(完整word版)第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)(word文档良心出品)

1、陇东学院数学系常微分方程精品课程教案第四讲 常系数线性微分方程组的解法 (4课时)一、 目的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、 教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、 教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组 .但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方

2、法.然而对于常系数线性齐次方程组(3.20)丫dx其中A是nxn实常数矩阵，借助于线性代数中的约当 Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.由线性代数知识可知，对于任n咒n矩阵A，恒存在非奇异的n咒n矩阵T，使矩阵教案编写人：李相锋李万军13(3.21)(3.22)我们知道，约当标准型 TAT的形式与矩阵A的特征方程det(A - aE)=a11 一几a21耳2a22 一几IHilla1na2nan1an2Hiann 一几TAT成为约当标准型.为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换丫 =TZ其中 T=(tij)(i,j =1,

3、2J|, n), detTHO,将方程组(3.20)化为dZ.T-ATZdx的根的情况有关.上述方程也称为常系数齐次方程组A的特征根.(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵F面分两种情况讨论.(一)矩阵A的特征根均是单根的情形设特征根为Ai,Z_2,川，An,这时P-1方程组(3.20)变为(3.23)TATL0dxdz2dx0(VZ2LzJ易见方程组(3.23)有n个解01L0J乙(x) =000L。L1把这n个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n个解Y(x) dtj(i =12山，n)这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵 A关于特征根的特征向量，并且由线性方程组(A

4、 -kiE)Ti =0所确定.容易看出，Yi(x),Y2(x)，川,Yn(x)构成(3.20)的一个基本解组，因为它们的朗斯基行列式 W(X)在X = 0时为W (0) = detT工0 于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的n个特征根 為入，川仏n,彼此互异，且Ti,T2,川，Tn分别是它们所对应的特征向量，则Yi(x)虽斫1,丫2仪)林2,川,Yn(x) = e入兀是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组生=3x 一 y + Zdt* 史=-x + 5y -zdtdzcI = X - y +3z L dt y的通解.特征方程是解它的系数矩阵是3I-11 I11

5、=r15-11h-13 .3 -几-11-15-几-13-13 -人det(ArE)-032入一11a + 36a-36 = 0沐=2对应的特征向量所以矩阵A的特征根为 再=22 =3,入3=6 .先求T1 - bLcja,b,c满足方程-1b=ljL-1(A-“)11 lal-1-11Lca 一 b + C = 0一a +3b-c = 0可得a = -G b = 0.取一组非零解，例如令 C = 1，就有a = 1,b = 0,c = -1.同样，可求出另两个特征根所对应的特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是1f f 0,T2 =1,T3 =-2LT.11 ”Ti =故方程组的

6、通解是x(t)ly(t) =C1e2t 0 + C2eLz(t)L-3t111 -2（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根L1J+C3e6tL1 J从上一讲我们已经知道，求解方程组dY一=AYdx归结为求矩阵A的特征根和对应的特征向量问题.现在考虑复根情形.因为(3.20)A是实的矩阵，所以复特征根是共轭出现的，设A1,2iP是一对共轭根，由定理3.11，对应解是仪)=*丫1, Y2(x)=e2丫23.20)的实其中Ti,T2是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组( 值解，这可由下述方法实现.定理3.12如果实系数线性齐次方程组dY =A(x)Y dx有复值解Y(x) =U(

7、x)+iV(x)其中U(x)与V(x)都是实向量函数，则其实部和虚部4(X厂U2(X)Vi(x)V(x) =V2(x)LVn(X).LUn (x)_证明 因为Y(X)=U(X)+iV (x)是方程组(3.8)的解，所以aU(x)+iV(x)三 dU2xUidV(xdxdx dx三 A(x)U (x) +iV(x)三 A(x)U(x) +iA(x)V(x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明:= A(x)U (x), dxdVdW =A(x)V(x)dx即U(X),V (x)都是方程组(3.8)的解证毕.(a,b)上的n个线性无关的向量函数,定理3.13如果Y(x),Y

8、2(x)，川,Yn(x)是区间bi,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组biYi(x)+Y2(x), b2Yi(x)-Y2(x),Y3(x)，川,Yn(x)(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在n个不全为零的常数C1,C2，HiCn，使得对区间(a,b)上的所有x皆有CibiY(x) +Y2(x) +C2b2Y(x)-Y2(x) +C3Y3(x) +川+CnYn(x)三0所以(CQ+C2b2)Y(x)+(Cibi-C2b2)Y2(x)+C3Y3(x)十川+CnYn(x)三 0因为Y(x),Yi(x)，川,Yn(x)线性无关

9、，从而CQ + C2b2 = 0, Gb C2b2 =0, C3 =0,川，Cn =0从上式可知，Cibi =C2b2 =0,因为bi,b0,故CC 0 .即所有常数Ci,C2ILCn都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现.即，如果A =a + ib是特征方程组(3.20)对应于Z =a + ib的复值解根，则其共轭入=a-ib也是特征根.由定理3.11，形式是tilYi(X)=da 如气=eZ)xt2(a枷)X=et11 +%1t21 +it22LtnJtn1 +itn2.= eax(cosbx + i sinbx)tn + it12t21 十 it22tn

10、1 +itn2 .ax=e丄ax+ ieCtn cosbx-t12 sin bxlt21 cosbx上22 sinbxt12 cosbx +切 sin bxlt22 cosbx 佗 sin bxtnQOsbx-tn2 sin bx”_tn2 cosbx 中 tnjSi nbx”程组（3.20）对应于特征根 Z = a - ib的解,这里T1是对应于几=a+ib的特征向量.由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方记作Y2（x） = e（axT2, TT；.现将上述两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为1I Yi(x) + 丫2 (x)ax ert11 cos bx -!t21 cos b

11、x -t12 sin bx1t22 sin bx jLtn1 cosbx-tn2 sin bxj1和YS Y2(x) =r t12 cosbx + t11 s in bxl eax|t22cosbt21sinbx|Ltn2 cosbx + tn1 sinbx由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组（3.20）的解，并且由此得到的n个解仍组成基本解组.例2求解方程组dx一 =X - y - z dt)dy=X + y dtdzc丄=3x + z dt解它的系数矩阵为11L3-110-101特征方程是特征根为先求Z, =1对应的特征向量为-1-1det(A -aE )=仏-1)仏2 -2a

12、+5) =0/, =1,几 2,3=12i01T1 =L-1再求打=1 +2i所对应的特征向量 T2.它应满足方程组(A-(1+2i)E)T2 -r-2i-11-2i-1lab =00-2dLcj-2ia -b -c = 0 a -2bi =0 3a -2ci = 0用2i乘上述第一个方程两端，得|4a2bi 2ci =0a2bi =03a2ci =0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即a-2bi =03a-2ci =0J求它的一个非零解不妨令a =2i,则b =1,c = 3.于是 初=1 +2i对应的解是21L3J2i1f-2sin 2t1f2c

13、os2t1=6cos2t+ ietsin 2tL3.3cos2t3sin 2t=6 (cos2t +i sin2t)故原方程组的通解为x(t)l0y(x) =C1et 1+C2eLz(x)L-dr-2sin 2tl cos2t +C3e|_3cos2t j2cos 2tsin 2tL3sin 2t j(三)矩阵A的特征根有重根的情形由定理3.11，我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量A的特征根均是单根时，其基然而，当矩阵A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若Zi是A的ki重特征根，则由齐次线性方程组所决定的线性

14、无关特征向量的个数r , 一般将小于或等于特征根人的重数ki.若Yi = ki,那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同若YI 1000L0為000二200001这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组扎1乙十Z?dx2(3.28)(3.29)dz2-=r Z2dxdZ3、=Z3dxI dz4,丄i=人 2Z4 +Z5dxdz5、=人 2Z5I dx在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得(CZ, = IX2 +C2X +G12!2 1Z2 =(C3X + C2)e Z3毛0同样对(3.29)可解得Z4 =(C5X+C4)e2X这里Ci,C2,H

15、I,C5是任意常数.由于在方程(3.28)中不出现Z4,Z5,在(3.29)中不出现Z1, Z2, Z3 .我们依次取G = 1,C2 = C3 = C4 ：= C5 ：= 0G = 0,。2 ：= 1,。3 ：= C4 ：= C5 ：= 0G =C2 =0,C3 =1,C4 =C5 =0=Cg = C4 = 0,。5 ：= 1G =C2 =C3 =0,C4 =1,C5 =0C1 =C2可以得到方程组(3.27)的五个解如下才000x/Tx2!x00L0 J0 10 1000，Z 5-0exex0 ”e护”，Z 4 =从而Z (x)赫 xex x00:2 ,2! e00e xe0 e护(3.3

16、1)t1101(tux+t jet21e沁(t2 1X + t 2)t31評,Y 2 =(t3 1X + t 30t41小(t41X+14)eLt51e沁1 _(t5 1x+t5)e仁Y = TZ中可得原方程组(3.26)的五个解,Yi是方程组(3.27)的一个解矩阵.又det Z (0) =1 H0 ,所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27)的一个基本解组.现在把(3.30) 的每个解分别代入到线性变换(t2!x2 +t12X+t13)eM(如x2 2!(也22!(如x22!512|(X L 2!+ t22X +t23)eM+ t32X +t33)e

17、M+ t42X +t43)e九+ t52X+t53)et24/XV 1 *+I(t24X+t25)e/t340,丫5 =(t34X+t35)e 护上44鈔(t44X+t45)eE3(t54X+t55)ehl，Y 4=X+t而且这五个解构成方程组的一个基本解组.这是因为,若把上面五个解写成矩阵形式Y(x)=Yi(x), Y2(x),Y3(x),Y4(x), Y5(x)则显然有detY(0) = T HO.至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，Z,是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,Yi (x)二S(x)P2i(x)P3i (x)P4i(x)LP5i(X)

18、.e儿i =1,2,3(3.32)其中每个Pki(x)(i =1,2,3, k =123, 4,5)是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式(R 0 + R 必+ R 2x2)e-x其中R0, R1, R2都是五维常向量.而对于J中的二阶若当块，g是(3.26)的二重根，它 所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R3 中 R4X)e从陇东学院数学系常微分方程精品课程教案其中R3, R4也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20)，若入是A的一个ki重特征根，则kj所对应的若当块可能不是一块而是几块，但是它们每一块的阶数都小于或等于ki，而且这些阶数的

19、和恰好等于ki.这样，由以上分析我们得到定理3.14 设A1,Z2,i|,Am是矩阵A的m个不同的特征根，它们的重数分别为k1,k2,川，km.那么，对于每一个 人，方程组(3.20)有k个形如Yi(x) = Pi(x)e, Y2(x) = P2(x)eM,|H，Yk。) = PMx)/的线性无关解，这里向量PxXi =12川，kJ的每一个分量为x的次数不高于ki -1的多项式.取遍所有的扎i(i =1,2,|(,m)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当 A的特征根有重根时，线性方程组 (3.20)的基本解组的形式, 同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实

20、际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3.1 设n阶矩阵互不相同的特征根为再(i =1,2，川，m)，其重数分别是，k1,k2,川,km(k1 +k2 +IU+km = n),记n维常数列向量所组成的线性空间为V，则(1) V的子集合kV j = R (A-kj E) j R = 0, R V是矩阵A的kj (j =1,2，川，m)维不变子空间，并且(2) V有直和分解V =V V2il( V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组 教案编写人：李相锋李万军教案编写人：李相锋李万军17定理3.15 如果几j是（3.20）的

21、kj重特征根，则方程组（3.20）有个kj形如Y (x)=(R 0+ R1X+IH+R kjdXkj)e恥(3.33)的线性无关解，其中向量 R 0, R 1,|H，R kj由矩阵方程(A Zj E) R 0 = R1(A-几jE)R 1=2 R 2IHIHHINI(A -几j E)Rkj _2 = (kj R kj 4k(A-).jE) jR0=0(3.34)所确定.取遍所有的几j（ j =1,2|, m），则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若几）是（3.20）的kj重特征根，则对应解有（3.30）的形式.将（3.33）代入方程组（3.20 ）有R1+2 R 2x+|i

22、|+(kj 1)R kj4XkjpejX + 5R 0+ R 1X+| +R kjxkj)ejX= A(R 0+ R1X+IH +R kj)/消去ejX，比较等式两端X的同次幕的系数（向量），有(A-)打 E) R 0= R1(A -珀E)Rr =2R2IHIHHINI(A-kj E )R =(kj-1)R kjj(3.35)(A-)E) R kjj=O注意到方程组（3.35）与（3.34）是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其 余都相同.（3.35）与（3.34）同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下面的方程解出R 0，再依次利用矩阵乘法求出R1,R2,1

23、,Rk._1.由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的打(j =1,2,j|,m),就可以由(3.34)最下面的方程求出 n个线性无关常向量，再由(3.31) 逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的n个解.记这n个解构成的解矩阵为 Y(X)，显然，Y (0)是由(3.34)最下面的方程求出的n个线性无关常向量构成， 由引理3.1的2)矩阵Y(0)中的各 列构成了 n维线性空间 V的一组基，因此det Y(0)0，于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组十 T2+ *dxdy2,* + *3 dxldx=y1+y2dy301L1解系数矩阵为1 101特征方程为a-2)仏 +1)2 =0特征根为=22 =爲=T.其中=2对应的解是Y i(x)=e2x下面求=-1所对应的两个线性无关解.由定理3.15，其解形如教案编写人：李相锋李万军陇东学院数学系常微分方程精品课程教案教案编写人：李相锋李万军19并且R0, R