高数8-7方向导数与梯度ppt课件

1、 第八章 第七节第七节一、方向导数一、方向导数 二、梯度二、梯度 方向导数与梯度方向导数与梯度l( , )P x y一、方向导数一、方向导数定义定义: 若函数若函数( , )zf x yf0lim则称则称lflf22()() ,xy ,cosx,cosy为函数在点为函数在点 P 处沿方向处沿方向 l 的方向导数的方向导数.0(,)( , )limf xx yyf x y在点在点 ( , )P x y处处沿方向沿方向 l (方向角为方向角为, ) 存在下列极限存在下列极限: P记作记作 ( , )( , ),f x yP x y若函数在点处可微( , )P x yl定理定理:则函数在该点沿任意方

2、向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscosffflxy,.l 其中为 的方向角证明证明: 由函数由函数( , )f x y( )fffxyoxy coscosffxy且有且有)(o在点在点 P 可微可微 , 得得P故coscosffxy对于三元函数对于三元函数( , , ),f x y z为为 ) ) 的方向导数为的方向导数为( , , )(P x y zl在点处沿方向方0(,)( , )limff xx yy zzf x yl( , , )cos( , , )cos( , , )cosxyzfx y zfx y zfx y z222()()() ,xyz cos, .cos,cos

3、 )xyz xflf特别特别: : 当当 l 与与 x 轴同向轴同向有时,2,0 当当 l 与与 x 轴反向轴反向有时,2,xflf向角向角 ,例例1. 求函数求函数 在点在点 P(1, 1, 1) 沿向量沿向量zyxu2, 1,2(l3) 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量向量 l 的方向余弦为的方向余弦为例例2. 求函数求函数 在点在点P(2, 3)沿曲线沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (x

4、xPlz它在点它在点 P 的切向量为的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1例例3. 设设是曲面是曲面n在点在点 P(1, 1, 1 )处处指向外侧的法向量指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为方向余弦为,142cos,143cos141cos而而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得同理得) 1,3,2(2632222zyx方向方向的方向导数的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点在点P 处沿处沿求函数求函数nn二、梯度二、梯度 方向导数

5、公式方向导数公式coscosffflxy令向量令向量这说明这说明方向：方向：f 变化率最大的方向变化率最大的方向模模 : f 的最大变化率之值的最大变化率之值方向导数取最大值：方向导数取最大值：,ffGxy)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax定义定义, fadrg即即fadrg同样可定义三元函数同样可定义三元函数( , , )f x y z),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数称为函数 f (P) 在点在点 P 处的梯度处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作记作(gradient),在点在点处的梯度处的

6、梯度 G向量向量1. 函数函数)ln(222zyxu在点在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:注意注意 x , y , z 具有轮换对称性具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点处沿点Axd d2. 函数函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32那那么么cos,cos,cosAxu) 1ln( x1x,21yd dAyu) 11ln(2y0y,0, ) 1 ,2,2(AB

7、0ABl 2121Azucoscoscoszuyuxulu21 第八章 第八节第八节一、多元函数的极值一、多元函数的极值 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法xyz一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数若函数则称函数在该点取得极大值则称函数在该点取得极大值(极小值极小值).例如例如 :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值;在点在点 (0,0) 有极大值有极大值;在点在点 (0,0) 无极值无极值.极大值和极小值极大值和极小值统称为极值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点.),

8、(),(00yxfyxf),(),(00yxfyxf或2243yxz22zxy yxz ),(),(00yxyxfz在点的某邻域内有的某邻域内有xyzxyz说明说明: 使偏导数都为使偏导数都为 0 的点称为驻点的点称为驻点 . 例如例如,定理定理1 (必要条件必要条件)函数函数偏导数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0),(,0),(0000yxfyxfyx取得极值取得极值 ,取得极值取得极值取得极值取得极值 但驻点不一定是极值点但驻点不一定是极值点.有驻点有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值但在该点不取极值.且在该点取得极值

9、且在该点取得极值 , 则有则有),(),(00yxyxfz在点存在存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故故在),(0yxfz 0yy yxz 时时, 具有极值具有极值定理定理2 (充分条件充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且且令令那么那么: 1) 当当A0 时取极小值时取极小值.2) 当当3) 当当时时, 没有极值没有极值.时时, 不能确定不能确定 , 需另行讨论需另行讨论.若函数若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfCyxf

10、ByxfAyyyxxx02BAC02 BAC02BAC例例1.1.求函数求函数解解: : 第一步第一步 求驻求驻点点. .得驻点得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (: (1, 0) , (1, 2) , (3, 3, 0) , (0) , (3, 2) .3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点在点(1,0) (1,0) 处处为极小值为极小值; ;解方程组解方程组ABC),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值的极值. .求二阶偏导数求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC5)0,

11、 1 ( f,0Axyxyxyxf933),(2233在点在点( (3,0) 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( (3,2) 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12A,0B,6C,06122 BAC)0,3( f6,0,12CBA31)2,3( f,0)6(122 BAC,0A在点在点(1,2) (1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12CBA)2, 1 (f,0)6(122 BACABC例例2.讨论函数讨论函数及及是否取得极值是否取得极值.解解: 显然显然 (0,0) 都是它们的驻点都是它们的驻点 ,

12、在在(0,0)点邻域内的取值点邻域内的取值, 因而因而 z(0,0) 不是极值不是极值.因而因而,022时当 yx222)(yxz0)0 , 0( z为极小值为极小值. .正正负负033yxz222)(yxz在点(0,0)并且在并且在 (0,0) 都有都有 02BAC33yxz可能为可能为0)()0 , 0()0 , 0(222yxz二、最值应用问题二、最值应用问题函数函数 f 在闭域上连续在闭域上连续函数函数 f 在闭域上可达到最值在闭域上可达到最值 最值可疑点最值可疑点 驻点、偏导不存在的点驻点、偏导不存在的点边界上的最值点边界上的最值点特别特别, 当区域内部最值存在当区域内部最值存在,

13、且只有一个极值点且只有一个极值点P 时时, )(Pf为极小为极小 值值)(Pf为最小为最小 值值( (大大) )( (大大) )根据根据例例3.3.解解: 设水箱长设水箱长,宽分别为宽分别为 x , y m ,则高为则高为则水箱所用材料的面积为则水箱所用材料的面积为令令得驻点得驻点某厂要用铁板做一个体积为某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水的有盖长方体水问当长、宽、高各取怎样的尺寸时问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省才能使用料最省?,m2yx2Ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222

14、xxyA0)(222yyxA因此可因此可断定此唯一驻点就是最小值点断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为即当长、宽均为高为高为时时, 水箱所用材料最省水箱所用材料最省.3m)2,2(33323222233例例4. 有一宽为有一宽为 24cm 的长方形铁的长方形铁板板 ,把它折起来做成把它折起来做成解解: 设折起来的边长为设折起来的边长为 x cm,则断面面积则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为倾角为 ,Acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大积最大. )0,120:(2 xD为为问怎样折法

15、才能使断面面问怎样折法才能使断面面cos24xcos22x0)sin(cos222x令令xAsin24sin4x0cossin2xA解得解得: :由题意知由题意知, ,最大值在定义域最大值在定义域D D 内达到内达到, , 而在域而在域D D 内只有内只有一个驻点一个驻点, ,故此点即为所求故此点即为所求. .,0sin0 xsincossin2sin2422xxxA)0,120:(2 xD0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x三、条件极值三、条件极值条件极值的求法条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数求一元函数的无条件极值问题的无条

16、件极值问题对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外, 还有其它条件限制还有其它条件限制例如例如 ,转化转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz例例.要设计一个容量为要设计一个容量为0V水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 ,0),(下在条件yx方法方法2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.如方法如方法 1 所述所述 ,则问题等价于一元函数则问题等价于一元函数可确定隐函数可确定隐函数的极值问题的极值问题,极值点必满足极值点必满足设设 记.),(的极值

17、求函数yxfz 0),(yx, )(xy)(,(xxfz例如例如,故 0ddddxyffxzyx,ddyxxy因0yxyxffyyxxff故有故有引入辅助函数引入辅助函数辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日称为拉格朗日( Lagrange )函数函数.0 xxxfF0yyyfF0F利用拉格利用拉格极值点必满足极值点必满足0 xxf0yyf0),(yx则极值点满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxfF推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. 设设解方

18、程组解方程组可得到条件极值的可疑点可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数求函数下的极值下的极值.在条件在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxfF021xxxxfF021yyyyfF021zzzzfF01F01F例例5.要设计一个容量为要设计一个容量为0V则问题为求则问题为求x , y ,令令解方程组解方程组解解: 设设 x , y , z 分别表示长、宽、高分别表示长、宽、高,下水箱表面积下水箱表面积最小最小.z 使在条件使在条件xF02zyyzyF02zxxzzF0)(2yxyxF00Vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省

19、？水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱的长方体开口水箱, 试问试问 0VzyxyxzyzxS)(2)()(20VzyxyxzyzxFxyz得唯一驻点得唯一驻点,2230Vzyx3024V由题意可知合理的设计是存在的由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省倍时，所用材料最省.因而因而 , 当高为当高为,340Vxyz例例6：已知平面上两定点：已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),试在椭圆试在椭圆圆周上求一点圆周上求一点 C, 使使ABC 面积面积 S最大最大.解答提示解答提示:CBAoyxED设设 C 点坐标为点坐

20、标为 (x , y), 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx那么那么 ACABS2110321yx设拉格朗日函数设拉格朗日函数解方程组解方程组得驻点得驻点对应面积对应面积而而比较可知比较可知, 点点 C 与与 E 重合时重合时, 三角形三角形面积最大面积最大.)491 ()103(222yxyxF092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1S,54,53yx,5 . 3,2CDSS1. 求半径为求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z ,那那么么,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为它们所对应的三个三角形面积分别为,si