4.4.4平摆线与圆的渐开线

1、平摆线与圆的渐开线i了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程.2在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位.3 体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性.基础初探1. 平摆线如图447所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P,开始时位于0处，圆（半径为r）在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过 &弧度）角后， 圆与直线相切于B，线段0B的长等于小；的长，即OB=r &这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件.我们把点P的轨迹叫做平摆线，简 称摆线，又叫旋轮线.图 4-4-7以定直线为x轴，点0为原点建立直角坐标系，则定点 P（x，y）的

2、参数方x= r( 0 sin 0，（0为参数）.程为''丿y= r(1 cos 0)2. 圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐 渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的 渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.思考探究1用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】 用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参.其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程（或需判断曲线的形状和位置），则可以用曲线的参数方程作为答案.2 圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】 根据渐开线的定义和求

3、解参数方程的过程， 可知其中的字母r是 指基圆的半径，而参数©是指绳子外端运动时，半径OB相对于Ox转过的角度,如图，其中的ZAOB即是角©显然点P由参数©惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1: 解惑：疑问2: 解惑：疑问3: 解惑：摆线例已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程.，广x= r(sin 扪，【自主解答】根据圆的摆线的参数方程的表达式i(©为y= r(1 cos 仍参数)可知，只

4、需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确 定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式.令 r(1 cos © = 0 可得 cos ©= 1，所以 ©= 2knK®)代入可得 x= r(2kn sin 2kn1.1所以r二2Kn又根据实际情况可知r是圆的半径，故r>0.所以，应有k>0且kN，即 k6 +.所以，所求摆线的参数方程是(其中©为参数，k6+).x= 2kn A sin °，1y=祐cos ©再练一题1 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径

5、最大时该平摆线 的参数方程.【解】令y= 0,可得r(1 cos=0,由于r>0,即得 cos ©= 1,所以 ©= 2knK®).代入 x= r( © sin ©，得 x= r(2K n sin 2K n .)又因为 x= 2,所以 r(2k n sin 2Kn 2,1 即得 r=)7(k® +).k n1 易知，当k= 1时，r取最大值为-.n代入即可得圆的平摆线的参数方程为1(©为参数).© sin © ,y= ；1 cos ©卜例小圆的渐开线已知圆的渐开线的参数方程(©为

6、参数)x= 3cos ©+ 3 ©sin ©,3sin © 3 ©cos ©求出该渐开线的基圆的方程，当参数©取n寸，求对应曲线上点的坐标.【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得 r二3,把 戶2代入即得对应的坐标.x 3cos ©+ 3 ©sin ©【自主解答】-，半径为3.y 3sin © 3 ©cos ©此渐开线的基圆方程为X2+ 卜9.nfn nx= 3 cos 2+ qsiny= 3 sinn n22cosn2，n2，把片2代入参数方程得3 nx 即X

7、 2，y 3.3 n曲线上点的坐标为("2, 3).圆的渐开线参数方程xrcos ©+忖n甘中未为参数$其中©为参数.y r sin ©杞os © ,再练一题2.已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是扌和扌，求A、B两点的距离.【导学号：98990038】【解】根据条件可知圆的半径是1,x cos ©+ ©in ©,所以对应的渐开线参数方程是(©为参数)，分别把©y sin©cos ©3+寸"3 n 3寸3n n可得A、B两点

8、的坐标分别为A( 6,6 ), B(2 , 1).那么，根据两点之间的距离公式可得 A、B两点的距离为AB6、 13 6：3 n 6 n 36；3+ 72.即A、B两点之间的距离为6、i13 6 '3 n 6 n- 36寸3+ 72.x cos 6+（|sin1 若某圆的渐开线方程是'.（©为参数），则此圆的方程_y sin（|cos 6是 对应6 0的点的坐标是，对应6n的点是【解析】圆的方程为X2 + y2 1, 6 0的点的坐标是（1,0）,对应6 2的点n的坐标是（2，1）.【答案】X2 + y2 1 （1,0） （n，1）x 2（ 0 sin 0）,2 .摆

9、线'二（0< 0<2n与直线y 1交点的直 角坐标 为y 2（1 cos 0【导学号：98990039】【解析】当y 1时，有2（1 cos 0） 1，'cos 0 2，又T0W 其 2 n0 3或§，当 0 时，x気一.3;当 0 时，x罟+ 3.【答案】（2nV3,1），（也+罟1）3. 如图4-4-8，ABCD是边长为1的正方形，曲线 AEFGH叫做“正方形 的渐开线”，其中弧AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们 依次相连接，则曲线AEFGH长是.图448【解析】 匸- ：，小2n，相加得5 n.4.已知一个圆的参数方程为x= 3cos 0,y= 3sin 0(B为参数).那么圆的平摆线方【答案】 5n(©为参数),程中与参数 片扌对应的点A与点B；|n, 2之间的距离为.【解析】 根据圆的参数方程可知，