中考隐形圆问题

1、2019中考数学复习 隐形圆问题大全一 定点+定长1 .依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的 圆。定点定长二四2 .应用：BD的长。(1)如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD=2, BC=1, AB / CD,求由 AB/简析：因AB=AC=AD=2,知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上,CD 得 DE=BC=1,易求 BD=5。F是线段B D,则(2)如图，在矩形 ABCD中，AB=4, AD=6, E是AB边的中点，BC边上的动点，将 EBF沿EF所在直线折叠得到 EB F,连接 B D的最小值是.4简析：E为定点，EB为定长，B点路径为以 E为圆心EB为

2、半径的圆,作穿心线DE得最小值为2屈。D(3) A ABC 中，AB=4, AC=2,以 BC 为边在 A ABC外作正方形 BCDE, BD、CE交于点O,则线段AO的最大值为R简析：先确定 A、B点的位置，因 AC=2,所以C点在以A为圆心，2为半 径的圆上；因点 。是点C以点B为中心顺时针旋转 45度并1:，2缩小而得，所以把圆 A旋转45度再1:夜缩小即得。点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即 AF+FO=3&。D定线+定角1 .依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。2 .应用：(1)矩形 ABCD 中，AB=10, AD=4,点 P

3、是 CD 上的动点，当/ APB=90 时求DP的长.简析：AB为定线，/ APB为定角(90 ), P点路径为以AB为弦(直径)的弧，如下图，易得 DP为2或8。(2)如图，/ XOY = 45 ,等边三角形 ABC的两个顶点 A、B分别在OX、 OY上移动，AB = 2,那么OC的最大值为 一.简析：AB为定线，/XOY为定角，。点路径为以AB为弦所含圆周角为 45 的弧，如下图，转化为求定点 C到定圆M的最长路径，即CM+MO= J3+1+J2(3)已知 A (2, 0) , B (4, 0)是x轴上的两点，点 C是y轴上的动点, 当/ ACB最大时，则点 C的坐标为.简析：作A ABC

4、的处接圆 M,当/ ACB最大时，圆心角/ AMB最大，当圆 M半径最小时/ AMB最大，即当圆 M与y轴相切时/ ACB最大。如下图，易得C点坐标为（0, 2J2）或（0, -2J2）（4）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=axA2-3ax-4a的图象经过点 C（0, 2）,交轴于点 A、B, （A点在点左侧）,顶点为D.求抛物线的解析式及点A、B的坐标；将A ABC沿直线BC对折，点A的对称点为 A,试求A的坐标；抛物线的对称轴上是否存在点P,使/ BPC=/ BAC若存在，求出点P的坐标；简析：定线 BC对定角/ BPC=/ BAC,则P点在以BC为弦的双弧上（关于BC对称），如下图所

5、示3 53 万-）P（T，丁）1 .依据：不在同一直线上的三点确定一个圆。2 .应用:A ABC中，/ A= 45 , ADLBC于 D, BD=4, CD=6,求 AD 的长。简析：作A ABC的外接圆，如下图，易得 AD=7+5=12O四四点共圆1 .依据：对角互补的四边形四个顶点共圆（或一边所对两个角相等）。2 .应用: 如图，在矩形 ABCD中， AB=6, AD=8, P、E分别是线段 AG BC上的点,四边形PEFD为矩形，若 AP=2,求CF的长。简析：因 / PEF=/ PDF=/ DCE=90 ,知 D、F、C、E、P 共圆，如下图，由 /1 = /2、/4=/5,易得A A

6、PD-ADCF, CF: AP= CD: AD,得 CF=。D五旋转生圆1 .如图，圆。的半径为5, A、B是圆上任意两点，且 AB=6,以为AB边作 正方形ABCD（,点D、P在直线两侧），若 AB边绕点P旋转一周，则 CD边 扫过的面积为 。简析：CD旋转一周扫过的图形可以用两点确定，一是最远点距离为PC,二是最近点距离为 P到直线CD的垂线段，从而确定两个圆， CD即为两圆之 间的圆环，如下图。2 .如图，在A ABC 中，/ BAC=90 , AB=5cm, AC=2cm,将A ABC绕顶点 C按顺时针方向旋转至AABC的位置，则线段 AB扫过区域的面积为。简析：扫过的阴影部分旋转拼合

7、成如下圆心角为45度的扇环。六动圆综合1 .动圆+定弦：依据直径是圆中最长的弦，知此弦为直径时，圆最小如图， ABC 中，/ABC=90 , AB=6, BC= 8,。为 AC 的中点，过。作 OE OF, OE、OF分别交射线 AB、BC于E、F,则EF的最小值为 一T E B简析：图中显然 O、E、F、B共圆，圆是动的，但弦BO=5,当BO为直径时最小，所以EF最小为5.2 .动圆+定线：相切时为临界值。如图，RtzXABC 中，/C= 90 , /ABC= 30 , AB = 6,点 D 在 AB 边上，点 E 是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE,则AD的取值范围是_。C

8、EB简析：因DA=DE,可以D点为圆心以 DA为半径作圆，则圆D与BC相切时， 半径DE最小。E向B点移动半径增大直至 D到B处（不含B点），得20 AD3。C ES3 .动弦+定角：圆中动弦所对的角一定，则当圆的直径最小时此弦长最小 已知： ABC中，/ B=45 , / C=60 , D、E分别为 AB、AC边上的一个 动点，过 D分另1J作 DFLAC于F, DG BC于G,过E作EH，AB于H, EIX BC于 I,连 FG、HI,求证：FG与HI的最小值相等。简析：可以看 HI何时最小，因B、H、E、I共圆，且弦HI所对圆周角一定， 所以当此圆直径最小时弦HI最小，即当BE最小时，此

9、时BE，AC,解AOHI可得HI的最小长度。同样可求FG的最小长度。此题可归纳一般结论：当/ABC=a , / ACB=B , BC=m时，FG和HI的最小值均为 m*sin a *sin 0 。达标测试：= AC=6, / BCA= 90 , / BDC= 45 , AD = 2,求 BD.2.如图，将线段AB绕点A逆时针旋转60得到线段 AC,继续旋转a (0a0)的图象交于 A, B两 x|点，点P在以C( - 2, 0)为圆心，1为半径的OC, Q是AP的中点，已知 OQ长的最C.【分析】作辅助线，先确定 OQ长的最大时，点 P的位置，当BP过圆心C时，BP最长,设B (t, 2t),

10、则CA t- (- 2) =t+2, BD=-2t,根据勾股定理计算 t的值，可得k 的值.【解答】解：连接BP,由对称性得：OA= OB,Q是AP的中点，.OQ= -BP. OQ长的最大值为一，2 .BP长的最大值为X 2=3,2如图，当BP过圆心C时，BP最长，过 B作BD)x轴于D, .CP= 1 ,BC= 2, - B在直线y=2x上，设 B (t, 2t),则 CD= t- ( 2) =t+2, BD=- 2t,在RtBCD中，由勾股定理得：BC2=CD2+BD2, -22= ( t+2) 2+ (- 2t)八 .4t= 0 (舍)或一=点B在反比例函数故选：C.（2018无锡）如图

11、，已知/ XOY 60 ,点A在边OX上，OA= 2.过点A作AC，OY于点C,以AC为一边在/ XOY内作等边三角形 ABC,点P是 ABC围成的区域（包括各边）内的一点，过点 P作PD/ OY交OX于点D,作PEE/ OX交OY于点E.设OD= a, OE= b,则a+2b的取值范围是 EODP是平行四边形，得 EP【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形= OD= a,在 RHEP中，/ EPH= 30 ,可得 EH 的长，计算 a+2b=2OH,确认 OH 最大和最小值的位置，可得结论.【解答】解：过P作PHLOY交于点H, PD/ OY, PE/ OX,，四边形EODP

12、是平行四边形，/ HEP= Z XOY= 60 ,EP= OD = a,RtAHEP, / EPH= 30 ,EH= EP= a,221,即a+2b的最小值是-a+2b=2 (-i-a+b) = 2 (EH+EQ = 2OH,当P在AC边上时，H与C重合，此时OH的最小值=OC=2；当P在点B时，OH的最大值是：1+二=二，即（a+2b）的最大值是 5,2 2-2a+2b5.（2018苏州）如图，已知 AB=8, P为线段AB上的一个动点，分别以 AP, PB为边在AB的 同侧作菱形 APCD和菱形PBFE点P, C, E在一条直线上，/ DAP= 60 . M, N分别是 对角线AC, BE的中点.当点P在线段AB上移动时，点M,N之间的距离最短为 （结 果留根号）.A P6【分析】 连接PM、PN,首先证明/ MPN=90设PA= 2a,贝U PB=8- 2a, PM= a, PN=（4-a）,构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN.A pB .四边形 APCD四边形PBFE是菱形，/ DAP= 60 , ./ A