高等数学竞赛讲座ppt课件

1、数学竞赛讲座数学竞赛讲座体操能使你身体健康体操能使你身体健康,数学能使你思想正确而敏捷数学能使你思想正确而敏捷,有了它有了它,你们才能爬上科学的大山你们才能爬上科学的大山._华罗庚华罗庚_解题是一种本领解题是一种本领,就像游泳、弹钢琴一样就像游泳、弹钢琴一样,你只能靠模你只能靠模仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大仿和实践才能学到它。假如你想要从解题中得到最大的收获的收获,就应当在所做的题目中去找出它的特征。一就应当在所做的题目中去找出它的特征。一种解题方法种解题方法,无论是从别人那里学来或听来的无论是从别人那里学来或听来的,只要经只要经过你自己的体验过你自己的体验,它对你来讲可以成

2、为一种楷模它对你来讲可以成为一种楷模,当你当你在碰见别的类似的问题时在碰见别的类似的问题时,它就是可供你仿照的模型。它就是可供你仿照的模型。 _乔冶乔冶.波利亚波利亚_不定积分第第 一一 讲讲注注: : 不定积分是计箅定积分、重积分、线不定积分是计箅定积分、重积分、线面积分的一种工具面积分的一种工具, ,为解微分方程服务为解微分方程服务. .1 1、原函数与不定积分、原函数与不定积分CxFdxxf )()(1) 定义:一一. 基本概念基本概念( )( )( ).xaxf t dtf x其中就是的一个原函数1( ).xf x dx例已知f(x)的一个原函数为(1+sinx)lnx,求:( )(

3、)( )( ).xf x dxxdf xxf xf x dx解(1 sin )ln (1 sin )ln.xxxxx c )( xF)(xf0 x2)2(sin()()(xxFxf例例2 2 函数函数为的原函数，当时，有，且 1)0(F,( )0F x )(xf，试求. )()(xfxFxxFxF2sin)()(2解：因解：因，所以cxxxFxdxdxxFxF4sin41)(2sin)()(221)0(F1c14sin41)(xxxF而由得，从而故14sin4124cos1)()(xxxxFxf 21c o s 4( s in2)2xx dxxgxf)()(10 dxxgdxxf)()(2)

4、微分运算与求不定积分的运算是互逆的微分运算与求不定积分的运算是互逆的. dxxkf)(20 dxxfk)(（k是是常常数数，)0 k(3) 不定积分的性质不定积分的性质 )()(xfdxxfdxd dxxfdxxfd)()( CxFdxxF)()( CxFxdF)()(1( )arctan,.( )xf x dxxcIdxf x例3设求2211:( ),(1).1( )xf xxxxf x解22211(1)(1).( )4Idxxxdxxcf x2 2、基本积分表、基本积分表 p210p210 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)

5、4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9( xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)16( Cxxdxsinlncot)17( Cxxxdx)tanln(secsec)18( Cxxxdx)cotln(csccsc)19(Caxadxxa arctan11)20(22Cxaxaadxxa

6、ln211)22(22Caxdxxa arcsin1)23(22Caxaxadxax ln211)21(22第一类换元法第一类换元法二二. . 积分法积分法 dxxxf)()( )()(xuduuf （凑微分法）（凑微分法）(1) 由定义直接利用基本积分表与积分的由定义直接利用基本积分表与积分的性质求不定积分的方法性质求不定积分的方法.(2) (2) 换元法换元法: :第二类换元法第二类换元法 )()()()(xtdtttfdxxf 其中其中)(x 是是)(tx 的反函数的反函数.;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;)1(. 42dxxxf;cos)

7、(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf .)(. 9dxbaxf .)()(.10dxxfxf 常用代换常用代换:.,)(. 1Rbatx .sin,)(. 222taxxaxf 令令如如三角函数代换三角函数代换13.xt倒置代换 令14.(1)xxIdxxxe例求(1)1(1)xxxx eIdxxexe解法1(1)xxxdxexexe11()1xxxdxexexelnln 1.xxxexec11(1).xxxxdtxetdtx e dxdxxxe 解法2 令111()(1)1Idtdtt

8、tttlnln 1.xxxexec225(2001).(21)1dxIxx例考研题求tan2cos.1sinxuuduIu解2sinarctan(sin ).1sinduucu2(sin.1xarctancxx21xu(3) (3) 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式udvuvvdu选择选择u u的有效方法的有效方法:L,I,E:L,I,E选择法选择法L-对数函数；对数函数； I-反三角函数；反三角函数；E-指数函数；指数函数；),( ).sin1xxxIf x dxxx2例6 (2004考研题) 设f(sin求2:sin ,sin,arcsin,( ).arcain xuxxuxu

9、f xx 解全arcsin2 arcsin1.1xIdxxdxx 2 1arcsin2.xxxc 2arctan(2001,2005(2).xxedxe例7 考研题) 求I=22221:arctanarctan2(1)xxxxxxxdee deeeee-1解I=22111arctanarctan.222xxxxeeeec(4)(4)、几种特殊类型函数的积分、几种特殊类型函数的积分（1有理函数的积分有理函数的积分真分式化为部分分式之和的待定系数法真分式化为部分分式之和的待定系数法（2） 三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分2tanxu 令令uxarctan2 212sinuux 2211co

10、suux duudx212 dxxxR)cos,(sinduuuuuuR22221211,12 （3） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分讨论类型：讨论类型：),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解决方法：解决方法：作代换去掉根号作代换去掉根号;necxbaxt 令令;nbaxt 令令).sec(tan22taxtaxax).sin(tan22taxtaxxa25613xIdxxx例8求21(26)82:613xIdxxx解221(26)28613(3)4xdxdxxxx213ln6134arctan.22xxxc(造一个分子是分母的造一个分子是分母的导数导数.)例例9 9.)1(a

11、rctan22 dxxxx xdxxxarctan)111(22 xxdxxdxxxarctanarctan)1(arctan12 xxdxxdxxxarctanarctan)1(21arctan1222.)1ln(21ln)(arctan21arctan122cxxxxx (97考研题考研题)例例1010解解 dxxfxfxfxfxf)()()()()(322原式原式.)()()()()(32 dxxfxfxfxfxf求求 dxxfxfxfxfxfxf)()()()()()(22 )()()()(xfxfdxfxf.)()(212Cxfxf 几种常见技巧几种常见技巧:1. 循环现象循环现象:

12、arctan23(1)xxeIdxx例11求arctan2:1xxIdex解arctanarctanarctan3222211(1)xxxxexeedxxxxarctan211.21xxIecxarctanarctan32221(1)xxxeedxxx2. 折项抵消法折项抵消法:11(1).xxIxedxx 例12求1121:(1).xxxxIedxxedxx解11xxxxedxxde1111.xxxxxxxxedxxeedxxec211:()1)xxx (注注注: 遇到不可积的积分只能采用折项抵消法遇到不可积的积分只能采用折项抵消法sincos,xexxdxdxdxxxx221,sin,ln

13、xdxedxx dxx21ln(ln )xIdxxx例13求2ln1:(ln )xxxIdxxx 解2(ln(ln )(ln )dxd xxxxxxx1.(ln )lnlndxxxdcxxxxxx1.xe dx3. 二项代换法二项代换法:2411xIdxx例14求2222111():11()2d xxxIdxxxxx解1211arctan.222t xxxdtxct 4. 递推法递推法:211nnIdxxx例 15求的 递 推 公 式 .211:1nnIdxx解22(1)111nnxxd xx221211(1)nnxxndxxx22222111nnxxd xd xxxx其 中2211ndxxx

14、2211nnndxIIxx222211112(1)().(1)1nnnnnnnxxnInIIIIxnxn 5. 关于绝对值的积分关于绝对值的积分(11).Ixx dx例16求2122,0,2:,0.2xcxxdxxcx解.2x xxdxc11Ixdxxdx1(1)1(1)1.2xxxxc )(xf),(aa)(xf例例17 设设为上的连续偶函数，证明的原函数中恰有一个是奇函数.证：令证：令0( )( ),(, )xxf t dt xa a 那么000()( ) ()( )( )xxxxf t dt tufu duf u dux )(x)(xG)(xf为奇函数，设也是的一个原函数，且为奇函数，那

15、么 ( )( )(1)G xxC)()(xGxG( )( )(2)G xxC(1)(2):0C 由和得且 ，(00年竞赛题年竞赛题)()()GxxC2sin2 cos1tdxxxt求例例 18 （2000年省竞赛题）年省竞赛题） 222cossinsincos(cos )sin1 ()sinxtdttdxxtxtttcosarctan.sinxtct解：原式解：原式 x(注: 为变量,t是常数)2sincos.(04(cossin )xxxdxxxx例19求省竞赛题)Cxxtan1122sincos/cos(1tan )xxxxdxxx原式=22sin cos()( sectan )cosxx

16、xdxxxx dxxtan(1tan ).dxxdxx 原式例例17(17(机动机动) )解解., 1max dxx求求, 1max)(xxf 设设,1,11,11,)( xxxxxxf则则,),()(上连续上连续在在xf).(xF则必存在原函数则必存在原函数.1,2111,1,21)(32212 xCxxCxxCxxF须处处连续，有须处处连续，有又又)(xF)21(lim)(lim12121CxCxxx ,21112CC 即即)(lim)21(lim21321CxCxxx ,12123CC 即即,1CC 联联立立并并令令.1,2132CCCC 可可得得.1,12111,211,21,1max

17、22 xCxxCxxCxdxx故故定积分第第 二二 讲讲一一. 基本概念基本概念:1. 定义定义:01( )lim(.)nbiiaif x dxfx2. 性质性质:(3) dxxfba )(dxxfba )(.（5）. (估值定理估值定理)设设M及及m分分别别是是函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的最最大大值值及及最最小小值值，（6 6）. .（定积分中值定理）（定积分中值定理）如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间,ba上上连连续续，则则 在在 积积 分分 区区 间间,ba上上 至至 少少 存存 在在 一一 个个 点点 使使dxxfba )()(abf . . )(ba 当当函函数数

18、)(xf在在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理2 2定理定理3 3 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，则则)(xf在在区间区间,ba上可积上可积. .3. 定积分存在定理定积分存在定理定理定理1 1, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 4、定积分的几何意义二二. 定积分的计算定积分的计算:.3.bbbaaaudvuvvdu1.( )( )( )baf x dxF bF a( )baf x dx4. 几个重要的结论几个重要

19、的结论:aaadxxfxfdxxf0.)()()(2) 若f(x)是以T为周期的连续函数,那么 0.( )( )a TTaf x dxf x dx2200(3)sincosnnnIxdxxdx nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数22011,0,1( )(1).1,0.1xxxf xf xdxxe 求例设:1,xt 解令2101(1)( )f xdxf t dt012101111xdxdxex11ln2ln(1).4e 119911(1)()2 (91.xxxxeedx例省竞赛题) 求:,xxee解为奇函数1042().xxx

20、eedxe原式例 3. （96年省竞赛题）2| |1.xxedx求 0210:xxxe dxxe dx解原式1223.eeC)(xfy 1l2lC)(xfdxxfxx)()(3 0 2例例 42019年考研题）年考研题） 的方程为，点3，2是它的一个拐点，与分别是曲线在点0，0与3，2处的切线，其交点为具有三阶连续导数，计算定积分.（2，4）.设函数如图，曲线直线dxxfxx)()(3 0 220416|)(216)(22)2(7)(2|)() 12()() 12()() 12(|)()(303 0 3 0 303 0 3 0 302xfdxxfdxxfxfxdxxfxdxxfxxfxx yl

21、1l2y=f(x)C12341234xO解：解： (3)0.f (0)2,f (3)2.f )(xf122300( )( )( )f xxxf x dxxf x dx)(xf例 5 (00省竞赛题) 设连续函数满足，求. 10( )Af x dx20( )Bf x dx32)(BxAxxxf1230111()234AxAxBx dxAB22308()243BxAxBx dxAB解：设解：设，那么 （3分）183BA，3283)(xxxxf由上两式解出21( )txf tedx设120( )t f t dt2211112220010( )txxtt f t dtdtt edxdtt edx 22

22、11230001 3xxxdxt edtx edx 1201 ()6uue duux 例例 696年省竞赛题）年省竞赛题），求解法1： （2分）分） 11011(1)(21)66ueue 133311120000( )( )( )( )333tttt f t dtf t df tf t dt213013tt edt 1201 ()6uue duux 11(21)6e解法2： 例例 72000年省竞赛题）年省竞赛题）xxfxfsin)()(, 0,)(xxxf3( )f x dx设，且，求 3( )f x dx320 () sin( )( )0f xx dxxtf t dt2220( ) ()s

23、in 2tdtf t dtf tt dt2022tuudu2222222解：解：211( )(1) sin(0),2txxf xdt tttnnfn1sin)(lim例 8 设求.22221111( )(1) sin(1) sin222tnnxnnf ndt txxdxtxxt,),(21sin)211 (22nnnn1( )sinlimnf nn解：解： （2000年省竞赛题）年省竞赛题）22111lim(1)sin2 sin()2nnnn122.e原式232111sin111()sinsinsin.111nnnnnnnnnnnnnn例例 9 （1994年考研题）年考研题） (1) 设dxx

24、NxdxxxM22434222)cos(sincos1sin，dxxxxP22432)cossin(，则有MPN A)(NPM B)(.)(PMN C.)(NMP D应选【D】.:0.M 解422cos0.Nxdx422cos0.Pxdx三三. 定积分的几类典型问题定积分的几类典型问题:1. 处理变上限定积分处理变上限定积分:( ) , . ( )( , ).f xa bxa b若在上连续在内可导( )( )( ),( )( ( ) ( ).xaF xf t dtF xfxx则( )( )( )( ) ,( )( ( ) ( )( ( ) ( ).xg xF xf t dtF xfxxf g

25、x g x则,100( )xf x当时连例续,且满足2(1)0( ).(2).xxf t dtxf求.1提示:两边求导,令x=1,得f(2)=5( )|( ),bag xxt f t dt axb)(tf,ba( )0,f t )(xg),(ba例例 11 设设其中在上连续，且证明:在内是单调增加的.( )() ( )() ( )xbaxg xxt f t dttx f t dt( )( )( )( )xxbbaaxxxf t dttf ttf t dtxf t dt证明：证明： 0000( )()()()()()()xbxbaxaxg xf t dtf t dtf t dtf t dtf t

26、 dtf t dt0)(2)( xfxg( )g x单调增加.（02年省竞年省竞赛题）赛题）)(xf)(xfxdttxf tx0)()(xf具有连续导数具有连续导数, 且满足方程且满足方程, 求求例12 设:解由 于 被 积 函 数 含 有 变 上 限 x . 故 不 能,xx直 接 对求 导先 作 变 量 代 换先 把从,被 积 函 数 中出 来拿使 被 积 函 数 表 达x式 与无 关 .00()()()( ):xxtfxt dtxtuxu fu du 解令0( )( ).xxf xuf u du0( )( )( ).xf xxxf xuf u du( )1( )ln(1( ).fxf x

27、f xxc 1( )(0)0,0,( )1.x cxf xefcf xe (99年考研题年考研题).例13 .设)(xf是连续函数是连续函数, 证明证明:0( )stItf tx dx只与只与s有关有关, 其中其中t0,s0.0:,( )( )(0).stxuIf u duF sF证令则(87年考研题年考研题).设8.例例 14 （2019年考研题）年考研题） )(),(xgxf在0,1上的导数连续，且0)(, 0)(, 0) 0 (xgxff证明：对任何 1 , 0a，有1 0 0 ) 1 ()()()()()(gafdxxgxfdxxfxga设.证法一：设证法一：设x 1 0 0( )(

28、) ( )( ) ( )( ) (1), 0,1F xg t f t dtf t g t dtf x gx那么)(xF在0,1上的导数连续，并且 )1 ()()() 1 ()()()()(gxgxfgxfxfxgxF由于 1 , 0 x时；0)(, 0)(xgxf因而0)(xF，即)(xF在0,1上单调递减.:.ax技巧 把改为注意到 1 0 1 0 ) 1 () 1 ()()()()() 1 (gfdttgtfdttftgF而 1 0 1 0 1 0 10)()(| )()()()()()(dttgtftftgtdftgdttftg 1 0 )()() 1 () 1 (dttgtfgf故0)

29、 1 (F因而 1 , 0 x时，0)(xF，由此可得对任何 1 , 0a有 1 0 0) 1 ()()()()()(gafdxxgxfdxxfxga证法二证法二: aaadxxgxfxfxgdxxfxg 0 0 0)()(| )()()()(adxxgxfagaf 0 )()()()( 1 0 0 101 0 00 1 a( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )aaag x fx dxf x g x dxf a g af x g x dxf x g x dxf a g af a g af x g x dx由于 1 , 0 x时，0

30、)(xf，因而)(xf在0,1上单调递增， 1 ,),()(axafxf又由于 1 , 0 x时，0)(xg，因而 1 , ),()()()(axxgafxgxf)() 1 ()()()()()(1 a 1 a aggafdxxgafdxxgxf从而) 1 ()()() 1 ()()()()()()()(1 0 0 gafaggafagagdxxgxfdxxfxga例15 设)( xf在在), 0( 内连续内连续,25) 1 (f, 对任意对任意), 0(,tx满足满足111( )( )( )txxtf u dutf u duxf u du,求求)(xf. 解: 对x求导,识t为参数.1()(

31、 )( )ttf xttf xf u du1551,(1),( )( ).22txftf ttf u du令由得5,( )( )( ).2tf ttftf t对 求导55( )( )ln.22f tf ttct555(1),( )(ln1).222fcf xx由得( )0,)f x在220(3 ) ( )0 xxtf t dt220( )(3 ) ( )xF xxtf t dt2200( )( )3( )xxF xxf t dtt f t dt22200( )2( )( )3( )2( )2( )xxF xxf t dtx f xx f xxf t dtx f x例例 1691年省专科竞赛题）

32、年省专科竞赛题）设设上的单调减少的连续函数，试证明： 证：记，那么 （2分） （2分） , 0 x0( )( )xf t dtfx)()(2)(2xffxxF应用积分中定理，知存在，使得. . )(xf), 0 )()(xff0)( xF)(xF), 0 00 ）（F0)(xF由于在上单调减少，故，从而 （2分）在上单调增加，又，. 得证. )(xf,ba( )( )0bbaaf x dxxf x dx)(xf),(ba例例 17 设设在上连续，且，证明在上至少有两个零点.( )( ),xaF xf t dt:( )( )0F aF b则)(xF,ba)()(xfxF),(1ba0)(1F0)

33、(1f证明：证明： 令令在上连续， ，由罗尔定理，使即（00年省竞赛题）年省竞赛题）(技巧技巧)(xf),(ba1x( )0baf x dx )(xf),(1a),(1b),(bax1x1()( )0 xf x假设在上只有一个零点，因，可知在与上异号，因而当，且时 （或0）.1() ( )0baxf x dx11() ( )( )( )0bbbaaaxf x dxxf x dxf x dx),(ba)(xf故从而导出矛盾，故在上至少有两个根零点）. 例例 182019年考研题）年考研题）)(xf连续，且201(2)arctan2xtfxt dtx知1) 1 (f求dxxf21)(的值.txu

34、2，那么dudtuxt，2，02(2)(2) ( )xxxtfxt dtxu f u du于是22212( )( )arctan .2xxxxxf u duuf u dux设函数解：解： 令令222( )( ).xxxxxf u duuf u du上式两边x求导，得)(1)(242xxfxxduufxx1,x令得23121)(221duuf213( ).4f x dx 10100)()1 ()(dxxfxdxdttfx例例 19 证证 证证:11000( )( )xxf t dtxf x dx左边1100( )( )f t dtxf x dx10(1) ( ).x f x dx2. 关于积分等

35、式的证明关于积分等式的证明:方法方法: (1) 变量代换变量代换, (2) 分部积分分部积分, (3) 微分法微分法 (4) 中值定理。中值定理。例 20 设)(xf)(xg,在在)0(,aaa内连续内连续,)(xg为偶函数为偶函数, 且满足且满足Axfxf)()(1).证证0( ) ( )( )aaaf x g x dxAg x dx(A常数常数).(2) 计算计算22|sin|arctan.xxe dx001): ( ) ( )() ()( ).aaaaf x g xfx gx dxAg x dx证(2).( )arctan,( )sin.xf xeg xx令(arctanarctan)0

36、 xxee(arctanarctan),0,.xxeeA令x得A=222|sin|arctan.xxe dx20sin.22xdx)(xf 1 , 010( )0f x dx 1 , 0)()1 (ff例例 21 （98年省竞赛题）年省竞赛题）在上连续，且试证：存在，使.100( )( )( )xxF xf t dtf t dt0) 1 ()0( FF 1 , 00)(F)()1 (ff证明：令证明：令由于，由罗尔定理得，存在使得即:.设设(技巧技巧)例例 22 (96年省竞赛本科三级年省竞赛本科三级)00( )(sin )(sin ).2f xxfx dxfx dx设是连续函数,证明:220

37、sin.3sin4 cosxxdxxx并 求000:() (sin )(sin )(sin )xtIt ft dtft dttft dt 证左00(sin )(sin ).2xfx dxfx dx2200sinsin4sin24sinxxxdxdxxx原式220cos.23cos6 3dxx 3. 关于积分不等式的证明关于积分不等式的证明:法法1: 利用定积分性质利用定积分性质.)(xf 1 , 0, 2)(1xf.89)()(1010 xfdxdxxf例例 2323在在上连续上连续, ,且且证证:1( )2, ( ) 1 ( )20.f xf xf x证22( )3 ( )20,( )3.(

38、 )fxf xf xf x11002( )3.( )f x dxdxf x111100002( )2 2( ).( )( )dxf x dxdxf x dxf xf x而平方得平方得结论结论.例24 设40tannnIxdx,证明证明(1) ,112nIInn (2) 1( 21) 1( 21nInn222442001(1)tan(1tan)tantan1.nnnnIIxxxdxn证11.,12(1)nnIInnn+2证(2):I假设则21,2(1)nIn于 是111(1)2(1)2(1)1nInnnn+2I与矛盾,故结论成立.1.2(1)nIn同理可证(01年考研题年考研题)例例 2594年

39、省竞赛题）年省竞赛题）1440:ln(12)11dxx证明 )0(11144x x，1110 44xdx)0(1211242444x xxxx，4421111xx证明：证明：因而因而 1142400ln(12)11dxdxxx1440ln(12)11dxx因而即. 例 26 设)(xf在在2 , 0上单调增加且连续可微上单调增加且连续可微, 证明证明:202|( )sin| (2 )(0)f xnxdxffn(98年省竞赛题年省竞赛题).，22001( )sin( )cosfxnxdxfx dnxn 220011( )cos|( )cosfxnxfxnxdxnn 2011( (2 )(0)(

40、)cosfffxnxdxnn 证法证法 1: 0)( xf)(xf2 , 0)0()2(ff，故在上单调增加， 20011|( )sin|( (2 )(0)( )|cos|2f xnxdxfffxnx dxn2011( (2 )(0)( )fffx dxnn)0()2(2ffn:( )0,1cos2,fxnx证法 222001cos|( )sin|( )nxf xnxdxf x dn22001cos2( )( )nxfx dxfx dxnn2(2)(0).ffn)(xf 1 , 010yx|arctgarctg| )()(|yx yfxf0) 1 (f101|( )| ln22f x dx例例

41、 2796年本科三级竞赛题）年本科三级竞赛题）在区间上可积，当时,又，求证.1y) 10(arctg4|4arctg| )(|x xx xf111000|( )| |( )|(arctg )4f x dxf x dxx dx1112200011( arctg )ln(1)ln24122xxxdxxx证：以证：以代入得 （3分）设设例 28 设)(, 0 xfa在在, 0a上连续上连续, 证证:001|(0)|( )|( )|aaff xdxfxdxa0:( )( ) .0, .af x dxa fa证由积分中值定理,0( )(0)( )fffx dx而0(0)( )( )fffx dx)0(0

42、1( )( )aaf x dxfx dxa区间放大(2) 利用积分中值定理利用积分中值定理:例 29 设)(xf在在 1 , 0上连续上连续, 在在) 1 , 0(内可导内可导, 且且.)(3) 1 (31012dxxfefx证明证明: 存在存在),1 , 0(使使).(2)(ff211111:( ).0.31,ef由积分中值定理证,f(1)=法211( )( ),( ) ,1,1),xF xef xF x1令则在上连续,在(内可导且21111(1)(1)()().FfefF1( ,1), 由罗尔定理,知使21( )( )2( )0.Feff( )2( ).(0,1).ff于是22:( ) 2

43、 ( )( )12( ).xxf xxf xf xeef x证由结论法2211111( ),(1)( ).(0, ).3xef xfef令F(x)21111(1)( )().e fefF令F(1)( )0.F)(xf 1 , 0) 1 , 0(, 1)(0 , 0)0(xff.)()(103102dxxfdxxf在在上连续上连续, 在在内可导内可导, 且且证证例 30 设:证:要证112300( )( )0.fx dxfx dx2300( )( )( )0.(0)0.xxxf t dtft dtF设F则30( )2 ( )( )( )xF xf xf t dtfx20( )( )2( )( )

44、xF xf xf t dtfx(技巧技巧)(0)0,( ),( )0.ff xf x20( )2( )( )xG xf t dtfx令( )2 ( ) 2 ( ) ( )2 ( )1( ) 0,G xf xf x f xf xf x(0)0,( )0,( )0, (1)0.GG xF xF( )G x.即不等式成立例例 31 证柯西积分不等式证柯西积分不等式:222( ) ( )( )( ).bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx2:( )( )0,f xg x证222( )2( ) ( )( )0.bbbaaafx dxf x g x dxgx dx,0.AC2上式是关于 的二

45、次三项式 其判别式B222( ) ( )( )( ).bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx故222( ) 2( ) ( )( ) 0.f xf x g xg x20:sin.2 2xxdx例32证22222000:sin.8xxdxxsinxdx证20sin.2 2xxdx( )0,1,(0)0,(1)1.f xff设在上可做 且例 33120:( )1.fxdx证11122000:( )( )1.fx dxfx dxdx证112200( )( )1.fx dxfx dx( )0,1f x设在上单调增加且连续,f(0)例34=0,证:1122003 ( )4( ).f x dx

46、fx dx:1证 方法用柯西积分不等式22000()()1()xxxfxfx dxdxfx dx20()xxfx dx11112200003 ( )3( )2( ).f x dxxdxfx dxfx dx120()xfx dx.平方得结论11002.()( )( ) (1)f x dxf x d x方法分部积分111000(1) ( )(1)( )(1)( )xf xxfx dxx fx dx11222001(1)( )( )3xdxfx dxfx dx两边3,再平方得结论.(机功机功)120135( )0, 01,:()( ).3fxxf xdxf例设证明1111:,( )( )().333

47、3xyffx证在处作切线( )0,( )0,1,fxyf x曲线在上是向下凹的( )f x 111( )( )().333ffx2()f t故2111( )( )().333fft111220001111()( )( )()( ).3333f x dxfdxfxdxf四四. 广义积分广义积分: adxxf)( babdxxf)(lim( )aF x( )f x dx0lim( )aaf x dx0lim( )bbf x dx badxxf)( badxxf )(lim0(a为瑕点).注注: 技巧技巧: 化定积分作化定积分作例例 351991年考研题）年考研题） 求3242) 1(xxxdx.解

48、：解：424233,(1)2(1)(1)1dxdxxxxxxsec1xsectandxd 令，那么故 原式 24 3sectandsectan223(1sin)cos d 23 3.3820(1)(1)dxIxx例 36 求 （为实数）.101I2 0122 1 10211 11(1)(1)(1)(1)(1)(1)dtdxt dttxxxttttt120(1)(1)x dxxx1122001(1)(1)14xdxIdxxxx解法解法 1： （2000年省竞赛题）年省竞赛题） 22 0 0costan1tansincosdttdtxtttt 2 0sincossinuduuuut2解法二：解法二

49、： 原式原式 2 01sincos2sincos4uuIduuu 20lnsin.Ixdx例求37240:2lnsin2.xtItdt 解402ln(2sin cos ).tt dt402(ln2lnsinlncos ).tt dt24402lncoslnsin.tutdtudu而24lnsin.udu4204ln22lnsin2lnsin.2Itdttdtln22 .ln2.22III (02省竞赛题省竞赛题)第第 三三 讲讲定积分应用定积分应用一、定积分应用的常用公式一、定积分应用的常用公式1 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy (1)( )baAf x dxxyo)(1xfy

50、)(2xfy 21(2)( )( )baAfxf x dxAA直角坐标情形直角坐标情形abab如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积21( )( )ttAtt dt（其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）(3) 参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数21 ( )2Ad xo d )( xo)(2 )(1 22211( )( )2Ad (4) 极坐标情形极坐标情形 二二. 体积体积xdxx xyo2 ( )bxaVf xdx2 ( )dycVydy xyo)(yx cd2| ( )|byaVx

51、 f x dxxo( )baVA x dxxdxx ab平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xA( , )DVf x y dxdydv三三. 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx dy弧长弧长21basy dxA曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长22( )( )stt dt)(xfy B曲线弧为曲线弧为C曲线弧为曲线弧为( ) ()弧长弧长22( )( )sd(1) 细棒的质量细棒的质量oxdxx )(x xl0( )lmxdx五. 物理应用四四. 旋转体的侧面积旋转体的侧面积b

52、xaxfy , 0)(22( ) 1( )baSf xfx dx侧xyo)(xfy xdxx (2) 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(3) 水压力水压力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(为比重为比重 (5) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(为为引引力力系系数数G(10) 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1AB），（001已知点与的直角坐标分别为 与 ），（110.线段 AB绕 z轴旋转一周所成的旋转曲面为 S.求由 S及两平面 1, 0zz

53、所围成的立体体积 .解：直线AB的方程为1111zyx，即 .,1zyzx在 z轴上截距为 z的水平面截此旋转体所得截面为一个圆，此截面与 z轴交于点 ）（z ,Q00，与 AB交于点 ),1 (1zzzMzyxBOM1QA，故圆截面半径222221)1 ()(zzzzzr例例 11994年考研题）年考研题）从而截面面积 )221 ()(2zzzS，旋转体体积32)221 (102dzzzV例例 2 2、（、（20192019年考研题）年考研题）2xxeey 0 ) 0( , 0yt txx及曲线与直线边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为V(t)，侧面积为S(t)，在处的底面积为F(t).

54、围成一曲边梯形.该曲.)()(limtFtSt（I求的值; （II计算极限dxyytSt2012)(22022124xxxxteeeedxtxxdxee02, 22解：（解：（I） txxdxeetV02, 2)( )2 .( )S tV tx t( )( )s tv t222 )(tttxeeytF 222lim)()(lim20 2tttxxtteedxeetFtS222 lim222 ttttttteeeeee. 1limttttteeee（II） 例例3 3 （20192019年考研题）年考研题）轴围)(1ln000 xxxxy01ln0 xex 0由该切线过原点知，从而所以该切线的方

55、程为xylnxylnxD过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及.成平面图形DADex V（1求面积；绕直线旋转一周所得旋转体的体积.（2求0 xxyln00ln,xx解：（解：（1 1设切点的横坐标为设切点的横坐标为，则直线在点（）处的切线方程是xey1101()1.2yAeey dyexey1xex ex （2切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为21 31eVxylnxex ex 曲线与轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体积为dyeeVy2102)(因此所求旋转体的体积为21221201 ()(5123)36yVVVeeedyee.2()R H4圆锥体V=3,yxe

56、 xe两曲线:之距,ydee(2) 方法方法2:,:.yyxxe 作 平 移1.xyxye ee2.yylnxxee111200Vx dyx dy112200()()yyee dyee dy2(5123)6eeC）（ 10,xCxC例例6 （96年本科三级竞赛题）年本科三级竞赛题）经过点,且位于轴上方.就数值而言，上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求的方程.C)(,(00 xfx002( )1( )xxxxf x dxfx dxx2( )1( )f xfx21yy12yy解：在解：在上任取定点，那么，对求导得即 dxydy12xceyy12）（ 10,1cxeyy12分离变量得.积分得 （4分）以初始条件代入得，所求的方程为 设曲线设曲线2xy y例例 7 设一容器由平面曲线设一容器由平面曲线绕轴旋转而成，今以10cm3/s的速度向容器内倒水，求水面上升到60cm时水面上升的速度.ty220110(0)2yVtx dyyyty20ty5解：解： 设经过时间设经过时间秒，水面上到高度cm，则此时贮水的体积为 60y180t60y611805|2180tdtdy时故当时，水平面上升速度为cm/s.（02年省竞赛题）年省竞赛题）221(0)abab