 一元二次方程的定义如果一个方程通过移项可以使右边为 0,而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方 程叫做一元二次方程。注：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只含有一个未知数。未知数的最高次数是2。同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。例 下列关于x的方程，哪些是一元二次方程？?=3 ；（2）x?-6x=0 ；（ 3）jx+x=5 ；（ 4） - x? = 0 ；（ 5）?x（x - 3） =?x?+1x + 5知识点二一元二次方程的一般形式元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0 （a，b，c是已知数，aH0）。其中a， b， c分别

2、叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。（?）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般 形式。（3）形如ax? + bx + c = 0不一定是一元二次方程，当且仅当 a H 0时是一元二次方程。 例1将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。（1）Sx?% ；（?）（x-?）（x+3）=8；（3）（3x-4）（x +3）=（x+?）例2已知关于x的方程（m-1七-（m+1x-? = 0是一元二次方程时，则m =知识点三一元二次方程的解使方程左、右两边相等

3、的未知数的值叫做方程的解例1 关于x的一元二次方程（a -1）x? + X + a? -1 = 0有一个根为0,则a =例2 已知关于x的一元二次方程ax? + bx + C = 0（a H 0）有一个根为1，一个根为T ,则a + b + c =a -b +c =例3 已知c为实数，并且 关于x的一元 二次方程x?-3x+c = 0的一个 根的相反数是 方程x? +3x -c =0的一个根，求方程x? +3x -c = 0的根及c的值。知识点四一元二次方程的解法(1)开平方法：若X2 = a(a > 0 )，则X叫做a的平方根，表示为x = ±7，这种解一元二次方程的方 法叫

4、做直接开平方法。=n(n > 0的解是 X = ±yfn - m如：X2 = a(a > 0 )的解是 X = ±y/a ；(mx + n $ = c(m H 0,且 c > 0 )的解是 x = 士 丘-"例用直接开平方法解下列一元二次方程2 2 2 2(1)9x2 16 = 0 ；(2) (X + 5 ) -16 = 0 ；(3) (x - 5) = (3x + 1 )(2) 配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为 (x + m)2 = n的方程，再运用开平方法求解。 注：配方法的一般步骤： 移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的

5、左边，常数项移到方程的右边； “系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1； 配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(X + m)2 = n的形式;求解：若n>0时，方程的解为x = -m±7n，若n<0时，方程无实数解。2(2) X 4x+3 = 0例用配方法解下列一元二次方程(1)3x2 - 9x + 2 = 0 ；5当b24ac0时,方程有两个实数根,且这两个实数根不相等;当b2-4ac =0 时,方程有两个实数根K,且这两个实数根相等，写为X1 = X2 = -一；2a当b2-4ac <0 时,方程无实数根.2a(3) 公式法：一元

6、二次方程 ax2+bx + c =0(a h0)的根 x = b±Pb 4ac注：公式法的一般步骤:把一元二次方程化为一般式;确定a,b,c的值;代入b2 4ac中计算其值，判断方程是否有实数根;若b2 -4ac>0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 例用公式法解下列方程(1) 2x2 -3x 1 = 0 ；(2)2x(x + 72 )中 1 = 0 ；(3)x2 + x + 25 = 0（4）因式分解法： 因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即: 若 ab =0，贝U a =0 或 b =0 ； 因式分解法的一般步骤：将

7、方程的右边化为0；将方程左边分解成两个一次因式的乘积。 令每个因式分别为0,得两个一元一次方程 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 例用因式分解法解下列方程(2)(x-5)2 =2(x-5)-1（1） 6x2 -3娱=2血X-<6知识点五一元二次方程根的判别式对于一元二次方程ax2 +bx + c=0（aH0 ）的根的判别式是b2 - 4ac :（1）当b2 -4ac A0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2 -4ac 0时，方程无实数根。 温馨提示：若方程有实数根，则有b2-4acX0。 例题：1、已知方程X2 -3

8、x+k =0有两个不相等的实数根，则k=2、当m满足何条件时，方程mx2 2（m 1X+9m1 =0有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根?3、已知关于X的一元二次方程X2 + 4（m+1 ）x + 2m-1=0，求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。知识点六一元二次方程根与系数的关系bc若一元二次方程ax2+bx+C =0（a工0 的两个实数根为x1,x2，贝U x1+x2=-一,x1x。aa温馨提示：利用根与系数的关系解题时，一元二次方程必须有实数根。例题：1、关于x的一元二次方程X2+kx+4k2 -3 = 0的两个实数根分别是X1,X2，且满足为+%2=为2，则k的值为:3(A)1或-42、两个不相等的实数(C) ?4m,n 满足 m2-6m = 4,n26n=4，贝U mn 的值为(B )1（D）不存在知识点七一元二次方程的实际应用列一元二方程解应用题的一般步骤：（1）审题（2）设未知数（3）列方程（4）解方程（5）检验（6） 写出答案。在检验时，应从方程本身和实际问题两个