高二正态分布(期望、方差)讲义

1、中小学1对1课外辅导专家期望、方差、正态分布期望、方差知识回顾：1. 数学期望：一般地，若离散型随机变量E的概率分布为X1X2JXnJPP1P2JPnJ则称E：二怖！ X2 P2 ,XnPn , 为E的数学期望，简称期望.特别提醒：1. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平2. 平均数、均值：在有限取值离散型随机变量E的概率分布中，令Ph= P2 = , = Pn，则有11J =P2巳二Pn二-，=(X1X2,Xn)-，所以E的数学期望又称为平均数、均值+nn2. 期望的一个性质：E(a ： b) =aE b3. 若匕B ( n, p)，则 E= np *

2、4. 方差：D =(X1E )2P1+(X2) P2 + , +(XnE )2Pn+ ,.5. 标准差：D 的算术平方根 D叫做随机变量E的标准差，记作；.6. 方差的性质：D(a * b) = a2D '； 若B ( n, p )，则 D = np(1 - p)特别提醒：1. 随机变量的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；2. 随机变量的方差、标准差也是随机变量的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；3. 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛正态分布知识回顾：1 丄521. 若总体密度曲线就是或近似地是函数f(x1R的图象，则

3、其分布叫正态分布，寸2応CT常记作NC,2) . f(X)的图象称为正态曲线.三条正态曲线："=1,厂_ 0.5 :"- 0,；-1 :"=1,；- 2，其图象如下图所示:观察以上三条正态曲线，得以下性质： 曲线在x轴的上方，与X轴不相交. 曲线关于直线X = -1对称，且在x =-时位于最咼点. 当X I时，曲线上升；当X时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以 X 轴为渐近线，向它无限靠近. 当一定时，曲线的形状由二确定.二越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；二越 小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.注意：当=1时，正态总体称为标准正态

4、总体，相应的函数表示式是f(x)二相应的曲线称为标准正态曲线.3南昌龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家#南昌龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家21 上f x e 2, x 三，：厉6722.正态总体的概率密度函数：f（x）- 1 e21 x迂R式中卩Q是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差；当=0时得到标准正态分布密度函数:3. 正态曲线的性质： 曲线位于X轴上方，与X轴不相交； 曲线是单峰的，关于直线X = J对称; 曲线在X i处达到峰值：、:； 曲线与X轴之间的面积为1；4. 二是参数二是参数的意义： 当匚一定时，曲线随质的变化沿x轴平移； 当一定时，曲线形状由二

5、确定：二越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越集中;匚越小，曲线越“高瘦”，表示总体分布越分散。4南昌龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家特别提醒：P （-；： x ：；）=0.6826;P （亠-2二：xI 2匚）=0.9544P （-3二：x _3；）=0.99745对于N（,；2），取值小于x的概率F x =；：X . I a丿P % : x0 : x2 = P x ： x2 P x ： xi i=F x2%I <T 丿 < a典型例题：例1、已知随机变量E的分布列为-2-10123P丄mn丄1丄12126121其中m, n 0,1），且E（3 = 6,贝m, n的值分别

6、为巩固练习：设随机变量X的分布列如下表，且EX =1.6，则ab二（）X0123P0. 1ab0. 1A. 0.2B. 0.1C. -0.2D. -0.4例2、（2010长沙模拟）设E是服从二项分布B（n, p）的随机变量，又45E(* 15, D( 3 =匚，则 n 与 p的值为（）A. 60, 3B. 60,3C. 50, 41D. 50, 4巩固练习：1、已知 B n, p ,E丄8,D =1.6，则n,p的值分别是()A . 100和0.08 ; B. 20和0.4 ; C. 10和0.2 ; D . 10和 0.82、已知随机变量E的分布列为E123P0.5xy若E（B=，则D（3等

7、于.例3、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n= 1,2,3,4）.现从3南昌龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家袋中任取一球，E表示所取球的标号.(1)求E的分布列、期望和方差；若 n= aE+ b, E(0= 1, D( 0= 11,试求 a, b 的值.巩固练习： 若 P(X=0)=1p , P(X=1)=p，贝U E(2X _3)=例4、某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙.已知从城市甲到城市乙只 有两条公路，且运费由果园承担.若果园恰能在约定日期(x月x日)将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每

8、提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园 1万元.为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期 的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果.已知下表内的信息：统计信息汽车行驶路线、不堵车的情况 下到达城市乙 所需时间(天)堵车的情况下 到达城市乙 所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路I231701.6公路U14120.8(1) 记汽车走公路I时果园获得的毛利润为g单位：万元)，求E的分布列和数学期望E(3 ；(2) 假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？例5、设两个正态分布N( 口，时)(or>0)和N(笑

9、，二2)( >0)的密度函数图象如图所示，则有()阳帶S品A .川 V 似，cn< (2C. 2 > 比，2< 2巩固练习：1.在某项测量中,B . 2< 2, 2 > 2D . 2> 2, 2> 2测量结果g服从正态分布N(1,22)( 2*0)，若g在(0,1 )内取值的概率为0.4,则g在(0,2)内取值的概率为.2.已知随机变量 X服从正态分布N(0, 2)，且P( 2<X< 0)= 0.4，贝U P(X>2) =3. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为1（X _80）2f（x）二一

10、e0厂（xR），则下列命题不正确的是（）宓10A. 该市这次考试的数学平均成绩为 80分；B. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同；C. 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同；D. 该市这次考试的数学成绩标准差为10.4.如果随机变量 N J匚2 ,E、3, D、1，贝U P' :：: 1 等于（）A. 2G(4)-1B. G(4)_G(2)C.门-门D.：（_4） _：（_2）课堂练习：1. 一袋子里装有大小相同的3个红球和两个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是 （用数字作答）2. 袋中有3个红球、2个白球,从中任取2个，用X表示取

11、到白球的个数，则X的分布列（ ）来源:Z&xx&k.ComX0j2rqa clC3.设随机变量A.0i2gGGQ(X； cT2X B(n, p)，则等于()(EX)2B. (1_p)C. np0i23p"crcrU Ci0iX3paac- UCICl9南昌龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家#南昌龙文教育教务管理部中小学1对1课外辅导专家2D. p(1-p)4.设 XB(10,0.8)，贝U D(2X +1)等于()D. 12.8A. 1.6B. 3.2C. 6.4服从正态分5 某市期末教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩近似 布，则由如图曲线可得下列说法中正确的是（）A甲学科总体的方差最小E丙学科总体的均值最小C乙学科总体的方差及均值都居中D. 甲、乙、丙的总体的均值不相同6. 设XN（.i,；），当X在13 内取值的概率与在5,7内取值的概率相等时，=7. 甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8, 9, 10的概率分别为020.6,0.2; 射手乙击中环数8, 9, 10的概率分别为0.4,0.