与椭圆有关的最值问题.

1、与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1定义法例 1。P(-2,3 ),F2 为椭圆x2y2MP+MF2的最大值251的右焦点，点 M 在椭圆上移动，求16和最小值。M 1分析：欲求 MP +MF的最大值和最小值2可转化

2、为距离差再求。由此想到椭圆第一定义F1MF=2a- MF, F1为椭圆的左焦点。oF221解： MP+MF2 =MP+2a- MF1连接 PF1 延长 PF 1M 2交椭圆于点 M 1,延长 F1P 交椭圆于点 M 2 由三角形三边关系知 PF1 MP- MF1 PF1当且仅当 M 与 M 1 重合时取右等号、 M 与 M2 重合时取左等号。因为2a=10, PF1 =2 所以（ MP+ MF2） max=12,（ MP + MF2） min =8结论 1：设椭圆 x 2y 21的左右焦点分别为F1 、F2, P(x0,y0 )为椭圆内一点， M(x,y) 为椭圆上任意a 2b 2一点，则 M

3、P+MF的最大值为2a+PF ,最小值为2a PF 。211例 2：P(-2,6),F 2 为椭圆 x2y 21的右焦点，点M 在椭圆上移动，求MP +MF2的最大值和2516最小值。分析：点 P 在椭圆外， PF2 交椭圆于M ，此点使 MP+ MF2值最小，求最大值方法同例1。解：MP+MF2 =MP+2a- MF1连接 PF1 并延长交椭圆于点M 1，则 M 在 M 1处时 MP - MF1取最大值 PF1 。 MP+ MF2最大值是10+37 ，最小值是41 。结论 2：设椭圆 x2y 21的左右焦点分别为F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点， M(x,y) 为椭圆上任意一点，a

4、2b2则 MP+MF2的最大值为2a+PF1 ，最小值为PF2。2.二次函数法例 3求定点 A(a,0) 到椭圆 x2y 21上的点之间的最短距离。a2b2分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示PA，转化为 x,y 的函数，求最小值。解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，PA2=(x-a)2 +y2 =(x-a) 2+1- 1 x 2= 1( x 2a) 2 +1-a2 由椭圆方22程知 x 的取值范围是 -2,2 （1）若 a2, 则 x=2a 时 PAmin =1a 22（2）若 a>2 , 则 x=2 时 PA min=a2 2（3）若 a<2 , 则 PA min =

5、a+ 2 2结论 3：椭圆 x 2y 21上的点 M(x,y) 到定点 A(m,0) 或 B(0,n) 距离的最值问题， 可以用两点间距离公式a2b2表示 MA 或 MB ，通过动点在椭圆上消去y 或 x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法例 4：椭圆 x2y 21上的点 M(x,y) 到直线 l：x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。42分析：若按例x2y43 那样 d=5转化为 x 或 y 的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆的参数方程，即三角换元。x2y4x2y2x2c os1R解 ： d=5 令s in则4 2y2 cos2 sin4= 22 si

6、n() 2d=545当 sin ()45210,当 sin () =145210=1 时,dmin=5时,dmax=544结论 4：若椭圆x2y 21上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，a2b2统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例 4 的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线m：x+2y+c=0将 x=2yc 代入椭圆方程整理得8y2 +4cy+c2-4=0 ，由 =0 解得 c=± 22 ,c=- 22 时直线 m：x+2y - 2 2 =0 与椭圆切于点 P,则 P 到直线 l 的距离为最小值，且最小值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以 dmin=452105c= 2 2 时直线 m：x+2y + 2 2=0 与椭圆切于点Q，则 Q 到直线 l 的距离为最大值，且最大值就是两平行直线 m 与 l 的距离，所以 dmax=45210 。5结论 5：椭圆上的点到定直线l 距离的最值问题 , 可转