复合函数总结复习

1、课次教学计划(教案)课题复合函数教学目标掌握复合函数的复合过程，定义域，值域，单调性与奇偶性的求法一、复合函数的构成设u g(x)是A到B的函数，y f(u)是B到C上的函数，且B B，当u取遍B中的元素时，y取遍C，那么y f(g(x)就是A到C上的函数。此函数称为由外函数y f (x)和内函数u g(x)复 合而成的复合函数。说明：复合函数的定义域，就是复合函数y f(g(x)中x的取值范围。f (g(x)与g(f (x)表示不同的复合函数。例 1 .设函数f (x) 2x 3, g(x) 3x 5，求f (g(x), g( f (x). 若f(x)的定义域为M，则复合函数f(g(x)中，

2、g(x) M. 注意：g(x)的值域M M.解复合函数题的关键之一是写出复合过程例 1 :指出下列函数的复合过程。(1)y=V2-x2(2)y=sin3x(3)y=3cos 曲2解：(1) y=V-22是由 y=Vu,u=2x2复合而成的。(2)y=sin3x 是由 y=sinu,u=3x 复合而成的。(3)y=3cosV1+是由 y=3cosu,u=Vr,r=1x2复合而成的。 例 2:复合函数的定义域问题若函数f(x)的定义域是0 , 1，求f(1 2x)的定义域；若f(2x 1)的定义域是-1 , 1,求函数f(x)的定义域；x称为直接变量，u称为中间变量，u的取值范围即为g(x)的值域

3、。已知f(x 3)定义域是4,5，求f (2x 3)定义域.要点 1：解决复合函数问题，一般先将复合函数分解，即它是哪个内函数和 哪个外函数复合而成的.解答： 函数f(1 2x)是由 A 到 B 上的函数u 1 2x与 B 到 C 上的函数y f(u)复合 而成的函数.函数f(x)的定义域是0 , 1,二 B=0,1，即函数u 1 2x的值域为0 , 1./. 01 2x 1,二1 2x 0，即0 x1,2二函数f (1 2x)的定义域0 ,丄.2 函数f(2x 1)是由 A 到 B 上的函数u 2x 1与 B 到 C 上的函数y f(u)复合 而成的函数.f (2x 1)的定义域是-1 ,

4、1,A=-1,1，即-1x 1, 3 2x 1 1,即u 2x 1的值域是-3 , 1,.y f(x)的定义域是-3 , 1.要点 2:若已知 f(x)的定义域为 A，则 fg(x)的定义域就是不等式 g(x) A 的x的集合；若已知 fg(x)的定义域为 A，则 f (x)的定义域就是函数 g(x) (x A)的值域。 函数f(x 3)是由 A 到 B 上的函数u x 3与 B 到 C 上的函数y f(u)复合 而成的函数.f (x 3)的定义域是-4 , 5),二 A=-4,5)即4x5,二1 x 3 8即u x 3的值域 B=-1 , 8)又f(2x 3)是由A到B上的函数u 2x 3与

5、 B 到 C 上的函数y f(u)复合而成的 函数，而B B,从而u 2x 3的值域B 1,8)二1 2x 3 8/.2 2x 11, 1 x口2二f(2x 3)的定义域是1 ,11).2练习：1,已知 f(x)的定义域为0, 1,求 f(2x-1)的定义域。2, 已知 f(2x-1)的定义域为0, 1,求 f(x)的定义域。3, 已知 f(x+3)的定义域为1,2,求 f(2x-5)的定义域。说明：1已知f(x)的定义域为(a,b),求f(g(x)的定义域的方法：已知 f(x)的定义域为(a, b)，求f(g(x)的定义域。实际上是已知中间变量的u的取值范围，即 u (a, b),g(x)

6、(a, b)。通过解不等式a g(x) b求得x的范围，即为f(g(x)的定义域。2已知f(g(x)的定义域为(a,b),求f (x)的定义域的方法：若已知f(g(x)的定义域为(a, b)，求 f(x)的定义域。实际上是已知复合函数f(g(x)直接变量x的取值范围，即 x (a, b)。先利用 a x b 求得 g(x)的 范围，则g(x)的范围即是 f(x)的定义域，即使函数 f(x)的解析式形式所要求 定义域真包含 g(x)的值域，也应以 g(x)的值域做为所求 f(x)的定义域，因为 要确保所求外含数 f(x)与已知条件下所要求的外含数是同一函数，否则所求 外含数 f (x)将失去解决

7、问题的有效性。2.求有关复合函数的解析式，例 6 .已知f (x) x21求f (x 1)；已知f (x 1) (x 1)21,求f (x).例 7已知f(x 1) x1，求f (x)；x1 1已知f (x -) x2-2，求f (x 1).xx要点 3:已知 f(x)求复合函数 fg(x)的解析式，直接把 f(x)中的x换成 g(x)即 可。已知 f g(x)求 f (x)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在 fg(x)中把关于变量x的表达式先凑成 g(x)整体的表达 式，再直接把 g(x)换成x而得 f (x)。换元法就是先设g(x) t，从中解出x(即用 t 表示x),再把x(关于

8、 t 的 式子)直接代入 fg(x)中消去x得到f(t)，最后把f(t)中的 t 直接换成x即得 f(x),这种代换遵循了同一函数的原则。例 8.已知f(x)是一次函数，满足3f(x 1) 2f(x 1) 2x 17，求f (x)；已知3f(x) 2f (1) 4x，求f (x).要点 4: 当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用 待定系数法。若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知 f(x)满足某个等式，这个等式除 f(x)是未知量外，还出现其他1未知量，如 f( x)、f (丄)等，必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程x组，通过解方程组求出 f (x

9、)。解析式的求法练习1.代入法例 1、f(x) 2x 1，求f(x 1)2待定系数法例 2、二次函数f (x)满足f (x 3) f (1 x)，且f(x) 0的两实根平方和为 10,图像过点(0,3)，求f (x)解析式3. 换元法2x 1例 3、f(3x 1)-，求f(x)解析式3 4x4. 配凑法(用于二次函数较多)例 4、f(3x 1) 9x26x 5，求f(x)解析式5消元法(构造方程组法，赋值法)例 5、2f (x) f( x) x 1，求f (x)解析式6.利用函数的性质求解析式3 332例 6、已知函数y f(x)是定义在区间-,-上的偶函数，且x 0,-时，f(x)x2x 5

10、2 22求f (x)解析式(2)若矩形ABCD顶点A,B在函数y f (x)图像上，顶点C,D在 x 轴上，求矩形ABCD面积的最大值例 7、已知函数y f (x)是定义在 R 上的周期函数，周期T 5，函数y f (x) ( 1 x 1)是奇函数，又知y f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x 2时函数取得最 小值，最小值为-5(1) 证明：f(1) f (4)0(2) 试求y f (x)，x 1,4的解析式(3) 试求y f (x)在x 4,9上的解析式复合函数的值域换元法：(1 1)求函数y x 4,1 x；的值域分式法x 1求y的值域。x 2例 1 1、(指、对数函

11、数作内层函数)己在函数f(x) 1 2 3x32x(1)求函数f (x)的值域(2)若x 2,1时，函数f(x)的最小值为和最大值二、复合函数的性质1、复合函数y f g(x)在区间a,b上的单调性：(同增异减)ug(x),yf (u)增减性相同时，yf g(x)为增函数，ug( x),yf (u)增减性相反时,yf g(x)为减函数.求复合函数单调区间的步骤是：(1) 求函数的定义域；(2) 用换元法把复合函数分解成常见函数；(3) 求各常见函数的单调区间；(4) 把中间变量的变化区间转化成自变量的变化区间；(5) 按复合函数单调性的规律，求出复合函数的单调区间.例 8、求下列函数的单调区间

12、：y=(x2 4x+3)2例 9、求复合函数 y logM2x x2)的单调区间3例 10、求 y= .7 6x x2的单调区间和最值例 2 2、(耐克函数)求函数f (x)2x x a(a 0),x1,2的值域x【变式训练】2a求函数f(x) 2x2的值域x例 3 3、(其它函数复合)求函数212yx22x 4(xxx丄)的值域2、1X 2x 1、例 11、求 y= 的单调区间。2例 12、求 y=1/ (X24x+3)的单调区间。2、复合函数y f g(x)的奇偶性若函数f(x),g(x), f g(x)的定义域都是关于原点对称的，那么由u g(x), y f (u)的奇偶性得到y f g

13、(x)的奇偶性的规律是:函数奇偶性u g(x)奇函数奇函数偶函数偶函数y f(u)奇函数偶函数奇函数偶函数y f g(x)奇函数偶函数偶函数偶函数即当且仅当u g(x)和y f(u)都是奇函数时，复合函数y f g(x)是奇函数.(与奇数偶数的乘法类似)若 f(x)=x3, g(x)=x2+1判断以下函数奇偶性：A. f(x)*g( x)B. f(g(x)C. g(f(x)课后作业：1、_若函数f(x 1)定义域为(3,4，贝 U 函数f(x)的定义域为_V3x2、已知函数f(x)2_1定义域为 R,贝 U 实数a的取值范围是ax ax 3113、 已知f(x -) x2，贝 Uf (x 1)

14、 =_xx4、_ 已知f(x 1) x23x 4，贝 Uf (x) =15、 已知函数f(x)的图像与函数h(x) x 2的图像关于点 A(0,1)对称x(1) 求函数f (x)的解析式(2) 若g(x) f(x)a，且g(x)在区间(0,2上的值不小于 6,求实数a的取值范围x6、 设f (x)是定义在 R 上的函数，且f(x)满足f (x 2) f (x)，当x 0, 2时，f(x) 2x x2， 求x 2,0时f(x)的解析式7 7、f (x)mx2mx 1 的定义域为 R,则求m的取值范围11 x&已知函数f(x) log2, ,求函数的定义域，并讨论它的奇偶性单调性。x1 x1249

15、 9、 求函数y ()x 4x,x 0,5)的值域。31 11010、求函数y (”)x( )x1在x 3,2上的值域。总结：1.复合函数的构成；设函数 y f (u)，u g(x)，则我们称y f(g(x)是由外函数 y f(u)和内函数u g(x)复合而成的复合函数。其中x被称为直接变量，u被称为中间变 量。复合函数中直接变量x的取值范围叫做复合函数的定义域， 中间变量u的 取值范围，即是 g(x)的值域，是外函数 y f(u)的定义域。2.有关复合函数的定义域求法及解析式求法：定义域求法：求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由a g(x) b解x);求外函数的定义域只要求中间变量的值域范围(由 a x b 求 g(x)的值域)。已知一个复合函数求另一个复合函数的定义域，必须先求出外函数的定义域。 特别强调，此时求出的外函数的定义域一定是前一个复合函数的内函数的值 域。解析式求法：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法.四：外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有： 当 f(x)为整式或奇次根式时，xR; 当 f (x)为偶次根式时，被开方数不小于0 (即0 当 f (x)为分式时，分母不为 0;当分母是偶次根式时，被开方数大于0; 当 f(x)为指数式时，对零指数幂或负整数指数幂，底不为