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文档简介
1、二元一次不等式组与简单的线性规划问题学习目标:1从实际情境中抽象出二元一次不等式组2. 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组3. 从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.活动一:二元一次不等式 (组)表示平面区域知识梳理二元一次不等式(组)表示的平面区域判断不等式 Ax + By+ C>0所表示的平面区域, 可在直线Ax+ By+ C = 0的某一侧的半 平面内选取一个特殊点,如选原点或坐标轴上的点来验证Ax+ By+ C的正负.当C丰0时,常选用原点(0,0).对于任意的二元一次不等式Ax+ By + C>0(或<0),无论B为
2、正值还是负值,我们都可以把y项的系数变形为正数,当B>0时, Ax+ By + C>0表示直线 Ax+ By + C= 0的区域; Ax+ By + C<0表示直线 Ax+ By + C= 0的区域.画不等式 Ax+ By+ C>0表示的平面区域时,其边界直线应为虚线;画不等式 Ax+ By +C>0表示的平面区域时, 边界直线应为实线. 画二元一次不等式表示的平面区域, 常用的 方法是:直线定"界”、原点定"域”.习题演练:1. 在平面直角坐标系中,若点 (一2, t)在直线x 2y + 4 = 0的上方,贝y t的取值范围是2如图阴影部分表
3、示的区域可用二元一次不等式组表示为活动二:线性规划应用线性规划的有关概念(1) 线性约束条件 由条件列出一次不等式(或方程)组. 线性目标函数一一由条件列出一次函数表达式.线性规划问题:求线性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.(4) 可行解:满足 的解(x, y).(5) 可行域:所有 组成的集合.最优解:使取得最大值或最小值的可行解.3 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是:(1) 在平面直角坐标系内作出可行域.(2) 作出目标函数的等值线.(3) 确定最优解:在可行域内平行移动目标函数等值线,从而确定 习题演练:1.设变量x, y满足约束条件fx y >0,贝y z
4、= 3x 2y的最大值为 2x y 2w 0, x + 3y 30,2. 若实数x, y满足不等式组 2x y 3<0,且x+ y的最大值为9,则实数mx my+ 1 > 0,3. 已知 a , 3 是方程 x2+ ax+ 2b= 0 的两个根,且 a 0,1 , 3 1,2 , a, b R,贝y-a 1的最大值为.例题讲解3x - y11 空 0例1.例 已知x, y满足以下约束条件<x-2y +3X0(X +3y - 7 H0(1)设z=x,y ,求z的取值范围;(2 )设z =,求z的取值范围;x(3)设z = x2 y2,求z的最小值.上述例题条件不变,探求下列各式
5、的取值范围:变式训练一:v十1(1)已知f(x , y),求f (x , y)的取值范围;x 314(2)已知 f(x , y)x2 y2xy求f (x , y)的最小值.变式训练二:(1) 已知 f (x , y) = x2 y2 -2x -2y ,求 f (x , y)的最小值;(2) 已知 f (x , y) = x2 y2 - 6x4y,求 f (x , y)的取值范围.变式训练三:(1) 已知f ( x, 5) = I x y 5, |求f (x,y)的取值范围;(2)已知 f (x,y) = x2 2xy y2 -2x -2y,求 f (x,y)的取值范围(3)若目标函数= ax
6、y (a 0)取得最小值时的最优解有无数个,则实数a的(4)若目标函数 z =ax y (a 0)仅在点(1,2)处取得最小值,则实数a的取值范围(5)若目标函数z二ax y的最大值为5a 4,最小值为4a 1,则 实围为.数a的取值范类题通法1. 求目标函数的最值的一般步骤为:一画二移三求其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.2 .常见的目标函数有:截距型:形如z= ax+ by.求这类目标函数的最值常将函数z= ax+ by转化为直线的斜截式:y= ax+Z通过求直线的截距z的最值间接求出z的最值.b bb2 2(2) 距离型:形如 z= (x a) + (y b).y b(3) 斜
7、率型:形如z=.x a注意:转化的等价性及几何意义.例2.(线性规划的实际应用)某旅行社租用 A, B两种型号的客车安排 900名客人旅行,A, B两种车辆的载客量分别为 36 人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21辆,且B 型车不多于 A型车7辆,求租金最小值.二元一次不等式组与简单的线性规划问题作业1. 若点(3,1)和(一4,6)在直线3x 2y+ a = 0的两侧,则实数a的取值范围是 .2. 在平面直角坐标系xOy中,已知平面区域 A= (x, y)|x + y< 1,且x>0, y>0,则平面区域 B= (x+ y
8、, x y)|(x, y) A的面积为 ."pOW x< , 2,3 .已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组yw 2,给x<2y定,若 M(x, y)为D上的动点,点 A的坐标为 仁;2, 1),贝U z= OM OA的最大值为4. 设变量x, y满足|x|+ |y|< 1,则x + 2y的最大值和最小值分别为 .5. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量 为6吨的乙型卡车.某天需送往 A地至少72吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次, 派用的每辆甲型卡车需配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡
9、车需配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润z等于元.x+ y 11> 0,6. 设不等式组 3x y+ 3 > 0,表示的平面区域为 D若指数函数y= ax的图象上存在区域 D5x 3y+ 9W 0上的点,贝U a的取值范围是.7. 已知实数x、y同时满足以下三个条件:x y+ 2W 0:x> 1 :x+ y 7w 0,则f的取值范围是.2x+ y 6< 0,&设不等式组 x+ y 3> 0,表示的平面区域为 M,若函数y= k(x+ 1) + 1的图象经过区yw 2域M,则实数k的取值范围是 .x-y+
10、 2> 0,9.已知 x + y- 4> 0,2x- y- 5 w 0,求:(1)z= x+ 2y 4的最大值;(2)z= x2 + y2- 10y+ 25 的最小值;10. 预算用2 000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子,希望使桌子和椅子的总数尽可 能的多,但椅子数不少于桌子数,且不多于桌子数的1.5倍,问桌子、椅子各买多少才行?3.基本不等式及其应用学习目标:1了解基本不等式的证明过程 .2会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题.a p b知识梳理:1.基本不等式 ab< 厂(1) 基本不等式成立的条件: .(2) 等号成立的条件:当且仅当 时取等号.2 几个
11、重要的不等式a2+ b2>(a, b R).(2)?+ b >(a, b 同号).(3)abwpf (a, b R).3 算术平均数与几何平均数设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为式可叙述为:4 利用基本不等式求最值问题 已知x>0, y>0,贝U(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_ 和最小).如果和x + y是定值p,那么当且仅当 定积最大).【活动1】,几何平均数为时,x+ y有最值是_时,xy 有最值是,基本不等(简记:积定(简记:和11. 函数y= x+ x(x> 0)的值域为 .42. 已知xv 0,贝U f(x) = 2 + 一
12、+ x的最大值为 x43. 若x>1,贝U x+一 的最小值为 .x 14. 已知x<5,求函数y = 4x-2+ 4xh的最大值;5.2x当x>0时,则f(x)=而的最大值为6.函数y=匕以>1)的最小值是x 11 17.设x,y乏R,且xyO,则(x +r)(r +4y )的最小值为y x【活动2】1. 已知0<x<1,则x(1 x)取得最大值时x的值为.42. 已知0<x<3,则x(4 3x)的最大值为 ;3. 已知x,y R*且x2 2y2 -1,则xj y2的最大值是【活动3】1. 已知m>0, n>0,且mn=81,则m+
13、 n的最小值为 .252. 已知x> 0, y> 0, lg x+ Ig y= 1,贝U z=】+ y的最小值为 .3. 设x,r R且x y =5,则3x 3y的最小值是4. 已知:x 1, y 1且lgxgy=4,那么lg x lg y的最大值是 5. 已知x, y为正实数,且满足 4x+ 3y = 12,则xy的最大值为 .196. 正数x, y满足+ y= 1.(1)求xy的最小值;(2)求x + 2y的最小值.7. 若 x, y R :2x * 8y-xy =0,求 x y 的最小值.14变式1、已知0 : x :1,求y的最小值x 1 -x2、已知x, y尸R且xy =
14、 x y,求x y,xy的最小值.3、已知x, y R且xy二x y +1,求x y,xy的最值.4、已知x, y R且xy=x,y+1,求x 2y的最小值.335、已知x,yR且石+1求xy的最小值.11 k6、已知a>b>c,且三+仁匸恒成立,求k的取值范围138. 已知正数x, y满足;+= 1,贝V x+ y的最小值为 x y十29. 若正数x, y满足x+ 3y= 5xy,则3x+ 4y的最小值是 10.若 x, y (0,+s ),x+ 2y+ xy= 30.求xy的取值范围;求x+ y的取值范围.211. 设x, y, z为正实数,满足 x-2y+ 3z= 0,则
15、177;的最小值是 12.若实数x, y满足x2 + y2 +xy =1,则x + y的最大值是13. 设x, y为实数,若4x2 y2 xy = 1,则2x y的最大值是2x +(s + t)x+st+114. 已知实数x、s t满足:8x 9t = s,且x占s,贝U的最小值x+t为.3.基本不等式及其应用作业1.设a>0, b>0,若逅是3a与3b的等比中项,则-+1的最小值为 .a b2 .已知不等式;9 对任意正实数 x, y恒成立,则正实数a的最小值为1 13. 已知a>0, b>0,则一 +二+ 2寸0B的最小值是 .a b4. 一批货物随17列货车从A市
16、以a km/h的速度匀速直达 B市,已知两地铁路线长 400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于2o 2 km ,那么这批货物全部运到B市,最快需要h.3x y 6w 05. 设x, y满足约束条件 x-y+ 2>0,若目标函数 z= ax+ by (a>0, b>0)的最大值0, y>0为12,则-+ 3的最小值为 .a b6 .若正实数x, y满足2x+ y+ 6 = xy,则xy的最小值是 .2 一 一7 .在平面直角坐标系 xOy中,过坐标原点的一条直线与函数f(x) =-的图象交于P, Qx两点,则线段PQ长的最小值是.a 2b 1&常数a, b和正变量x,y满足ab= 16,"y= 2若x+ 2y的最小值为64,则ab =.9.已知函数f(x) = x+(p为常数,且p>0)若f(x
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