【中考专题】抛物线与相似三角形存在性的多种解法

1、【中考专题】抛物线与相似三角形存在性的多种解法初中数学，玩的就是几何。相似三角形存在性问题，是各地中考和模拟考试压轴题的热点问题，这种类型的题目综合性较强，更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。笔者拟就九年级周末作业中的一道题目为例，从不同角度，用不同策略，多种方法解密相似存在性问题。_、13例：在平面直角坐标系中，抛物绞尸一尹一产十2与工轴交于点Sf与J,节蛟于点G点D在该抛物践上，且位于直线屋的上左过D作力工L/G建是为点M连接若相似，求点。的坐标.9第一类：化斜为直处理易知目标CEO与AWC中有/CED=/AOC=

2、90。故两个三角形相似则需有NCED的OC 1夹边OA、OC与NAOC的夹边CE、DE对应成比例。因为= 由于CE和DE的大OA 2CE 1 DE 1小不定，故需领=!或=:两种情况讨论。目标是求点、D坐标,但是DE和 DE 2 CE 2CE这两条线段都不与坐标轴平行或垂直，故与点D坐标不能直接关联，所以构造如图1, “一线等角：模型，则有黄绿相似，相似比即为DE、CE的比，进而可得黄球对应两 直角边的比，以达到二斜转直“目的。再根据黄绿都与AAOC相攸，则黄螺的两直角 边之比为1 ； 2”所以四条直角边知二推三，于是不妨设CN=a,再用a的代数式表点D坐 标最后将点D坐标，代入二次函数表达式

3、求出a值，则问题得解。，简解：因为：ZCED=ZAOC=90故两个三角物目似则需有CE 1（1）当关时（insi-n，DE 2cvCO1因为：tan/ECV=E； = F = ；,故设CN=a,则及；=2%再根据黄绿相似,ENAO2CNEVCE1则： 二二二一，所以：,1正=2 cA=2% D！ f 2.、石=4% 于是由点“AfEDMDE2。（-4% 3fl+2）将点。（- 4a, 34 + 2）代入尸一聂一 ）+2,有 33二一,（一嫡 2333 2s一,一4）+2 解得:。1二0（舍去）（舍去）,则。（一予-g-）DE 1（2）当匕1=与寸（如图12） WCE 2CV CO 1因为，螃

4、N%，效铅G匕2支则 2船,再根据黄母相似niME DM DE1印“_ 1 .1 ,._工w +上汽则：-=j所以=AiE= C-ka.yQA/3 NK 2 a;于正;由点 D（C_V EN CE2225g 2）将点5/2）代入尸一京一22,有2二95日尸_。（一5砧十2,解得：%=0（舍去），9二则D（3/ 2） +J综上所述：点D坐标为（-t 或2） * Z 0反思：直角坐标系中只有与坐标轴平行或垂直的线段才方便与点的坐标建立联 系，故在直角坐标系背景下处理线段问题，常采用化斜为直”的解题策略 根据形似三角形的判定定理 3：两角相等的两个三角形相似.目标4CED与4AOC 中有/ CE4/

5、 AOC= 90 ,故两个三角形相似则需再有一组角对应相等. 故将三角形 相似问题转化为等角问题处理.故还可以采用以下处理方法。第二类：垂直处理简析：不妨在目标中，选定/DCE与A40C中一个锐角相等，因为点。为动点， 所以NDCE不定，故需分N2）a=NC/。与/DCE=/幺。两种情况考虑，当/DCE=时（如图2-1），DCHAO,于是有限=%=2,将尸2代人产一曲一全+ 2,解得：丸=0（舍去），xz=-3,故。一3, 2），以下仅对乙“炉=乙48这种情况进行分析.中（如图 2-2）因为/以0+/（?。=90。，要有NDCE=/C5 则需有/DCE+/Cd。 =90。，故可考虑以C为顶点，

6、CA为边在CA下方构造ZUCG=/CHO,然后过点C作 CG的垂线与抛物线交点即为点D,过D作DFly轴，构“一线三直角”相似模型.， 设HG=CG=a,则QG=4-a,在RtACG。中，根据勾股定理得；（4一。）2十章二木,解得rqCP qa-y故OG，再由黄红相似得：会=赛=彳设。尸=3a,则D尸;也则点。（一 4a, 3tz十2）代入丁=一如一十2,有 3G十3=一；（一47）2一3一钻）+2,解得：。1= ?3 250（舍去）（舍去），公二诂则D（一小后）/L O综上所述，点D坐标为（1, y）或C-3, 2） ”第三类：等腰处理简析：（如图3 1）因为要有NDC=/C6则需有NDCE

7、+ ZCJO=90%故可考虑过/作“1，轴,则仄 A/7X1,那么如何碉定点Z）呢？因 为要有/日4 ZDO且域边/C的同侧，蜡虑构造以M为底的等以右角形，取AC 中点&过。作JC的垂岂睛与点尸连接FC交抛物线与点口，则南D即为所求.在黄中ra 心A ，因为G是AC中点，所以G二的，再根据“三屏幕急第Ctrl十*t十A 、垂直”相北/加k砥L：二赤二一求得：=5,所以用一 4_,5；,再 五史二造本刍制窗口 25g7由eg 2）, #（-4, 5）求出直线网?的表达式为二q+2最后将1=一产+2与一二一界一次+2联会解方程（组）求出交点D坐标为T考 ,第四类：图形变换处理简折：（如图41）在黄

8、中，知tan/吸二灰三乙因为/DCE二乙4C。，/DE -、一 ，一所以tan皿近=而=乙从变换的角度考虑1点C作何种变操得到点力呢？根据乙DEC L匕=9h与黑=2可知C到点口存在两种变换j将点C绕点用射寸针旋转9。乂解寥 ? 再以E为位似中心放大为琼来的2倍（位以变操）得到点口，因为C为定点，故点D随 点E蠲定而确定，实际上在上截取任意定长线段该都可求解,但通常我们是在CA 上取特殊如策略三中的等股处理，实质取的是CA的中点,那么在线段B上还有那个 点比壬婿珠呢？我们知道当点E退无可退时，即点力与点月重合，此时CE=口二2w, 将人绕点月速寸针旋转90。并故大为原来的2倍得到线段XG,此时

9、G点确定，则直线 GC确定，故其与抛物交点D坐标可求.一过点.，仁工;LJ使一J近C-的可L 电在接GC交骷物势二D.相掘黄球 初必 知绿的三边小FGG=12 6 又因为G=2n4后，所以 融=%2.尸G=8,故GL蜕8）,进一步求出宜线GC的函数表达式为:v= 一於十2j最后将J= 一平133 15+ 2与产一台一切+2联立解方程C组）求出交点D坐标为（一会 学一第五类：对称处理简析：C如图S-1）要苞4C=44C5则此为NOCD的平分线，或羞点以/C为对 称J由作点。关于的对称点以 连接GC与抛物线交点且次所求点D. 一易证；AOCEAACO,故AOCE的三边CE9E:OC=L2;限 又因

10、为OC=2,所以 。=触卜由对称知；。加户朋,再证明A8s”cg 所以GF;OF;OG=12 后再由aGjVs,求出FG哮。4黑点G（ 一1，M 进一步求出GC的函数表 达式为；尸一米十2,最后将尸告十2与尸一奈一 %+2联立解方程（组求出交 5 25点D的坐标为（一方）， 4 U反思:利用对称处理其本质是互相垂直的线段的处理，即以互相垂直的两条线段 的端点作系列水平竖直线，构造 三垂直”相似，也可理解为以互相垂直的两条线 段为斜边构造两个直角三角形，利用相似或三角函数的知识解决问题.其核心 仍是化斜为直”思想的运用.第六类：一线三等角tff=（如国6一我们知道48是一个定盒且2U8的正切值为2.其顶点C在J 轴上，已登具备一名七角，蝌虑灯一线三等角“曜L只需再补两个等角，补全“一线 三等角”模型即可求解。过点作Q瓦Lr轴，分别以DA为顶点在口目上方和工轴下方作ZDFM= ZAGO= zSDCA. 也在红中，易知4（7。二%=九 因为NDC4=/JC5 所以由NZ）C&=2,- LU则tanNFH二tanNDCi=，设JjJJ DH-2a,则有 皿七行直 又因为上/C。二 以GO=CK由对称性知321依=岖根据黄红相似有二冬二隼 即:厚二 （jfC 5%/+2,艮丐s+2=赤2口J 一解得：由二0（舍去其生二不，则Q （ -225反思:线三等角”是极其重要的相似