二项式定理知识点总结

1、二项式定理、二项式定理：a b n Cn0an Cn1a n 1bCnkankkbCnnbn （ n N ）等号右边的多项式叫做a b n 的二项展开式，其中各项的系数Cnk (k0,1,2,3 n） 叫做二项式系数。对二项式定理的理解：1）二项展开式有 n 1项（2）字母 a 按降幂排列，从第一项开始，第一项开始，次数由 0 逐项加 1 到 n次数由n 逐项减 1 到 0；字母 b 按升幂排列，从3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a, b，等式都成立，通过对a,b取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在 定理中假 设 a 1，b x ， 则n 0 n 11 x Cn x Cn

2、 xCk n k nk xn kCnnxn(nN）4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式a b n 展开，得到一个多项式；另一方面，也可将展开式合并成二项式nab、二项展开式的通项： Tk 1 Cnk an k bk二项展开式的通项 Tk 1 Cnkan kbk （k 0,1,2,3 n） 是二项展开式的第 k 1项，它体现了 二项展开式的项数、 系数、次数的变化规律， 是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特 定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广 泛应用对通项 Tk 1 Cnkan kbk (k 0,1,2,3 n) 的理解：1）字母 b

3、 的次数和组合数的上标相同2）a 与 b 的次数之和为 n3）在通项公式中共含有 a,b, n,k,Tk 1这 5个元素，知道 4 个元素便可求第 5个元素例 1 Cn 3C； 9Cn3A. 4n Bo 3 4n3n 1Cn 等于（）4nn41Co1D.33例2. (1 )求(12x)7的展开式的第四项的系数；193(2)求(x )9的展开式中X3的系数及二项式系数+X三、二项展开式系数的性质:对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C0c：,c：n 1 2Cn ，Cnn 2CnC：C：增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。n

4、如果二项式的幕指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：Cn max ；n 1n 1如果二项式的幕指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即C' maxCn7 二项展开式的各系数的和等于2n，令a 1，b 1即C0 cnCn(1 1)n 2n ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令a 1， b 1即C：Cn2n例题：写出(x y)11的展开式中:(1 )二项式系数最大的项；(2)项的系数绝对值最大的项；(3 )项的系数最大的项和系数最小的项;(4)二项式系数的和；(5)各项系数的和四、多项式的展开式及展开式中的特定项(1 )求多项式a2二项式定理展开。an)n

5、的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用例题：求多项式(X242)3的展开式X(2)求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通 项再分析。例题：求(1 X)2 (1 X)5的展开式中X3的系数例题：(1)如果在24 x的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的1有理项。(2 )求的展开式的常数项。【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k五、展开式的系数和求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定727例题：已知(1 2x) a0 a1x a2x La7x ,求：(1) aia2

6、 La?；(2)aia3a5a?；( 3)| a。|ai| L |a?|.六、二项式定理的应用:1、二项式定理还应用与以下几方面：(1)进行近似计算(2 )证明某些整除性问题或求余数(3)证明有关的等式和不等式。如证明：2n2n n 3,n N取2n1 1 n的展开式中的四项即可。2、各种问题的常用处理方法(1) 近似计算的处理方法当n不是很大，| x |比较小时可以用展开式的前几项求(1 x)n的近似值。例题：(1.05)6的计算结果精确到 0.01的近似值是()A. 1.23B. 1.24C. 1.33D. 1.34(2) 整除性问题或求余数的处理方法 解决这类问题，必须构造一个与题目条件

7、有关的二项式 用二项式定理处理整除问题，通常把幕的底数写成除数的倍数与某数k的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k通常为 1，若k为其他数，则需对幕的底数k再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面(或者是某项)一、二项就可以了 要注意余数的范围，对给定的整数a,b(b 0)，有确定的一对整数 q和r，满足a bq r ,其中b为除数，r为余数，r 0, b，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数 例题：求201363除以7所得的余数例题：若n为奇数，则7n C：7n1 C27n 2C； 17被9除得的余数是（）A. OB。2Co 7D.81例题：当n N且n>

8、i,求证2(1-)n 3n【思维点拨】 这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定综合测试、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在x103的展开式中，x6的系数为()A.27C：oB.27C：0C.9CoD.49C102.已知a b 0,b 4a,a b n的展开式按a的降幕排列，其中第n项与第n+1项相等，那么正整数 n等于()A. 4B.9C.10D.113已知（ja -ji=）n的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 : 2,贝y n是 （）A. 10B.11C.12D.134. 5310被8除的余数是（）A. 1

9、B.2C.3D.75. （1.05）6的计算结果精确到 0.01的近似值是（）A. 1.23B.1.24C.1.33D.1.34n6 .二项式 2-、x 1 （n N）的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7A.1B. 2C.3D. 47 .设(3x1 13+x2）n展开式的各项系数之和为t 其-二项式系数之和为h,若t+h=2 72，则展开式的x2项的系数是()A.1 B. 12C.2D. 38.在(1x x2）6的展开式中x5的系数为( )9 (丁1 :再)n展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是A.

10、330B. 462C. 680D. 790410. (.X 1) (x1)5的展开式中，4X的系数为( )A. 40B. 10C. 40D. 4511 二项式(1+sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为57且系数最大的一项的值为-,2( )A. 或一63B.或-6 6D.则x在0 , 2 n 内的值为12 .在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含X4项的系数是等差数列an=3n 5的A.第2项B.第11项C.第20项D.第24项二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果 13.(X2 丄)9展开式中x9的系数是 .2x14若 2x 3a。a1Xa4

11、X4，贝Vaoa2aa1a3?的值为32 n15.若(xx)的展开式中只有第 6项的系数最大，则展开式中的常数项是16.对于二项式(1 -x)1999，有下列四个命题：展开式中1000999 ；T1000= C1999x ； 展开式中非常数项的系数和是1; 展开式中系数最大的项是第1000项和第1001项; 当x=2000时，(1 -x)1999除以2000的余数是1.其中正确命题的序号是 .（把你认为正确的命题序号都填上）三、解答题：本大题满分 74分.17. （ 12分）若（坂 丄）n展开式中第二、三、四项的二项式系数成等差数列.VX（1）求n的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？1

12、 一 一18. （12分）已知（一 2x）n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37,求展式中二项4式系数最大的项的系数.an 1Cnn n 2n 对任意19（12 分）是否存在等差数列 an ，使 a1C0n a2C1n a3C2nn N * 都成立？若存在，求出数列 an 的通项公式；若不存在，请说明理由20（12 分）某地现有耕地 100000 亩，规划 10 年后粮食单产比现在增加 22%，人均粮食占 有量比现在提高 10%。如果人口年增加率为 1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少 亩（精确到 1 亩）？21. (12分)设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m、n N)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11 ,试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中含x2项的系数取最小值，并求出这个最小值.22. (14分)规定C；x(x 1)一