一个数的原码,反码,补码

1、基本概念 在计算机内部表示二进制数的方法称为数值编码，把一个数及其符号在机器中的表示加以数值化，称为机器数。机器数所代表的数称为数的真值。 表示一个机器数，应考虑以下三个因素： 1机器数的范围 字长为8位，无符号整数的最大值是（11111111）B=（255）D，此时机器数的范围是0255。 字长为16位，无符号整数的最大值是 2机器数的符号 在算术运算中，数据是有正有负的，将这类数据称为带符号数。 为了在计算机中正确地表示带符号数，通常规定每个字长的最高位为符号位，并用0表示正数，用1表示负数。 3机器数中小数点的位置 在机器中，小数点的位置通常有两种约定： 一种规定小数点的位置固定不变，这

2、时的机器数称为“定点数”。 另一种规定小数点的位置可以浮动，这时的机器数称为“浮点数”。 4原码 正数的符号位为0，负数的符号位为1，其它位按照一般的方法来表示数的绝对值。用这样的表示方法得到的就是数的原码。 【例1】当机器字长为8位二进制数时： X1011011 X原码01011011 Y1011011 Y原码11011011 1原码00000001 1原码10000001 127原码01111111 127原码11111111 原码表示的整数范围是： （2n-11）（2n-11），其中n为机器字长。 则：8位二进制原码表示的整数范围是127127 16位二进制原码表示的整数范围是32767

3、32767 5反码 对于一个带符号的数来说，正数的反码与其原码相同，负数的反码为其原码除符号位以外的各位按位取反。【例2.14】当机器字长为8位二进制数时： X1011011 X原码01011011 X反码01011011 Y1011011 Y原码11011011 Y反码10100100 1反码00000001 1反码11111110 127反码01111111 127反码10000000 负数的反码与负数的原码有很大的区别，反码通常用作求补码过程中的中间形式。 反码表示的整数范围与原码相同。 6补码 正数的补码与其原码相同，负数的补码为其反码在最低位加1。 【例2】（1）X1011011 （

4、2） Y1011011 （1）根据定义有： X原码01011011 X补码01011011 （2） 根据定义有： Y原码11011011 Y反码10100100 Y补码10100101 补码表示的整数范围是2n-1（2n-11），其中n为机器字长。 则：8位二进制补码表示的整数范围是128127 16位二进制补码表示的整数范围是3276832767 当运算结果超出这个范围时，就不能正确表示数了，此时称为溢出。 7补码与真值之间的转换 正数补码的真值等于补码的本身；负数补码转换为其真值时，将负数补码按位求反，末位加1，即可得到该负数补码对应的真值的绝对值。 【例3】X补码01011001B，X补

5、码11011001B，分别求其真值X。 （1）X补码代表的数是正数，其真值： X1011001B （1×261×241×231×20） （641681） （89）D （2）X补码代表的数是负数，则真值： X（1011001求反1）B （01001101）B （0100111）B （1×251×221×211×20） （32421） （39）D 数值在计算机中表示形式为机器数,计算机只能识别0和1,使用的是二进制,而在日常生活中人们使用的是十进制,"正如亚里士多德早就指出的那样,今天十进制的广泛采用,只不过

6、我们绝大多数人生来具有10个手指头这个解剖学事实的结果.尽管在历史上手指计数(5,10进制)的实践要比二或三进制计数出现的晚."(摘自<<数学发展史>>有空大家可以看看哦,很有意思的).为了能方便的与二进制转换,就使用了十六进制(2 4)和八进制(23).下面进入正题. (-127-0 +0127)共256个. 有了数值的表示方法就可以对数进行算术运算.但是很快就发现用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题,如下: 假设字长为8bits ( 1 ) 10- ( 1 )10 = ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )1

7、0 (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 显然不正确. 因为在两个整数的加法运算中是没有问题的,于是就发现问题出现在带符号位的负数身上,对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码.反码的取值空间和原码相同且一一对应. 下面是反码的减法运算: ( 1 )10 - ( 1 ) 10= ( 1 ) 10+ ( -1 ) 10= ( 0 )10 (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有问题. ( 1 )10 - ( 2)10 = ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )

8、10 (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正确 问题出现在(+0)和(-0)上,在人们的计算概念中零是没有正负之分的.(印度人首先将零作为标记并放入运算之中,包含有零号的印度数学和十进制计数对人类文明的贡献极大). 于是就引入了补码概念. 负数的补码就是对反码加一,而正数不变,正数的原码反码补码是一样的.在补码中用(-128)代替了(-0),所以补码的表示范围为: (-1280127)共256个. 注意:(-128)没有相对应的原码和反码, (-128) = (10000000) 补码的加减运算如下: ( 1 ) 10- ( 1 )

9、 10= ( 1 )10 + ( -1 )10 = ( 0 )10 (00000001)补 + (11111111)补 = (00000000)补 = ( 0 ) 正确 ( 1 ) 10- ( 2) 10= ( 1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10 (00000001) 补+ (11111110) 补= (11111111)补 = ( -1 ) 正确 所以补码的设计目的是: 使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则. 使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设计 所有这些转换都是在计算机的最底层进行的，而在我们使用的汇编、C等其他高级语言中使用的都

10、是原码。 原码就是这个数本身的二进制形式。 例如0000001 就是+11000001 就是-1 正数的反码和补码都是和原码相同。 负数的反码是将其原码除符号位之外的各位求反 -3反=10000011反=11111100 负数的补码是将其原码除符号位之外的各位求反之后在末位再加1。 -3补=10000011补=11111101 一个数和它的补码是可逆的。 为什么要设立补码呢？ 第一是为了能让计算机执行减法： a-b补=a补+（-b）补 第二个原因是为了统一正0和负0 正零：00000000 负零：10000000 这两个数其实都是0，但他们的原码却有不同的表示。 但是他们的补码是一样的，都是0

11、0000000 特别注意，如果+1之后有进位的，要一直往前进位，包括符号位！（这和反码是不同的！） 10000000补 =10000000反+1 =11111111+1 =(1)00000000 =00000000(最高位溢出了，符号位变成了0） 有人会问 10000000这个补码表示的哪个数的补码呢？ 其实这是一个规定，这个数表示的是-128 所以n位补码能表示的范围是 -2(n-1)到2(n-1)-1 比n位原码能表示的数多一个又例：1011 原码：01011 反码：01011 /正数时，反码原码 补码：01011 /正数时，补码原码 -1011 原码：11011 反码：10100 /负数

12、时，反码为原码取反 补码：10101 /负数时，补码为原码取反1 01101 原码：0.1101 反码：0.1101 /正数时，反码原码 补码：0.1101 /正数时，补码原码 -01101 原码：1.1101 反码：1.0010 /负数时，反码为原码取反 补码：1.0011 /负数时，补码为原码取反1 总结：在计算机内，定点数有3种表示法：原码、反码和补码所谓原码就是前面所介绍的二进制定点表示法，即最高位为符号位，“0”表示正，“1”表示负，其余位表示数值的大小。 反码表示法规定：正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。补码表示法规定：正数的补码与其原码相同；负数

13、的补码是在其反码的末位加1。1、原码、反码和补码的表示方法（1） 原码：在数值前直接加一符号位的表示法。例如： 符号位 数值位+7原= 0 0000111 B-7原= 1 0000111 B 注意：a. 数0的原码有两种形式： +0原=00000000B -0原=10000000B b. 8位二进制原码的表示范围：-127+1272）反码： 正数：正数的反码与原码相同。 负数：负数的反码，符号位为“1”，数值部分按位取反。例如： 符号位 数值位 +7反= 0 0000111 B -7反= 1 1111000 B注意：a. 数0的反码也有两种形式，即 +0反=00000000B - 0反=111

14、11111B b. 8位二进制反码的表示范围：-127+1273）补码的表示方法1）模的概念：把一个计量单位称之为模或模数。例如，时钟是以12进制进行计数循环的，即以12为模。在时钟上，时针加上（正拨）12的整数位或减去（反拨）12的整数位，时针的位置不变。14点钟在舍去模12后，成为（下午）2点钟（14=14-12=2）。从0点出发逆时针拨10格即减去10小时，也可看成从0点出发顺时针拨2格（加上2小时），即2点（0-10=-10=-10+12=2）。因此，在模12的前提下，-10可映射为+2。由此可见，对于一个模数为12的循环系统来说，加2和减10的效果是一样的；因此，在以12为模的系统中

15、，凡是减10的运算都可以用加2来代替，这就把减法问题转化成加法问题了（注：计算机的硬件结构中只有加法器，所以大部分的运算都必须最终转换为加法）。10和2对模12而言互为补数。同理，计算机的运算部件与寄存器都有一定字长的限制（假设字长为8），因此它的运算也是一种模运算。当计数器计满8位也就是256个数后会产生溢出，又从头开始计数。产生溢出的量就是计数器的模，显然，8位二进制数，它的模数为28=256。在计算中，两个互补的数称为“补码”。2）补码的表示： 正数：正数的补码和原码相同。 负数：负数的补码则是符号位为“1”，数值部分按位取反后再在末位（最低位）加1。也就是“反码+1”。例如： 符号位 数值位 +7补= 0