排列组合的综合应用(阅读材料)——针对一些同学对分组问题存在模糊认识而编

1、排列组合的综合应用方法汇总(阅读材料)针对一些同学对分组问题存在模糊认识而编解题思路归纳:解排列组合问题,首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成,对于元素之间的关系,还要考虑“是有序”的还是“无序的”,也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有_个.（答案：30个）科学

2、分类法：对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生.例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有_种.（答案：350）分组（堆）问题的六个模型：有序不等分；有序等分；有序局部等分；无序不等分；无序等分；无序局部等分；插空法：解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决.例如：7人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是_.(答案:3600)捆绑法：相邻元素的排列,可以采用“整体到局部”的排法,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排

3、列,然后再局部排列.例如：6名同学坐成一排,其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.（答案：240）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0,1,2,3,5,7,11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）剪截法（隔板法）：n个相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成

4、m段（插入m1块隔板）,有种方法.错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.2个、3个、4个元素的错位排列容易计算.关于5个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题：5个元素的全排列为：；剔除恰好有5对球盒同号1种、恰好有3对球盒同号(2个错位的)种、恰好有2对球盒同号(3个错位的)种、恰好有1对球盒同号(4个错位的)种 120-1-44.用此法可以逐步计算：6个、7个、8个、元素的错位排列问题.容斥法：n个元素排

5、成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法.题型讲解:例1 将6本不同的书按下列分法,各有多少种不同的分法？ 分给学生甲3 本,学生乙2本,学生丙1本； 分给甲、乙、丙3人,其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本； 分给甲、乙、丙3人,每人2本； 分成3堆,一堆3 本,一堆2 本,一堆1 本； 分成3堆,每堆2 本. 分给分给甲、乙、丙3人,其中一人4本,另两人每人1本； 分成3堆,其中一堆4本,另两堆每堆1本.分析：分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的. 特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题.解：是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；

6、是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；是指定人应得数量的均匀问题：方法数为；是分堆的非均匀问题（与等价）：方法数为；是分堆的均匀问题：方法数为；是部分均匀地分给人的问题：方法数为； 是部分均匀地分堆的问题：方法数为.点评：以上问题归纳为分给人（有序）分成堆（无序）非均匀均匀部分均匀见上表中的三类六种不同的分书问题的模型；要将问题转化为六种分书模型来解决.例2 求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排,2女相邻；（2）6男2女排成一排,2女不能相邻；（3）4男4女排成一排,同性者相邻；（4）4男4女排成一排,同性者不能相邻.解：（1）是“相邻”问题,用捆绑法解决：.（2）是“不相邻”问题,

7、可以用插空法直接求解.6男先排实位,再在7个空位中排2女,即用插孔法解决：.另法：用捆绑与剔除相结合：.（3）是“相邻”问题,应先捆绑后排位：.（4）是 “不相邻”问题,可以用插空法直接求解: .例3 有13名医生,其中女医生6人.现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区,若医疗小组至少有2名男医生,同时至多有3名女医生,设不同的选派方法种数为P,则下列等式(1)(2);(3);(4);其中能成为P 的算式有_种.分析: 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法,故为组合问题.用直接法解:选派5名医生分为2男3女,3男2女,4男1女,5男这四类,故(2)正确; 用间接法解: 不考虑限制条件,选派方

8、法有种,需剔除的有1男4女,5女两类,故(3)正确.因此结论为: (2)(3).点评：本例要特别防止误选(4).例4 对某种产品的6件不同正品和4件不同次品,一一进行测试,到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现,则这样的测试方法有 种解:在各次测试结果中交换其中两者的顺序,成为两种不同的测试方法,因此是排列问题.故所有测试方法是6件不同正品取出1件与4件次品排成一列且最后一件是次品： =576种.例5 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单,开演前有增加了2个新节目,如果将这两节目插入节目单中,那么不同的插法种数为_. 解:实质是7个节目的排列,因原定的5个节目顺序不改变

9、,故排这5个节目是一个组合,有种方法,在排新插入的两个节目有种方法,故.点评：分清是排列还是组合问题排列与组合的根本区别是元素之间有否顺序.若元素之间交换次序后是两种不同的情形,则是排列问题;若元素之间交换次序后是相同的情形,则是组合问题;另外若元素之间已经规定了顺序,则仍是组合问题.例6 从10 种不同的作物中选出6 种放入6个不同的瓶子中展出,如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内,那么不同的放法共有( )种. A. B. C. D. 解: 先排第1号瓶,从甲、乙以外的8种不同作物种子中选出1种有种方法,再排其余各瓶,有种方法,故不同的放法共有.故选C.点评：这样解分步合理、过程简捷.但本题

10、更容易想到先从10种不同的作物种子中选出6种,然后排列.由于选出的6种种子中是否含甲、乙不确定,导致后继排列也不确定,这时就要分类了.选出的6种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为种,选出的6种种子中,同时含甲与乙的不同放法有种;选出的6种种子中,都不含甲与乙的不同放法有种.故不同的放法共有种.例7 将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物,不同的种植方法共有_种.解: 根据同种作物最多能种植的块数分类讨论:(1) 当其中有一种作物种三块时,选取这种作物有种,它们只能种在两端及中间位置,有不同的种植方法种,(2) 当其中两种作物各种两块时,选取这两种作

11、物有种,然后选定其中一种作物,其不同种植方式有以下六类:第(1)(2)(5)(6)类的种法都是2种;第(3)类有1种种法;第(4)类有3种种法,于是这种情况有种种法,故不同的种植方法共42种.例8 四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_种 解: 本题直接计数很困难,用间接法,从10个点中取4个有种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种数为;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有种.点评：确定用分类法、分步法、还是间接法计数为求完成某件事的方法种数,如果我们分步考虑时,

12、会出现某一步的方法种数不确定或计数有重复,就要考虑用分类法,分类法是解决复杂问题的有效手段,而当正面分类情况种数较多时,则就考虑用间接法计数.例9 从黄瓜,白菜,油菜,扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有_种.解:按要求从4种蔬菜品种中选出3种有种方法,种在不同土质的三块土地上有种方法,不同的种植方法共有种.例10 有四个不同的小球,全部放入四个不同的盒子内,恰有两个盒子不放球的放法总数为 _ 解:选取两个不放球的盒子,有种选法；把4个球分成两堆,可分为两堆各为1,3个或两堆都有2个球这两类,有种;再把两堆分别放入两个盒子里有种,所求放

13、法总数为种.点评：对常见的排列组合综合问题,应先组合,后排列.例11 把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有_种.解:先给编号为2、3的三个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串,截为三段有种截断法,对应放到编号为1、2、3的三个箱子里.因此,不同的放球方法有11010种.例12 某校准备参加2005年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有_种.解 问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.将10个

14、小球串成一串,截为7段有种截断法,对应放到8个盒子里.因此,不同的分配方案共有36种.点评： 剪截法（隔板法）：n个 相同小球放入m(mn)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m段（插入m1块隔板）,有种方法.例13 编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有_种.解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有种.点评：错位法：编号为1至n的n个小球放入编号为1到 n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编

15、号都不同,这种排列称为错位排列.特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.例14 将A、B、C、D、E、F六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A不排在始端,元件B不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ 解：不考虑限制条件共有种排法,元件A排在始端和B排在末端各有种排法,把它们都剔除,则A排在始端同时B排在末端的总数多减了一次,需补上种.故组成不同的电路种.点评：容斥法：n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法.小结：六种分书模型；解决排列、组合问题的一些常用方法：容斥法、错位法、剪截法（隔板法）、捆绑法、剔除

16、法、插孔法.学生练习:1.将3封不同的信投入4个不同的邮筒,则不同的投法的种数是（）A.B.C.D.2.某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场,得3分；平一场,得1分；负一场,得0分；一球队打完15场,积33分,若不考虑顺序,该队胜、负、平的情况共有（）A.3种B.4种C.5种D.6种3.若,则（）A.9B.8C.7D.64.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的三块地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法共有（）A.24种B.18种C.12种D.6种5.从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台,其中至少有原装与组装计算机各2台,则不同的选取法有.种（结果用数值表示

17、）6.在一块并排10垄的田地中,选择2垄分别种值A、B两种作物,每种作物种植一垄,为有利于作物生长,要求A、B两种作物的间隔不小于6垄,则不同的选垄方法共有种（作数字作答）7.有件不同的产品排成一排,若其中A、B两件产品排在一起的不同排法有48种,则8.将3种作物种植在如图的5块试验田里,每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物,不同的种植方法共有种（以数字作答）9.把6名同学排成前后两排,每排3人,则不同排法的种类（）A.36B.120C.720D.144010.6个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A.288B.480C.600D.64011.12名同学分别到三个不同的路口

18、进行车流量的调查,若每个路口4人,则不同的分配方案共有（）A.种B.3种C.种D.种12.从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同工作,其中甲、乙两名志愿者都不能从事翻译工作,则选派方案共有（ ）种A.280B.240C.80D.9613.用1,2,3,4,5这五个数字组成比20000大,且百位数不是3的,无重复数字的个数是（）A.64B.72C.78D.9614.从某班学生中,选出四个组长的不同选法有m种,选出正、副组长各一名的不同选法有n种,若m:n=13:2,则该班的学生人数是（）A.10B.15C.20D.2215.如图所示,为某市的四个小镇,现欲修建三条公路,将这

19、四个镇连接起来,则不同的修路方案种数为（）A.6B.12C.16D.2416.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中每次取出两个不重复的数字分别作为对数式中的底和真数,共可得到不同的对数值（ ）A.53个B.55个C.57个D.59个17.8名世界网球顶级选手在上海大师赛上分成两组,每组各4人,分别进行了单循环赛,每组决出前两名,再由每组的第一名与另一组的第二名进行淘汰赛,获胜者角逐冠、亚军,败者角逐第3,4名,大师赛共有场比赛（用数字作答）18.平面上有4条平行线与另外5条平行直线相互垂直,则可围成个矩形（用数字作答）19.设编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的五个盒

20、子,现将这五个球放入这五个盒内,要求每个盒内投放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,则不同的投放方法有种（用数字作答）20.楼道里有10盏灯,为节约用电,在一定时间可关掉其中的3盏灯,但关掉的灯不能相邻,而且不在楼道两端,则不同的关灯方法共有种.21.如图,一个地区分5个行政区域,现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的着色方法共有种（用数字作答）22.将10个相同的小球装入3个编号分别为1,2,3的盒子（每次要把10个球装完）,要求盒子里球的个数不小于盒子的编号数,这样的装法种数是（用数字作答）23.某药品研究所研制了5种消炎药,4种退烧药,现从中取出两种消炎药和一种退烧药同时使用进行疗效实验,但又知两种药必须同时使用,且两种药不能同时使用,则不同的实验方案有种.24.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n！”如下：当n是偶数时,