导数中的端点效应问题x

1、导数中的“端点效应”问题不等式恒成立求参数的取值范围的题目一般形式是：当X X0时，不等式 g (x) f (x, a) 0恒成立，求实数a的取值范围。一般解法主要有两种：一是直接求函数g (x) f (x, a)的最值；二是把参数a分离出来，得到a h(x)或a h(x)的形式，然后再求函数 h(x)的最值。纵观近几年的高考试题，利用导数求不等式中某一参数的试题可以考虑使用“端点效应”，即对某个端点进行验证。基本原理：设函数 ？(?？)含参数？，且 x A , ?(?)> 0恒成立的？的取值范围为？。若x A ,由 °,(此时)且当时，恒成立，贝【Jo?(?)> 0 ?

2、 C? ? ?.C ?(?)> 0?二 99 说明：1. “此时?, ”是因为? e ?, ?(?)> 0恒成立的取值范围是由？取集合？?中每一个值使?(?)成立的？的所有取值范围的交集确定.2. 设函数？(?？)含参数？，且x A , ?(?)> 0恒成立的？的取值范围为？，则xo A ,使得？(?？)£0成立的？的取值范围为Cu B :所以特称命题转化为全称命题后， 也可以考虑用特殊点效应.(一) 端点效应 一一给定原始区间的端点效应1例 1.已知 9?”(，一_2答藐 ©1._利用f区耐(0肖右端点解析三由审 toga < 2.彻叽2<

3、-1 = 1略牛fa > 1 ffl < a < 1!M ；2 <1或2n丄 解磅此时易知原命题成立例2.已知函数f(x)二。h x(1) 讨论函数?(?)的单调性；2胖：(I)略(2)划一wu-f + m a()恒成立的实槪m的取值范简禺为Mr E e, e函数f(x) 1X3 mx2 3m2 x 1在区间1,2上单调递增，则实数m的取值范围是.3* f(x) > mfr 1) + :恒成立.所以/(，)一0>- 1), W；(e2-1) > n(e2 - i)T < ；. 而当m < 期.e(, -1) + < j(x - I)

4、+ t = £:r则只爾证7J(e S x i ea)>即证明liij( < 2(e < jc < e已知函数f仗) x3 3 (3 1) x2 6ax ,当a 0时，若函数f(x)在区间 1,2上是单调 函数，求a的取值范围. 【2008江苏】设函数 f (x) ax3 3x 1 ,若对于x 1,1总有f (x)0恒成立，贝9)t显Hl这十不等氏成立1 因此bx |e.e2. f(x) - rnx - - 4- in > 0恒成立的实数m的収(fi范禺为m < j.从仏 存心E他八便後f仗)一®-£ + mO成立的实数m的妝值

5、范叩m二老沖断：通过转化为金称由題点用端点效应，牡松解决问翹：旦如烬直按去求解山于產:涉対參数的分类I寸论.恐不昜解决何尊.rr玮程的你.不妨试-试根据以上分析可知，若不等式g (x) f (x, a) 0具有如下特点：验证端点X X0时，发现有g(xo) f (xo ,a)0成立，也就是不等式中等号成立的条件恰好是已知区间的一个端点，那么，不等式 g (x) f (x,a) 0成立就化为不等式g (x) g (xo )成立，假设函数g (x)在xo ,)上是单调增函数，就可以确定实数a的一个恰发的范围，使g 仗)0成立，即找到一个使不等式 g仗)f (x, a) 0成立的充分条件。接下来还需

6、要证明，不在这个范 围内的实数a ,不能够满足条件 g(x) f (x, a) 0 o这时只需要找到一个以xo为端点的区间仗0 , XI ),当x (X0 , XI)时，g 仗)0 ,从而g (x)在(X0 , XI )上是减函数，因此有 g(x) g (xo )0成立，这与g (x) f仗，a) 0矛盾，而区间(xo , XI )的得到只需要通过解不等式g'(X) Oo1. 已知函数f(x) x3 ax 2 bx c在区间 1,0上单调递减，贝ija2 b2的取值范围是例3.已知函数f(X) e ax。1 x(1) 设a 0,讨论y f仗)的单调性；(2) 若对任意x (0,1)恒有

7、f仗)1,求a的取值范围。 例 4.设函数 f(x) ex 1 x ax2 o(1)若a 0时，求f仗)的单调区间；(2)若当X 0时，f(X)0 ,求8的取值范围。函数在端点处的取值有以下三种情形：(1) f(x)在区间a, b的端点a和b处均有定义且 壬 °f (b) 0;(2) f(x)在区间a,b的端点q或b处无定义或区间是无限区间a,(3) f(x)在区间a,b的端点a或b处有f(a) 0或f (b)0。(二) 端点处的取值有意义且不为0若对任意例5. 2008天津】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当X 0时，f(x) x2,的x t,t 2 ,不等式f(x 1)2 f

8、(x)恒成立，则t的取值范围是()A. V2,B. 2,C. 0,2D. 血 12, I例6.若f (x) ax2 (3 a)x 2 a 00,1上恒成立，则实数 a的取值范围是在【变式1】2013全国卷】已知函数f(x) xs 3ax2 3x 1，当x 2, 时， 求&的取值范围。【变式2【2012江西】已知函数f (x) ax2 6 l)x 1 ex在0,1上单调递减，求a的取 值范围。【变式 3 2010天津】已知函数 f(x)ax3_ x2 l,a ° ,若在区间_ 上2 2 2f (x)0恒成立，求a的取值范围。例7.设函数f (x)1 e x o(1)证明：当X1

9、 时，f (x)；x1(2)设当X 0时，f 6c)x ，求g的取值范围。ax 1(二)端点处的取值没有意义且趋于无穷f仗)h x的定义域是 0,且当x趋于0时，f(x) b x趋于负无穷，当x趋于 时，f(x) hx趋于正无穷，为了后面方便表述，记f(0), f () 。然后不管函数 f(x)在区间的端点a处有没有意义，也不管a是否为无穷，我们均记f6)为当x趋于&时f (x)的值。这样的记法为了后面的叙述。例8.【2012新课标】当0 x丄时，QB.2bg ax ,则a的取值范围是(C.1,血D. J2,2例9. 2009江西】已知函数 f (x)2m x2 2(4 m ) x 1, g (x) m x ,若对于任一实数 x，f (x)与g(x)的值至少有一个为正,m的取值范围是【变式1】不等式bga(X23)l(x 2)恒成立，则实数a的取值范围是()A.10,_3B. 3C，1,3D. 3,例10.已知函数f仗)(三) 变形后验证端点曲线y f仗)在点(1, f (1)处的切线方程为(1)求a,