牛吃草公式及倍数知识

1、我们一般把面积统一为“ 1 1”相对简单些。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛 吃草问题常用到四个基本公式，分别是：设定一头牛一天吃草量为“ 1 1”公式 1.1.草的生长速度=（对应的牛头数X吃的较多天数-相应的牛头数X吃的较少天数）*（吃的较多天数-吃的较少天数）；公式 2.2.原有草量=牛头数X吃的天数-草的生长速度X吃的天数； 公式 3.3.吃的天数=原有草量*（牛头数-草的生长速度）；公式 4.4.牛头数=原有草

2、量吃的天数+草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化， 但由于是匀速生长， 所以每天新长出的草量应该是不变的。 正是由于这个不变量， 才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的基本数量关系是：1.1.

3、（牛的头数X吃草较多的天数- -牛头数X吃草较少的天数）*（吃的较多的天数 - -吃的较少的天数）= =草地每天新 长草的量。2.2. 牛的头数X吃草天数- -每天新长量X吃草天数= =草地原有的草。解多块草地的方法多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，任意两个奇数的平方差是 8 的倍数证明：设任意奇数 2n +1,2m+1,（m,n N）(2m+1F2-(2 n+1F2=(2m+1+2n+1)*(2m-2n)=4(m+n+1)(m-n)当 m,n 都是奇数或都是偶数时，m-n 是偶数，被 2 整除当 m,n 一奇一偶时，m+n+1

4、 是偶数，被 2 整除所以（m+n +1）（m-n）是 2 的倍数则 4（m+n+1）（m-n ）一定是 8 的 倍数2 2的倍数尾数是偶数3 3的倍数数字和为 3 3 倍数4 4的倍数末两位是 4 4 的倍数5 5的倍数尾数是 0 0 或者 5 56 6的倍数满足 2 2， 3 37 7的倍数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 2 倍，如果差是 7 7 的倍数，则原数能被 7 7 整除8 8的倍数末三位是 8 8 的倍数9 9的倍数数字和等于 9 91111 的倍数奇数位数字和与偶数位数字和的差为 1111 倍数（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a

5、,总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。（3） 若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。（6） 若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。（7） 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果 差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数， 就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程

6、如下：13-3X2=7,所以133是7的倍数； 又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613-9X2=595 ,595X2=49, 所以6139是7的倍数，余类推。（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数 能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一 不同的是：倍数不是2而是1！（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。（13）若一个整数的个位数字截去，

7、再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果 差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍 数，就需要继续上述 截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。（14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果 差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍 数，就需要继续上述 截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。（15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果 差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍 数，就需要继续上述 截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。（16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数