中考数学一元二次方程组综合试题附答案

1、中考数学一元二次方程组综合试题附答案一、一元二次方程1.在等腰三角形八8c中，三边分别为a、b、c,其中a=4,若b、c是关于x的方程x2-(2k+l) x+4 (k- - ) =0的两个实数根，求48C的周长.2【答案】48C的周长为10.【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将 k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出 ABC的周长；当a=4为 底边长时，由根的判别式=()可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出 b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在.综上即可得出结论.【详解】(1 当。=4为腰长时

2、，将x=4代入原方程，得：4z-4(2& + l) + 4 k- =0一解得：k =:2一当我 =一时，原方程为x2 - 6x+8=0,2解得：xi = 2, X2=4,.此时 ABC的周长为4+4+2 = 10：当。=4 为底长时， =- (2k+l) 2 - 4x1x4 (k- -) = (2k-3) 2=0,23解得：k= ,2/. b+c=2k+l=4./b+c=4 = a,此时，边长为。，b, c的三条线段不能围成三角形. 4BC的周长为10.【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三 角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑

3、是解题的关键.2.机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg,用油 的重兔利用率为60%,按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg,为了倡导低碳，减 少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关.(1)甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重灾利用 率仍然为60%,问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？(2)乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重及利用 率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg,用油的重复利用率将增加 1.6%,例如润滑用油量为89

4、kg时，用油的重匆:利用率为61.6%.润滑用油量为80kg,用油量的重更利用率为多少？已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,问加工一台设备的润滑用油量是多少千 克？用油的重复利用率是多少？【答案】(1)28 (2)76%75, 84%【解析】试题分析：(1)直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg,用油的重灾利用率仍 然为60%,进而得出答案；(2)利用润滑用油量每减少1kg,用油的重更利用率将增加1.6%,进而求出答案； 首先表示出用油的重更利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg,得 出等式求出答案.试题解析：(1)根据题意可得：70x (1 - 60%)

5、=28 (kg):(2)60%+1.6% (90 - 80) =76%：设润滑用油量是x千克，则xl - 60%+1.6% (90- x) =12,整理得:x2 - 65x - 750=0,(x-75) (x+10) =0,解得：xi=75, x2= - 10 (舍去)，60%+1.6% (90 - x) =84%,答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重史利用率是84%.考点：一元二次方程的应用3解方程:(悬JT悬卜s【答案】X=g或X=1【解析】【分析】3 x设了 =匚，则原方程变形为y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求y,再求x.2x-l【详解】3 x解：设 了 =,则原方程变形为y

6、，2y-3=0.2x-l解这个方程，得yi=-l,yz=3,3x . 3x -=-1 或=3.2x-l 21解得x="或x=l.经检验：x=g或X=1都是原方程的解.原方程的解是X=g或x=l.【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些更杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据 方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根.4 .有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5： （2） 180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了 x人，根据有一

7、人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流 感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即 可.【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了 x个人，根据题意得：x+l+ （x+1） x=36,解得：x=5或x= - 7 （舍去）.答：每轮传染中平均一个人传染了 5个人；（2）根据题意得:5x36 = 180 （个），答：第三轮将又有180人被传染.【点睛】本题考杳一元二次方程的应用，解题的关犍是能根据题意找到等量关系并列方程.5 .已知两条线段长分别是一元二次方程寸8x+12 = 0的两根，（1）解方程求两条线段的长。（2）若把较长的线段剪成

8、两段，使其与另一段围成等腰三角形，求等腰三角形的面积。（3）若把较长的线段剪成两段，使其与另一段围成直角三角形，求直角三角形的面积。O【答案】（1）2和6； （2） 2或；-【解析】【分析】（1）求解该一元二次方程即可；（2）先确定等腰三角形的边，然后求面积即可；（3）设分为两段分别是X和6-X,然后用勾股定理求出X,最后求面积即可.【详解】解：（1）由题意得（x-2）（x6）= 0,即：x = 2或x = 6,二两条线段长为2和6：（2）由题意，可知分两段为分别为3、3,则等腰三角形三边长为2, 3, 3, 由勾股定理得：该等腰三角形底边上的高为：疗工？=2立 丁此等腰三角形面积为|x2x2

9、>/2=2>/2 .（3）设分为X及6x两段x2 + 22 = （6-x）28 X =一,3 S =»"123,Q面积为【点睛】本题考查了一元二次方程、等腰三角形、直角三角形等知识，考查知识点较多，灵活应用 所学知识是解答本题的关键.6.如图，在中，NS = 90，AC = 10cm, BC = 6cm,现有两点夕、0的分 别从点A和点B同时出发，沿边46, BC向终点C移动.已知点夕，。的速度分别为 2cm/s, Icm/s ,且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设0，。两点移 动时间为XS.问是否存在这样的X,使得四边形4Poe的面积等于16c7/

10、?若存在，请 求出此时x的值；若不存在，请说明理由.【答案】假设不成立，四边形AP。面积的面积不能等于16cm，理由见解析【解析】【分析】根据题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：: ZB = 90 » AC = 10, BC = 6,AB = 8.8Q = x,P6 = 8 - 2x；假设存在x的值，使得四边形APQC的面枳等于16cm2，则 gx6x8 gx（82x） = 16,整理得：V - 4x+8 = 0,V =16-32 = -16<0.假设不成立，四边形APQC面积的面积不能等于160r.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握

11、方程根的判别方法、理解方程的意义是本题的 解题关键.7.关于x的方程+有两个不相等的实数根.（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数女，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存 在，求出攵的值；若不存在，说明理由.【答案】（1） >1且女工0； （2）不存在符合条件的实数k,使方程的两个实数根之 和等于两实数根之积的算术平方根.【解析】【分析】（1）由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式A。，由此可以得到关于女的不等 式，解不等式即可求出火的取值范闱.（2）首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等 于两实数根之积的算术平方根，可

12、以得出关于女的等式，解出k值，然后判断k值是否在 （1）中的取值范闱内.【详解】解：（1）依题意得A=（k + 2下4h；>0,.k > -1,又.k WO,.4的取值范围是我>1且kwO：（2）解：不存在符合条件的实数使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平 方根，k理由是：设方程kd + （& + 2）x+a = 0的两根分别为再，公，k + 2怎+9=一丁由根与系数的关系有：,中.又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根， k + 2 1 ''k_T3由(1)知，k>-l,且WO,4：.k=一一不符合题意，3因此不存在符

13、合条件的实数& ,使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方 根.【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。8.设m是不小于-1的实数，关于x的方程x?+2 (m-2) x+m2-3m+3=0有两个不相等的 实数根XI、X2，(1)若 x/+x22=6,求 m 值；HIX. H1X.(2)令T=1一，求T的取值范围.L X. 1 X) .【答案】(1) m=叵；(2)0VT “且不2.2【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得-IVmVl,根据根与系数的关系可得x1+X2=4 - 2m, xi*X2=m2 - 3m+3； (1)把 xf+x22=6

14、 化为(X1+X2) 2 - 2xiX2=6,代入解方程求得 m 的 值，根据-km VI对方程的解进行取舍；(2)把T化简为2-2m,结合-14m VI且 mwO即可求T得取值范围.【详解】V方程由两个不相等的实数根，所以=? (m - 2) 2 - 4 (m2 - 3m+3)=-4m+4>0,所以mVl,又是不小于-1的实数，-l<m<l/. Xi+X2= - 2 (m - 2) =4 - 2m, xi>X2=m2 - 3m+3；(1) Xl2+X22=6,/. (xi+x2) 2 - 2xix2=6,即(4-2m) 2- 2 (m2 - 3m+3) =6整理，得

15、in? - 5m+2=0解得±”;/ - l<m<l所以m=".2inxi inx2(2) T=-+-1"" X 1 "" X 2IDX (l-X2)+lDX2(1-X)一 (1-X P (l-x2)如(町 + K2)-2x i x2l-(x1+x2)+x1x2n 4 - 2nr2 in 4 6irr 614+2ib+ m -3in+3-2m(ioT ) 2=2ID -TD=2 - 2m.,/ - l<m<l 且 mwO所以OV2 - 2m4且mwO即 OVT“且 Tr2.【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的

16、判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是 一种经常使用的解题方法.9 .阅读下面的例题，范例:解方程x2|x| -2=0,解：(1)当空0时，原方程化为x2-x-2=0,解得：xi=2, X2=-l (不合题意，舍去).(2)当xVO时，原方程化为x?+x - 2=0,解得：xi=-2, x2=l (不合题意，舍去).原方程的根是刈=2, x2=-2请参照例题解方程x2 - |x - 10| - 10=0.【答案】xi=4, X2= - 5.【解析】【分析】分为两种情况：当定10时，原方程化为x2-x=0,当xvio时，原方程化为x2+x-20=0, 分别求出方程的解即可.【详解】当空

17、10时，原方程化为x2 - x+10 - 10=0,解得xi=O (不合题意，舍去)，x2=l (不合题意，舍去)；当XV10时，原方程化为x?+x - 20=0,解得X3=4, x4= - 5,故原方程的根是xi=4, x2=- 5.【点睛】本题考查了解一元二次方程一一因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号.10 .校园空地上有一面墙，长度为20m,用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃, 如图所示.（1）能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由.（2）若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面枳能达到170m2吗？请说明理由.产adBC【答案】（1）长为

18、18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（2）若篱笆再增加4m, 围成的矩形花圃面积不能达到170m2.【解析】【分析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32-2X）米，再根据矩形面积公式 列方程求解即可得到答案.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36 - 2y）米，再根据矩形面积公式 列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（32-2X）米，根据题意得：x（32 - 2x）=126,解得:xi=7, X2=9,/. 32 - 2x=18 或 32 - 2x=14,假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、

19、宽为9米.（2）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36-2y）米，根据题意得：y（36- 2y）=170,整理得:y2 - 18y+85=0.a =（ - 18）2 - 4x1x85= - 16<0,该方程无解， .假设不成立，即若篱笆再增加4m,围成的矩形花圃面枳不能达到170m2.11.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可 售出100千克，后来经过市场调杳发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20 千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽

20、可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【答案】（1）4元或6元；（2）九折.【解析】【详解】解：（1）设每千克核桃应降价x元.根据题意，得（60 -X-40） （100+ x20） =2240, 2化简，得 X? - 10x+24=0,解得 xi=4, X2=6.答：每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.要尽可能让利于顾客，每千克核桃应降价6元.54此时，售价为：60 - 6=54 （元），xl00%=90%. 60答：该店应按原售价的九折出售.12.某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的口销售量? （单位：件）是关

21、于时间/ （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：时间f/天131020日销售量加/件98948060这20天中，该产品每天的价格），（单位：元/件）与时间/的函数关系式为：y = -z + 25 4a为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出加关于/的函数关系式；（2）这20天中哪一天的口销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠。元（。<4）给希望工程，通过销售 记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的口销利润随时间，的增大而增大，求。的取值范 围.【答案】（1）帆=2f + 100； （2）在第15天时口销售利润最大，

22、最大利润为612.5元； 2.5 <<7 <4.【解析】【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式：（2）根据口利润=口销售量x每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可 确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的口销售利润，根据函数性质求a的取值范闱【详解】（1）设该函数的解析式为：m=kx+b由题意得:98=k+b94=3k + b解得:k=-2,b=100加关于/的函数关系式为:加= 2f+ 100.（2）设前20天口销售利润为W元，由题意可知,VV = （-2/ + 100） / + 25-2oj= -ir2 + 15r+1

23、00 2-i(r-15)2 + 612.590,.当.=15时，火=612.5.2在第15天时口销售利润最大，最大利润为612.5元.(3)由题意得：W = (2/ + 100)1/ + 25 20 。14=-9 + （15 + 2" + 500-100。,对称轴为：t = 15 + 2a,每天扣除捐赠后的口销利润随时间的增大而增大，且20, 15 +2。2 20,a 2.5 , 2.5。4.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题 的方法是解答本题的关键.13.如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，

24、某 台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界） 都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km,此时台 风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km.（1）如果这般船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会 进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？北【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区.（2）经过15- JFh就会进入台风影响区；（3） 2JT5小时.【解析】【分析】（

25、1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区.（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可.（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影 响的时间长.【详解】解：（1）如图易知 AB=300 - 10t, AC=400 - 30t,当B'C'=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：（300 - 10f）2+（400 - 30f）2=2002,整理得到:t2 - 30f+210=0,解得t=15士厉，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区.（2）由（1）可知经过（15 - JB）人就

26、会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为：15+Ji亍-（15- 715）=2 715 h.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是 解题关键.14 .将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销 售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元.售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件.【解析】【分析】设每件商品涨价X元，能赚得8000元的利润；销售单价为（50 +X）元，销售量为（50010X）件；每件的利润为根据为（50+X-40）元，根据总利润=销售量x每个利润，可 列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x元，则销售单价为（50 + x）元，销售量为（500-10Q件.根据题意，得（500-10x）（50 + x）-40 = 8000.解得 用 = 10, £ 二 30.经检验，占=10,公=30都符合题意.当x = 10时，50 + x = 60, 500-10% = 400；当 x=30 时，50+x = 80, 500-10x = 200.所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元.售价定为60元时，应进货400 件；售价定为