人教版A版高中数学必修4-三角函数知识点例题

1、三角函数知识点总结正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角2、角。的顶点与原点重合，角的始边与工轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称。为第几象限角. 第一象限角的集合为。卜 360 < a < h360 +90/e z第二象限角的集合为咻 360 + 90 < k 360 +180火e Z第三象限角的集合为咻 360 +180。v a v h 360。+ 270。, & e z第四象限角的集合为a卜 360 + 270° < a < k 360 + 360/e z终边在x轴上的角的集合

2、为a|a = hl8O,ktZ终边在y轴上的角的集合为ak=公180 + 90 , k t Z终边在坐标轴上的角的集合为aa = k-90 ,ke z3、与角a终边相同的角的集合为伊忸=攵-360 +a,keZ 4、已知夕是第几象限角，确定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再从x轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四，则。原来是第几象限对应的标号即为四终边所落在的区域.n5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.6、半径为，的圆的圆心角。所对弧的长为/,则角a的弧度数的绝对值是|a|=g7、弧度制与角度制的换算公式：2 = 360 1= , l=f|«57.3 18

3、0 I it J8、若扇形的圆心角为a（a为弧度制），半径为r,弧长为/,周长为C,而积为S,则/ = "©, C = 2r+l.S = -lr = -ar2.221 19、设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标是（乂 y）,它与原点的距离是r（r = J/ +）,2 > °bVXV则 sin<z = j cos a = -， tana = (x=0). rrx10.三角函数在各象限的符号:第一象限全为正，第二象限正弦为正,第三象限正切为正，第四象限余弦为正.11、三角函数线：sina = MP , cosa = OM, tancr = A

4、T.12、同角三角函数的基本关系：(l)sin? a+cos? a = 1/ . ii 2 t 1 /c sinaI sin a = -cos a,cos a = l-sin"a) ： (2)= tan tz'7 cos az.sinasina = tan a cos a, cos a = .tana /1 3、三角函数的诱导公式：(l)sin(2Z;r+a) = sina, cos (2k 7r+a) = cos a, tan(2A7F+a) = tana(女 eZ).(2)sin(/r+a) = -sina， cos(乃+a) =-cos a , tan(7r+a) =

5、tan a.(3)sin(a) = -sina, cos(-a) = cosa, tan(-a) = -tana.(4)sin (7一a) = sin a, cos(4一a) =-cosa, tan(zr-a) = -tana.口诀：函数/称不变，符号看象限看符限看符限，就J上把a看作是某一个锐角（例如3（例45。、60°之类）.然后升a、 冗-a、-a就看作是兀与这个锐角相加减或者相反后的角，然后根据这个角在第几象限.来判断三角函数的正负。例 如把a看作是30° ,所以北+a为210°第三象限角，所以sin为负、cos为负、】为正也就是诱导公式二了。结论: 当把

6、把a看作是某一个锐角时,兀+a、冗-a、- a就分别为第三、第二、第四象眼角了 ,又例如：sin（3n+a）先化成S in2兀+ （兀+ a）】再化成sin（兀+a）.因为兀+a第三象限角.而第三象限角的S in为负，所以si n m+a ） = - S ina.用等 式表示为 S i n （ 3;r+a）=sin2兀+ （/+a） = Sin （兀+a）=-s i na / x（5）sin -a = cos a , cos -a =sina . （6）sin + a =cosa , cos + tz =-sina .<2/k 2/v 2）2）口诀：正弦与余弦互换，符号看象限.（这里的符

7、号看象限，跟上面的一样道理，不同的是几减小到一半而已，看 他没变，同样把a看作是某一个锐角.然后来判断）三角函数的图象与性质派知识点归纳一、三角函数的图象与性质1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：决y = sinxy = cosxy = tan x图象y0b与7yxi y"0L,n knJ定义域RR<. /r . _X X 手 k7T + ,k Z > 2值域fl叫R最值当 x = 2k兀 + y (A: eZ)时,= 1 ；当 x = 2k7T-三 2(RwZ)时,ymin =-l .当 x = 2k7T(k £ Z)时，'max =1：当工

8、=24乃+4"eZ)时,Win =T 既无最大值也无最小值周期性2/r2乃n奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(k2k7r- - ,2k7r + _22jeZ)上是塔函数：在2攵)一乃,24句仕eZ) ± 是增函数：在2攵4,24+1(k eZ)上 是减函数.在(A/Xkn次)+ 一I 22)eZ)上是增函数.在2k九+上，2k九+之L22 _(keZ)上是减函数.对称性对称中心(女4,0)(keZ)对称轴x = k7r + (k eZ)对称中(攵；r + g,0卜攵e Z)对称轴x = Z%(A eZ)(k九 V 、 对称中心.0 (攵e Z) 2 /无对称轴2、正弦函数y

9、=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.3、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：正弦函数厂s i nx, xe 0 , 2汨的图象中,五个关键点是：(0, 0 ) (-,1) U, 0) ( , -1)(2兀，0)22余弦函数y二COsxxeo , 2兀的五个关键点是：(0,1) (p 0)(兀，-1)(手，0) (2兀,1)只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握。优点是方便.缺点是精确度不高。二、函数V = Asin(5 + °)的图象1、由函数.v = s

10、in a的图象通过变换得到y = A sin(<uv + <p)的图象。有两种主要途径: "先平移后伸缩"与"先伸缩后平移法一：先平移后伸缩in x向速向包夕<。)y = sin。+ 9)平移物个单位”横坐标变为原来的R音纵坐标不变= sin(5 + w)纵管慧舞的A倍一 A SS+夕） 法二：先伸缩后平移y = sinxy = sinair横坐标变为原来的倍纵坐标不变向赵夕。）或向右（处。） 尸sing 9） 平移白个单位绒出空龙米的岖,=A sin（sy 9）横坐标不变）”注意：第一种方法平移Qi个单位，第二种方法平移|£|个单位。

11、原因在于相位变换和周期变换都是针对变量CDX而言的。因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序.否则必然会出现错误。2、函数y = Asin（5 +。）工£0,+8）其中（4。,0。）的物理意义:函数y = A sin（以+ °） X e 0,”）其中（A 0,。 0）表示一个振动量时:A :这个量振动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅.T =二往复振动一次所需的时间，称为“周期”CO/:/'=单位时间内往返振动的欠数，称为“频率” 12乃5+G：.称为相位 7 . x = 0时的相位，称为初相".冰例题选讲例1、函数），=Jtanx-6 的定义

12、域。 解：由tanx-GNO得tanq 外 ,所求定义域为 丘+。，匕r + g （eZ）,3乙）/ 例2、求函数y = 2sin 2x + fI 4 J的单调递减区间.解:由三十 2攵) 2x +24三+ 2k冗,(k e Z) 242解彳导二+三+ A/r,(k£Z);88函数的递减区间为；+皿 = + k7T,（keZ）；oo例3、用两种方法将函数y = sin x的图象变换为函数y = sin（2x + g）的图象。分析 1 : x>x + >2x + 33繇:土向左平移四个单位万、横坐标缩短到原来的1解云. iL 3I >y = sin(x + )Jsin

13、入>-3纵坐标不变y = sin(2x + y)分析2 ： x->2x-> 2(x + ) = 2x + 63解法2： -is-横坐标缩短到原来呜_ 向左平吃个单位、)纵坐标不变y-sin2x 上 >y = sin2(x + ) = sin(2x + )63注意:在解法1中.先平移,后伸缩；在解法2中.，先伸缩，后平移。表面上看来，两种变换方法中的平移是不同的(即£和三)，但由于平移时平移的对象已有所变化,所以得到的结果是一致的。 63派巩固练习)D1 x 已知AABC 中，tan A = -2，则 cosA等于(1212A、135B、135C、1312D、1

14、32、化简sin(乃一 2) + cos0 + 2)的结果等于(2)A3、A、0B、-1下列等式中，恒成立的是()CC、A、sin( X)= cos( x)22B、sin(4一 x) = -sinxC、sin(27r + x) = sin xD、cos(zr + x) = cosx4、函数/(x) = V3 sin(j R)的最小正周期为()D5、6、71A、5B、冗C、2ttD、函数g.占是图象的一个珊中心是(A . -。12B.C.在下列各区间中，函数J，U皿十了)的单调递增区间是()BC . -7T, 0 d1.7、当函数y = 2cosx-l取得最大值时.工的取值为()CA、x = I

15、kTt + .keZ2Cx x = 2k7r.k e ZB、x = 2k冗-土,k e Z 2D、x = 2k7T +加，k e Z8、函数y = 3sin(2x + ?)的图象可看作是函数y = 3sin2x的图象，经过如下平移得到的，其中 正确的是().D缸向右平移十个单位B、向左平移?个单位c、向右平移£个单位6D、向左平移工个单位69己知sin a cos o = ,则cos a s i n(1的值等于( oA、士错误!C、D、1 0、.4254sin cos tan吆的值是(B、C、D、V3V + k7r. - + k7r .(k e Z) 3611、函数/(x) = si

16、n(2x - -)的单调递减区间是 612、若/'*) = 2$皿5 + 0)(其中刃>0,陶<?)的最小正周期是产，且/(0) = 1.则0=2,<p =2n7。13、将cos 10”,sin 11。,sin 168°从小到大排列为。sin 11" <sin 1680 vcoslO"jrk 47T1 4、函数)，= 2sin(2x + )的图象的对称轴方程是14、x = + keZ、321215、id f(x) = asin(x + a) +bcosrx + /?) + 4, (a、b、a、夕均为非零实数),若/(2009) =

17、2009,则/(2010)= 1 5 , -2001：三.解答题316、已知tana = JJ.7rV2v二4,求sine-costz的值.2/ 34 口rr31 a e (乃，)JI tan a = v3 sin a = ，cosa = 222,V3 1 1-V3sina -cosa = + = 17、Q)化简 sin(x + 180°)cos(-x)sin(T-180°)tan(-x-180°);解：原式二(-sinx)cosxsin x(-tan x) = (-sin x)cosxsin x(- S10 A ) =sin3 x .cosx证明：tan2 x-sin2 x = tan2 xsin2 x .证：tan2 xsin2 x = tan2 xtan2 xcos2 x =tan2 x(