(完整word版)倒立摆MATLAB建模

1、线控大作业如图所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立 摆在图面内运动的二维问题。2/ !A1图倒立摆系统m=0.1g 2l=1m M=1kg g=10/s2假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：摆杆的长度：小车的质量：重力加速度： 摆杆惯量：l=0.003kgm2摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件（由干扰引起）时，最大超调量5 %< 10%(x=0)。调节时间ts <4s ,使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置要求：1、建立倒立摆系统的状态方程2、定量分析，定性分析系统的性能指标一一能控性、能观性、稳定性 3、极点配置设计

2、分析报告1系统建模在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和 匀质杆组成的系统。如下如所示。2/ !mM其中：© 0 图是系统中小车和摆杆的受力分析图。图一级倒立摆模型摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）其中，N和P为小车与摆杆相互作用 力的水平和垂直方向的分量。注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。图小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程:Mx = F -bx - N由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:N =m

3、-dy（x +丨 sin 日）dt即: '2N =mx +ml 日 cos0-ml日 sin0把这个等式代入式（3-1）中，就得到系统的第一个运动方程： '2（M + m）x+bx+ ml日 COS0ml日 sin0=F为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析, 可以得到下面方程：d2dP mg = m . (l cos0)dt2 2P-mg =-ml£ sin£-ml日 cos0力矩平衡方程如下:-PI sin0 -Nl cos8 =|9注意：此方程中力矩的方向，由于 日=兀+肌cos* = _cosT,sin*=-sinQ，故等式

4、前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程:2 （1+ml 胃 +mgl sin9 = -mIxcosQ设+* （*是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设*与1 （单位是弧度）相比很小，即*«1，则可以进行近似处理：cos9=-1,sin9=,（空）2=0。dt用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:I+ml2-mgP =mlxJM +m）x+bx-mlF =u对式（3-9）进行拉普拉斯变换，得到r（l +ml2）（s）s2-mgl （s）=mlX（s）s2（M +m）X（s）s2+bX（s）s ml （s）s2 =U（s）注意：推导传递函数时假设初始

5、条件为0。由于输出为角度*，求解方程组的第一个方程，可以得到：X(sTml(S)mJs= 2 2X(s) (I +ml )s -mg l如果令V = x，则有:(s)ml= 2 2V(s) (I +ml )s -mgl把上式代入方程组的第二个方程，得到：、(I + ml2) g 1 ,(I +ml2) g L ,、* ,、2 、(M +m) I - i+b | +弓 0(s)s-ml(s)s2 =U(s)_ ml s_ ml s J整理后得到传递函数：ml 2一sqb(l +ml2) 3 (M +m)mgl 2+s sq其中q = (m +m)( I2 2+ ml )-(ml)设系统状态空间方

6、程为:X = AX +Buy = ex + Du方程组 对X；*解代数方程,得到解如下:X =x-(I +ml2)b2I 2m glX =2 X +2l(M +m) +Mml I (M +m)+Mml 0 =©(1+ml2)* + |(M +m)+ Mml2 Uml mib= X+ mgl(M+m)M ul(M+m)+Mmrl(M+m) + Mml2 l(M+m)+Mmr整理后得到系统状态空间方程:1-(I +m l2)bl(M +m)+M ml20-mlbX10X0=0 L<,002 . 2m gl01I (M +m) +Mml201+ml2I(M +m) + Mml20ml

7、XI*L*'I (M +m)+Mml20mgl(M +m)+ m)+Mml2x【0 0 01I (MuLI(M +m) + Mml2 jTH；X0 1 0jl*代入倒立摆系统的参数。摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：2l=1m小车的质量：M=1kg 重力加速度：g=10/s2 摆杆惯量：I=0.003kgm2000L0xxxx I* L<另外，也可以利用 MATLAB中tf2ss命令对(3-13)式进行转化，求得上述 状态方程。2系统分析2.1判断系统能控性和能观性在MATLAB中，可以利用ctrb()和obsv()函数直接求出能控性和能观性矩阵A=0 1 0 0;0 0 1

8、0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0；1；0；1；C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;Uc=ctrb(A,B);rc=ra nk(Uc); n=size(A);if rc=ndis p('system is con trolled.') elseif rcvndis p('system is uncon trolled.') endVo=obsv(A,C); ro=ran k(Vo); if ro=ndis p('system is observable.') elseif ro=ndis p('system is n

9、o observable.')End运行情况如下:itatlabFile Edit Debug Desktop Window HelpD杲 議硏I c 樽呂 饗 Currert Directory:EMAIL 占Shortcuts iJ Howto Add 卫art's NewCUruii IT JIt！，" kW 対 LAo 科 Wfi'X囲呼a応a -command WindowMFteg 丄FileTvpeLast ModifiedTo 0 startedselect HATLAB Help or DsinoiS f»谨二阶系统的阶砥响应曲下图

10、所示脉冲响应：?诘二阶系统的阶砥咽应为下图所示Error: Missung variable or function.Cirrent Directory 啊呛pMeCuiiiiuiid Hriioiv-i>=to；oi；Uc-ctvb(As B) jrc=rank fUc), neize A);if rc=-n dispt，system is tlffeif rc<ndispC' system isendVo=obEU (Aj C),co-rank (Vo); if匚orrtrolled”，)uncoirt rolled.')rff=ndispC syst em i

11、sIelseif ro=ni diEpt' eyfttm ir'findobsei/able.')no obaSruabls. * J>>A=0 1 0 0；0 0 1 OiO 0 0 1,0 0 11 0,B=O;1;O;1J ；C= 0 0 (M 0 1 01 ；r=0,0,Jc=rtrb (Aj B) ; rc=rankCUc);BFsise(A);if Ec=ndiEp( syEtem is controlled,") fllstif rc<ndisp t' system endVtx=DhEv (A.J C)；rorank

12、忙oj ;if ro=ndiep C EjEt emelseif rondisp C system«ndEystem is controlled.system is 吐set吨bl »lISLEisuncontrolled.')ohEorvaiblo. * )riQ observable,')2.2系统稳定性A=0 1 0 0;0 0 1 0;0 0 0 1;0 0 11 0; B=0；1；0;1;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0;P=p oly(A),v=roots( P)运行结果如下：>MWLiEFile Edrt Debui3 De

13、sktcf) Window Helpe：1M4ILAE7'M)rk 3旳 C 1百 事 Currert DkectofirStinricuts 0 How Io Add 回 Whi's NewCur-enl Diredoiy rAfef ATUlBTlworkS 叶 fi Q *(FteTypeAl Files 丄Lflst iVkJdHiedConfimand WindowTo get st arted eelect KATLAE Help di DemiOB from th»i 0 0:0 0 D：C 0 0 l;0 a 11 0:E=O;1;Q,1;C=l 0

14、D 0；0 D 1 0；D=0;0:P=pDly (a) itPJQ -11001J_Cirrnt Directory I Vtokspace JCnminand Histoiy003.3166 -3r3106-dispC system is no obstrvable.') end厂能0 1 Q 0;0 0 0;0 Q 0 1;D 0 11 Q;B=ro；l.D.l;-<=1 0 0 D;口 0 I 01：-C=O;QJ ;P=polj(Aj Groots (Pj-> 1 a CF特征值为0 (二重)，3.3166,-3.3166,显然，其中一个极点在右半平面，该系 统不

15、稳定。3系统设计极点配置与控制器设计极点配置的方法就是通过一个适当的状态反馈增益矩阵的状态反馈方法 闭环系统的极点配置到任意期望的位置。X(t) = Ax(t) + Bu(t)，其中X是状态变量(n维)，u是控制信号，这里选取控制信号为U = - Kx，X(t)= (A- BK)?x(t)，该方程的解为 x(t)= e(A- BK)t ?x(0)，系统的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵A - B K的特征决定。K = - (KiK2K3 K4)?X，闭环系统的方程为X= Ax +Bf = (A- BK)x ，选取所希望的极点值为，PlP2P3P4设计状态反馈阵时，要使系统的极点设计成具有两个主导极

16、点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定。最大超调量小于等于10%，调节时间为4S,zpZ2运用超调量的计算公式,d%= e z2?100%，其中z为阻尼系数，有该公式可求得，阻尼系数z =0.59,小于1,是欠阻尼。3ts =ZWn3-（-s为极点实部），可以求得 Wn =1.27 s则极点公式为P1 , = - ZWn ? jj1 Z2Wn，得到两个共轭极点为p1 , = - 0 . 7?5 j 1 .025配置非主导极点P3 = - 15, P4 = - 15，在MATLAB的控制系统工具箱中提供了单变量系统极点配置ackerO,其格式为K=acker(A,B ,

17、p)程序如下：A=0 1 0 0;0 0 -2 0;0 0 0 1;0 0 22 0;B=0；1；0；-1；C=1 0 0 0;0 1 0 0； 0 0 1 0； 0 0 0 1;D=0;rc=ra nk(ctrb(A,B);p=-0.75+1.025j,-0.75-1.025j,-15,-15;K=acker(A,B ,p)运行结果如下：» clear» A=o 1 0 oe 0 1 ro 0 0 1;0 0 11 0;C=l 0 0 0;0 0 1 0;D=EOiO,rc=ranli (ctrb (A, B);p= -0. 75+L 025j, -0. r5-L 025j,-15,-15;E=acker (Aj Ep)fO.0304-36.2953-33, 589431S.90844程序及其执行结果该二阶系统的阶跃响应为下图所示Figure 1a X皿 p=l!_dulv04030 2C.30.20.105 dl04step Response0.10.20.5O.S0.70.310.4Time (sec)脉冲响应:Figure 1Fil