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文档简介
1、初中几何证明题经典题(一)1、已知:如图, 0是半圆的圆心, C、E是圆上的两点, CD _LAB , EF 1AB , EG ICO .求证:CD = GF .证明:过点G作GH LB于H,连接OEEG ICO , EF 1ABEGO=90 °,/EFO=90 °EGO+ ZEFO=18O °E、G、O、F四点共圆 £EO= ZHFG EGO= ZFHG=90 ° GO s£HG EO = GO"FG HGGH 1AB , CD _LABGH /CD GO CO"HG CD EO CO''fg C
2、DEO=COCD=GF2、已知:如图,P是正方形 ABCD内部的一点,/15 °。n求证: PBC是正三角形.(初二)证明:作正三角形 ADM,连接MP MAD=60 °,启AD=15 °MAP= ZMAD+ /PAD=75 °启AD=90 °,卩AD=15 °启AP= /BAD- ZPAD=90 °15 °75 °启 AP= /MAPMA=BA , AP=AP.MAP BZBAP启PA= /MPA , MP=BP同理/CPD= /MPD , MP=CP /AD =ZPDA = 15 °PA=P
3、D , /BAP= /CDP=75 °BA=CD/BAP B£DP启 PA= ZCPD 启PA= /MPA,/CPD= /MPDMPA= /MPD=75 ° BPC=360 °-75 ° 4=60 °MP=BP , MP=CP .-BP=CPPC 是正三角形MN3、已知:如图,在四边形 ABCD中,AD = BC , M、N分别是AB、CD的中点,AD、BC的延长线交求证:/ DEN =ZF.证明:连接AC,取AC的中点G,连接NG、MGCN=DN , CG=DG1GN /AD , GN= AD2EN= JGNMAM=BM , AG=
4、CG1GM /BC , GM= BC2 E= ZGMNAD=BCGN=GM £MN= ZGNMEN= ZF经典题(二),O为外心,且OM _LBC于M .1、已知: ABC中,H为垂心(各边高线的交点)(1)求证:AH = 2OM ;(2 )若ZBAC = 600,求证:AH = AO .(初二)证明:(1)延长AD交圆于F,连接BF,过点O作OG 1AD于GOG 1AFAG=FGAB =Aeb Z= ZACB又 AD JBC , BE JAC启 HD+ ZDBH=90ZACB+ ZDBH=90CB= ZBHDE= ZBHDBH=BF 又 AD _LBCDH=DFAH=AG+GH=F
5、G+GH=GH+DH+DF+GH=2GH+2DH=2( GH+DH ) =2GD又 AD JBC , OM dBC , OG 1AD四边形OMDG是矩形OM=GD .-AH=2OM(2)连接 OB、OC启AC=60 ZOC=120 °OB=OC , OM _LBC1 ZOM= ZBOC=6O °.ZBM=30 °2BO=2OM由(1 )知 AH=2OM AH=BO=AO2、设MN是圆O外一条直线,过 O作OA JMN于A,自A引圆的两条割线交圆 O于B、C及D、E,连接CD并延长交MN于Q,连接EB并延长交MN于P.求证:AP = AQ .证明:作点E关于AG的对
6、称点F,连接AF、CF、QFAG _LPQ ZAG= ZQAG=90 °又ZGAE= ZGAF ZAG+ ZGAE= ZQAG+ ZGAF即 ZPAE= ZQAFE、F、C、D四点共圆 EF+ /FCQ=180 °EF JAG , PQ 1AGEF PQPAF= ZAFEAF=AE AFE= ZAEF.II AEF= ZPAF:在°AEP 和°AFQ 中AFQ= ZAEP PAF+ ZQAF=180 °:' AF=AEQAF= Z PAE ECQ= ZQAF:AEP AFQ! AP=AQF、C、A、Q四点共圆 AFQ= ZACQ又ZAE
7、P= ZACQ AFQ= ZAEP3、设MN是圆O的弦,过 MN的中点A任作两弦BC、DE,设CD、EB分别交 MN于P、Q.求证:AP = AQ .(初二)证明:作 OF _LCD 于 F , OG _1BE 于 G ,连接 OP、OQ、OA、AF、AGC、D、B、E四点共圆启=ZD , ZE= ZC BE szADC AB BE 2BG BG AD DC 2FD DF BG s公DFGE= ZAFCAM=AN ,OA _UMN又 OG JBE , QAQ+ /OGQ=180 °O、A、Q、E四点共圆OQ= ZAGE同理 ZAOP= ZAFC ZOQ= ZAOP又ZOAQ= ZOA
8、P=90 °,OA=OA zOAQ BzOAPAP=AQ4、如图,分别以厶ABC的AB和AC为一边,在ABC的外侧作正方形 ABFG和正方形 ACDE,点O是DF 的中点,OP _LBC求证:BC=2OP (初二)证明:分别过 F、A、D作直线BC的垂线,垂足分别是 L、M、NOF=OD , DN /OP /FLPN=PLOP是梯形DFLN的中位线DN+FL=2OP'ABFG是正方形 BM+ ZFBL=90 °又ZBFL+ ZFBL=90 °BM= ZBFL又ZFLB= ZBMA=90 °, BF=AB FL 也zABMFL=BM同理 AMC也z
9、CNDCM=DNBM+CN=FL+DNBC=FL+DN=20P经典题(二)1、如图,四边形 ABCD为正方形,DE /AC, AE = AC , AE与CD相交于F .求证:CE = CF .(初二)证明:连接 BD交AC于0。过点E作EG 1AC于G-ABCD是正方形'BD _LAC 又 EG _LACBD /EG 又 DE /AC ODEG是平行四边形又/COD=90ODEG是矩形111EG=OD=BD= AC= AE222 EAG=30 °AC=AECE= ZAEC=75 °又/AFD=90 °15 °75 °£FE=
10、ZAFD=75 ° ZAECCE=CF2、如图,四边形 ABCD为正方形,DE /AC,且CE = CA,直线EC交DA延长线于F.求证:AE = AF .(初二)证明:连接BD,过点E作EG 1AC于G'ABCD是正方形IBD /EG 又 DE /AC'ODEG是平行四边形又/COD=90 °'ODEG是矩形BD !AC ,又 EG _LAC11/ CAE= / CEA= / GCE=15 °2在厶 AFC 中/ F =180 ° - / FAC- / ACF :=180 ° - / FAC- / GCE=180 &#
11、176; -135 ° -30° =15/ F=Z CEAI AE=AFEG = OD = 1 BD= 1 AC= 1 CE2 2 2£CE=30AC=EC3、设P是正方形 ABCD 边BC上的任一点,PF 1AP , CF平分ZDCE .求证:PA = PF .(初二)证明:过点 F作FG JCE于G , FH JCD于HCD _LCG.'HCGF 是矩形VJHCF= JGCF .-FH=FGCG=GFAP dFPPB+ /FPG=90 PB+ /BAP=90 EPG= ZBAPHCGF是正方形设 AB=x, BP=y, CG=zz: y= (x-y+z
12、): x 化简得(x-y) y= (x-y) z x-yz 0 y=z即 BP=FG ABP 也厶 PGF又ZFGP= ZPBA GP sbaFG : PB=PG : AB4、如图,PC切圆O于C,AC为圆的直径,PEF为圆的割线,AE、AF与直线PO相交于.B、D .求证:AB = DC , BC = AD .(初三)证明:过点E作EK /BD,分别交 AC、AF于M、K,取EF的中点H ,连接OH、MH、ECEH=FHXT/HOH _LEF ,zPHO=90 EM=KM/ EK / BD OB AO EM AM OB=ODODKM又 AO=CO又 PC JOC ,./POC=90
13、6;p、C、H、O四点共圆/JHCO= ZHPO又 EK /BD ,./HPO= ZHEK HCM= ZHEMH、C、E、M四点共圆 ECM= ZEHM又ZECM= ZEFA EHM= ZEFAHM /ACEH=FH经典题(四)Q在厶PQC 中,PQ=4 , CQ=AP=3 , PC=5QC是直角三角形 ZQC=90 °启QC= ZBQP+ ZPQC=60 °90 °=150 ° ZPB= /BQC=150 °2、设P是平行四边形 ABCD内部的一点,且Z PBA =ZPDA .又/ ADP= / ABP/ AEP= / ABP A、E、B、P
14、四点共圆/ BEP= / PAB/ PAB= / PCBDECB求证:/ PAB = ZPCB .(初二)证明:过点P作AD的平行线,过点两平行线相交于点 E,连接BEPE /AD , AE PDADPE是平行四边形PE=AD ,又ABCD是平行四边形AD=BCPE=BC又 PE /AD , AD /BCPE /BCBCPE是平行四边形启 EP= ZPCBADPE是平行四边形DP= ZAEP3、设ABCD为圆内接凸四边形,求证: AB CD + AD BC = AC B D .(初三) 证明:在 BD上去一点 E,使ZBCE= ZACDCD =Cd £AD= ZCBD EC s公DC
15、匪 BC"AD ACAD BC=BE AC 启CE= ZACD启CE+ ZACE=厶CD+ ZACE即/BCA= ZECDBS =bE , 启AC= ZBDC+得AB - CD+ AD-BC =DE - AC+ BE - ACBAC sJEDC空 AC"de cdAB CD=DE C=(DE+BE) - AC=BD - AC4、平行四边形 ABCD中,设E、F分别是BC、AB上的一点,AE与CF相交于P,且AE = CF .求证:/ DPA = ZDPC .(初二) 证明:过点 D作DG 1AE于G ,作DH JFC于H ,11'S zade = AE DG , S
16、 zfdc = FC DH221又 S zade= S zfdc= S cabcd2AE DG=FC DH又 AE=CFDG=DH点D在ZAPC的角平分线上"DPA =ZDPC经典题(五)1、设P是边长为1的正AABC内任一点,L = PA + PB + PC , 求证: 3丸V 2.C证明:(1)将ZBPC绕B点顺时针旋转 60。的启丘卩,连接PE ,BP=BE,/PBE=60 °"BE是正三角形。PE=PB 又 EF=PCL=PA+PB+PC=PA+PE+EF当PA、PE、EF在一条直线上的时候,L=PA+PE+EF 的值最小(如图)在AABF 中,/ABP=
17、120 ° AF= ,3L=PA+PB+PC 0 3(2)过点P作BC的平行线分别交 AB、AC于D、G则ADG是正三角形DP= ZAGP , AG=DGPD >ZAGP APD >ZADPAD > PA又 BD+PD >PBCG+PG > PC>PA+PB+PC=L + +得 AD+BD+CG+PD+PG > PA+PB+PC AB+CG+DG=AB+CG+AG=AB+ACAB=AC=1 .'L V 2由(1)( 2)可知:-.3 丸 V 2.此时 AF= PA+PE+EF过点F作FG AAB的延长线于 G则/GBF=180
18、76;ZABF=180 °150 °30BG=1GF=-2AF= GF2AG223 1 =厂3PA + PB + PC的最小值是23PA = a, PB = 2a ,得zBCQ,连接PQDC3、P为正方形ABCD内的一点,并且 证明:将厶ABP绕点B顺时针旋转90 则ABPQ是等腰直角三角形,PQ= 一 2 PB= 2 X2a=2 . 2 a又 QC=AP=aQP2+QC 2=(2 . 2 a)2+a2=9a2=PC 2 PQC是直角三角形启 QC=135 BC2=BQ2+CQ2-2BQ CQ cos ZBQC=PB2+PA2-2PB PAcos135J 2=4a2+a2-
19、2 X2a xa -)2解得 BC= .5 2” 2a正方形的边长为 5 2a4、如图, ABC 中,/ABC =ZACB = 80 ° ,D、E 分别是 AB、AC 上的点,/ DCA = 30 ° , EBA = 20求/BED的度数.解:在AB上取一点F,使/BCF=60 ° CF交BE于G ,连接EF、DG/BC=80。,/BE=20 ° ,aEBC=60。,又启CG=60 °CG是正三角形 .-BG=BC/CB=80 °,启CG=60 ° /.FCA=20 °EBA= ZFCA又ZA , AB=AC /.
20、/ABE ACF AE=AF1ZFE= ZAEF= (180 ° ZA) =80 °2又/ABC=80 ° ZAFE .'EF BC /.EFG= ZBCG=60 °FG 是等边三角形 EF=EG,/FEG=左GF= ZEFG=60ACB=80 ° , ZCA=30 °BCD=50 °启DC=180 ° /BCD- ZABC=180 °-50 °-80 °50 °启CD= ZBDC .-BC=BD 前已证 BG=BC .-BD=BG1ZBGD= ZBDG= 一 ( 180 °-ZABE ) =80 °2ZGD=180 ° ZBG
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