导数题误区剖析

1、导数题误区剖析江苏涟水中学 刘成新课改教材对导数的要求进一步提高（选修11和选修22）。在导数的教学过程中，应展现导数概念的形成过程，把导数的定义及相关概念讲解清楚到位，使得学生认识和重视导数的应用价值和文化价值，尤其是在研究函数的性态上的一般性和有效性。特别是利用导数可以求函数的单调性、极值、最值、以及曲线的切线方程。通过对以往学生学习导数的研究，发现学生由于概念不清或理解不到位，而导致的错误将时常发生。本文拟对学生在习题中常见的误区作一个简单的剖析，以便我们在教学过程中更有针对性、有的放矢，从而提高学生学习数学的兴趣，达到不断提高教学质量的目的。1. 定义理解不到位定义：设函数在上有定义，

2、当无限趋近于0时，比值无限趋近于一个常数A，则称在点处可导，并称该常数A为函数在点处的导数，记作. 导数的几何意义就是由曲线在处的切线斜率.例1.已知函数，当无限趋近于0时，则有= 。误解：因为导函数，所以，原式=剖析：在导数定义中，增量的形式是多种多样的，但不论增量选择哪一种形式，相应中也必须选择对应的形式。即本题用导数的定义求解，中的增量为，则分母也应为。故正确解法：原式=。2.数的几何意义应用有误例2.曲线，过点作曲线的切线方程。误解：导函数，根据导数的几何意义，可知曲线的切线斜率，所以曲线的切线方程为：。剖析：上述解法错在对导数的几何意义理解有误，以及对切线定义理解不透彻。切线的斜率应

3、在切点处的导数，而点不在曲线上，本题应先设切点，在求解斜率，写出直线方程。正解：设切点坐标，则切线的斜率，所以切线方程为：，又因为点在曲线上，所以，将切点代入切线方程得，解得或，所以当时，曲线的切线方程为：；当时，曲线的切线方程为：。3.导数在函数的单调性应用上的几点误区.所求单调区间的不完美例3.求函数的单调区间误解：导函数，令解得，当时，函数为增函数；当时，函数为增函数。剖析：上述解法虽然正确，但结论不完美，在教材的必修1中幂函数的单调性，教材中有函数的图像。如图所示，从函数图像上看，函数图像自左向右逐渐上升，因此函数在上是单调递增函数。.判断函数的单调性，忽略特殊情况例4.要使函数在上是

4、减函数 ，则的取值范围。误解：导函数令，解得，因此，当时，函数是减函数，又因为函数在上是减函数，所以，即，解得，故的取值范围是。剖析：上述的求解函数的单调区间的方法是正确的。但要求解的取值范围，在这种情况下，应把端点包含到单调区间上，即函数在上是减函数，则，即，解得，故的取值范围是。例5、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。误解：依题意，得在上恒大于，所以，解得。剖析：函数在区间上可导，若导函数，则函数在区间上是单调递增（减）函数。这是函数严格单调的充分条件而不是必要条件。例如上面例3中所提到的函数在是增函数，但并不恒大于。实际上，在上恒大于等于，所以，解得。4.导数在函数极值方面的误区.

5、将“稳定点”等同于“极值点”定义1：可导函数的方程的根，称为函数的稳定点。定义2：设函数在区间有定义，若，且存在的某邻域，有，则称是函数的极大点（极小点），是函数的极大值（极小值）。极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值。对于“”只是它为“函数的极值点”的必要而不充分条件。即函数的极值点必然在函数的稳定点的集合之中，反之，不成立，即稳定点不一定是极值点。例3中的函数，它在上可导，由方程，解得唯一稳定点，从图像上看，显然点不是可导函数的极值点。例6.函数的极值点是 （ ）错解：导函数，令，解得，故答案应选C。剖析：这三点都是稳定点，那是不是极值点？存在极值点条件：导函数在稳定点的两

6、侧有不同的符号，必是函数的极值点。显然导函数在两侧有相同的符号，不是函数的极值点。正解：由知，当时，当时，；当时，当时，故在上是单调递增函数；在上是单调递减函数。因此，只有为极小值点，而和不是极值点（实际上是函数的拐点），故应选D。例7.函数，当时，有极值，那么的值为 。误解：导函数，因为函数在处有极值，可得 ，解得 或因此 或 。剖析：上述解题忽略了一个细节，解题过程中只用到，和，这能说明它是极值点吗？当、时，函数在上是增函数，显然不是函数的极值点；验证当、时，是函数的极值点。故。.误把极值当最值例8.求函数在区间上的最值。误解：导函数，解得，或，经验证，和都是函数的极值点，即为极大值，为极

7、小值，因此函数的最大值为，最小值为。剖析：本题是误把“极值”当成“最值”所导致的错误。对于上面所给出的定义可知，极值是一个局部概念，是函数在某一点的小领域内的最值；而最值是整体概念，是在整个闭区间上的最值。在一个区间上可能有很多极大值（极小值），而且某些极大值还可能小于某些极小值，但只能有一个最大值（如果存在最大值）和一个最小值（如果存在最小值）。因此求函数闭区间上的最值，需要将函数的一切极值与其端点值进行比较才能确定。本题两端点值，所以函数的最大值为，最小值为。.把极值点的取值范围扩大例9.函数在区间上的极大值就是最大值，则的取值范围。误解：导函数，令，解得，经验证是函数的极值点，所以，解得，故的取值范围是。剖析：定义2，即极值定义，不难发现极值点在区间的内部（即不能是区间的端点），是函数的极值是与函数在的某