01加群、环的定义

1、第三章 环与域(Rings and Fields)概述：本意主要讨论两种根本代数系统一一环与域.和上章一样,在这一意我们只讨论环与域的假设十最根本的性质及一些根本理论,并且介绍几种特别的环 与域,使得我们一方面对于中学代数有更活楚、 更深入的了解,另一方面为了今后 进一步的学习和研讨获得必要的根底.第一节环的定义根本概念：环的定义及根本性质、单位元、零因子、整环、无零因子环、除环、域.重点、难点：环的定义、几种最常见的环之间的关系.一、加群定义3.1.1设G是一个交换群,假设将群 G的代数运算叫做加法,那么称 G为了一个加群, 此时G的代数运算记为了“ + .注1 加群G中的单位元称为了零元,

2、记为了0;G中元素a的逆元称为了a的负元(简称负a),记为了一a.注2 加群G中的其他一些符号及运算定律的记法也随之发生改变(具体见教材 P80-82).注3设S加群G的一个非空子集,那么S为了G 一个子群a b S, a S, a,b S a b S, a,b S、环的定义v 一根本概念环就是一个带有两种代数运算并满足一些运算性质的非空集合.具体如下定义3.1.2设R是一个非空集合,R带有两种代数运算：加法(记为了“ + )和乘法(记为了假设(1) R对于加法是一个加群；(2) R对于乘法构成一个幺半群；(3) 加法和乘法满足左、右安排律：(a b)ca(b c)acbcabac, a,b,

3、c那么称R是一个结合环,简称R是一个环,记做(R,+, - , 0)是一个环.注 环中的运算顺序为了：有括号先算括号,无括号的先算乘法后算加法.例1 R = （0 ,山,& , S.加法和乘法由以下两个表给定：+0ab eX0abc00ab c00000aa.Ic ba000CibbQ ab0ai?rba 0c0abc那么R对于上述两种运算构成一个环.证（1） R是一个加群：.封闭, 结合律, 零元, 负元, 交换律.（2）R是一个乘法半群：封闭,结合律.（3）满足左、右安排律.例2容易验证：（1）全体整数关于数的普通加法和乘法构成一个环,称为了整数环,记为了（,0,1）或简记为了C.

4、 （2）全体有理数（实数、复数）关于数的普通加法和乘法构成一个环,称为了有理数域,记为了（,0,1） （ （ , , ,0,1）、（ , , ,0,1）或简记为了.（？、 £）.例3 数域F上的n阶方阵的全体关于矩阵的加法和乘法构成一个环,称为了 F上的n 阶方阵环,记为了Mn（F）.例4 R = （所有模酩的剩余类,规定运算为了 小四皿"&"可以证明R关于上述运算构成一个环,称之为了模氏的剩余类环,记为了ii/n ,或.n.v二 初等性质（P81-84中的（1 ） （14 ）条,略）值得一提的是：在一般的环中,（ab）n未必等于anbn,即二项式定理未必

5、成立.三、一些特别的环v一 交换环定义3.1.3假设环R的乘法满足交换律,即愚=ba , a,b R,那么称R是一个交换环.例如,C、.、?、£、如都是交换环,而 Mn（F ）那么不是交换环.注1 在交换环中,二项式定理成立,即（ab）n anbn , n为了正整数.二 含幺环R是一个有单位元的环,其中乘定义3.1.4假设R的乘法半群是一个乘法幺半群,那么称 法单位元古通常记为了1,此时环R通常也称为了含幺环.例如,C、.、?、£都是含幺环,单位元就是数1, Cn、Mn(F )也是含幺环,单位元分别是1和n阶单位矩阵En.这也说明含幺环中的单位元1并非就是普通整数1.注1

6、并非所有的环都是含幺环.如下例.例5 2 C = (所有偶数, R对于数的普通加法和乘法来说作成一个环.但R没有单位元.注2假设R是有单位元的非零环,那么R中的零元与单位元一定不相等. 注意,零环R 0也是一个含幺环.故约定在今后的讨论中,含幺环总是指非零环.注3含幺环中的单位元总是惟一存在的.注4在含幺环R中,规定 a0 1, a R .定义3.1.5 一个有单位元环的一个元 占叫做元食的一个逆元,假设死=如=1 ,此时也 称a是一个可逆元.注1 假设b是a的一个逆元,那么 a也是b的一个逆元.注2逆元未必存在,如非零环中的零元.但逆元假设存在,那么必是惟一存在的.n汪3右a可逆,那么a (

7、a ) , n C.注4还有左逆、右逆的概念(见第二章)v三无零因子环问：在一般的环中,两个非零元素之积是否仍旧非零,即ab 0能否推出a 0或b 0 ?这个问题的答复是否认的,如环0n ,n是个合数.定义3.1.6假设是在一个环里a 0,b 0,但 ab 0,那么称就是这个环的一个 左零因子,石是一个右零因子.假设a既是一个左零因子,又是一个右 零因子,那么称a是一个零因子.注1在交换环中,左零因子、右零因子、零因子的概念是统一的.aa, b O b注2在非交换环中,左零因子与右左零因子的概念是不统一的.如特别矩阵环0 R0注3乘法可逆兀一定不是左、右零因子.无零因子环定义3.1.7不含左、

8、右零因子的环称为了例如,C、.、?、£都是无零因子环,而 Cn(n是合数)、Mn(F)不是无零因子环.注1可以证明：R是无零因子环"a,b R,ab 0 a 0或b 0" R中非零元素之积仍非零.证a( 0)R, b, cR .假定R是无零因子环abaca(b c)0bc 0 bbaca(b c)a0bc 0 b定理3.1.1环R是无零因子环R的乘法满足左、右消去律c；故R中的乘法满足左、右消去律反过来,假定R中的乘法满足左消去律ab 0,那么aba0即R无零因子.由上面的证明可以得知有推论3.1.2环R的乘法满足左消去律R是无零因子环R的乘法满足右消去律.v四整

9、环定义3.1.8 一个有单位元的无零因子的交换环叫做一个整环.例如,C、.、?、£都是整环,而2C、0n (n是合数)、Mn(F)不是整环.五 除环、域例6艮只包含一个元莅,加法和乘法是:那么R是一个有单位元环,单位元 a有一个逆元,就是 a本身.此时R就是零环._° 1 -11例7.、?、£中任怠一个非苓数 a都有一个逆兀 一,且a 一 a 1 -一般的,我们有如下的概念.定义3.1.9 一个环R叫做一个 除环(或体、斜域),假设(1) R中至少包含一个不等于零的元(即R中至少有两个元素);(2) R有单位元；(3) R的每一个不等于零的元有一个逆元.交换的除环

10、叫做域.例如,.、?、£都是域.容易证明,除环具有下面的性质.命题3.1.3 （1）除环是无零因子环.设R是一个非零环,记R* a R| a_ _ _ . *0) R 0,那么R是除环 R对于R的乘法构成一个群,称之为了除环R的乘法群.（3）在除环R中,a( 0) R,b R,方程ax b和ya b都有惟一解.注1 在除环R中,a( 0) R,b R,a 1b与ba 1未必相等.假设 R是域,那么a 1b ba 1 ,统一记为了b ,称为了b除以a的商,易知商具有与普通数相似的一些性质（具 a体见教材P91）.例8设H a° ai a2 j a3k | a°, a

11、,a2, a3 ?）是实数域？上的四维向量空间,1,i,j,k为了其一组基,规定基元素之间的乘法为了:222(1) i j k 1 ；(2 ) ij k, jk i, ki j .将其线性扩张为了 H中的元素之间的乘法.那么 H关于向量的加法和上面定义的乘法构成一个 除环,称之为了（Hamilton）四元数除环或四元数体.证只需证明H对于H的乘法构成一个群,为了此只需证明H中的每个非零元均可逆:事实上,设02a0 a1i a2 ja3k H ,贝Ua°2a2a2a. i可逆,从而H为了除环.注1 H还有其他的定义方式,如定义为了复数域上的二维向量空间（见教材P92）或复数域上的二阶方

12、阵环M 2 （£）的子环（见 N.Jacobson « Basic Algebra I>）.注2 爱尔兰数学家 W.R.Hamilton花了十年时间给出了 H的乘法.关于扩大数系的探 索钻研开辟了代数钻研中的一个方向一有限维代数（有兴趣的读者可以查阅相关资料）.利用满足满足左、右消去律的有限半群是群可知 定理3.1.4一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环.推论3.1.5有限整环是除环.模p的剩余类环0 p为了域p为了素数.证（）：易知p 0,1 .假设p为了合数,那么 p ab,a,b 1 .丁是a 0,b 0,但ab p 0,即0p中有零因子,此与Cp为了域矛盾,故p为了素数.p |a或p |b,即有a 0或即 0 p为了域.(E)<含幺环)交换环 I无零因子环除环域():设p为了素数.假设a b 0 ,那么p |ab ,从而b 0,故0p为了一个无零因子环,于是 0p是一个有限整环,附注1环的定义示图(凡+0)是Abel加群左右安排芾_(&,)是乘法半群*n幺半群r 一厂 1 Abel 辱0 (R) I 半群> 半群 >"群 >k Abel群附注2本节中介绍的几种最常见的环之间有如下的关系图：其中,例