《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用的习题库(11)

1、第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题1.若 f (x) 定义在 a,b 上，在 (a, b) 内可导，则必存在(a,b) 使f ' ( )0 。（2.若 f (x) 在 a,b 上连续且 f ( a) f (b) ，则必存在(a, b) 使 f ' () 0。（3.limf ( x) limf (x)(a,b)'，则必存在使 f( )若函数 f ( x) 在 a,b 内可导且 x ax b4.若 f (x) 在 a,b 内可导，则必存在(a, b) ，使 f (b)f (a) f '( )(ba) 。（5.因为函数 f (x) x 在 1,1 上连续，且 f

2、 ( 1)f (1) ，所以至少存在一点）0。（ ）1,1 使f ' ( )0 。6.若对任意 x(a,b) ，都有 f '(x)0 ，则在 (a, b) 内 f ( x) 恒为常数。7.若对任意 x(a,b) ，都有 f '(x)g' (x) ，则在 (a,b) 内 f ( x) g( x) 。8.arcsin xarccosx, x1,1。29.arctan xarctan x, x(,) 。210. 若 f (x)x( x1)(x2)( x3) ，则导函数 f ' ( x) 有 3 个不同的实根。11. 若 f (x) ( x2 1)(x2 4)

3、，则导函数 f ' ( x) 有 3 个不同的实根。12.lim2x1lim(2 x) 'x 22xx 2(2 x1)'13.lime2 x1lim( e2 x1)'x 0sin xx 0sin x（）（）（）（）（）（）（）（）（）14.若 f ' (x)0 则 f (x)0 。（）15.若在(a, b)内f ( x) g ( x)'( x)'( x) ，则在 (a, b) 内必有 f (x)g( x) 。（），都可导，且 fg16.函数 f (x)arctan xx 在 R 上是严格单调递减函数。（）17.因为函数 f (x)x 在

4、x0 处不可导，所以 x0 不是 f ( x) 的极值点。（）18.函数 f (x)x 在 x0 的领域内有 f ( x) f(0) ，所以 f ( x) 在 x0 处取得极小值。（）19.函数 yxsin x在 0, 2 严格单调增加。（）20.函数 yexx 1在 (,0 严格单调增加。（）21.方程 x3x22x10 在 0,1 内只有一个实数根。（）22.函数 y3x2 在 0,) 严格单调增加。（）23.函数 y3x2 在 (,0 严格单调减少。（）24.若 f ' (x0 )0则 x0必为 f ' (x0 ) 的极值点。（）25.若 x0 为 f ( x) 极值点则

5、必有 f ' (0) 0 。（）26.f ( x)x3 在 x0 处有 f(0)0，所以 x0 是 f ( x) 的极值点。（）27.若 (x0 , f (x0 ) 为曲线 yf ( x) 的拐点，则必有 f '' ( x0 )0。（）28.若 f '' ( x0 )0 ，则 ( x0 , f ( x0 ) 必为函数曲线 yf (x) 的拐点。（）29.若在 I上，曲线总在它每一点的切线上方，则曲线在I 上是凹的。（）30.曲线 yx46x23x 在区间（ 0,1 ）内是凸的。（）31.曲线 yln( x21) 的图形处处是凹的。（）32.曲线 yxe

6、3x 的拐点 x0 。（）33.曲线 yx3 在 (,0 内是凸的，在 0,) 内是凹的。（）34.曲线 yln x0。（）有水平渐近线 yx二、选择题1.若 f (x) 在 (a, b) 内可导， x1 , x2 是 (a, b) 内任意两点，且 x1x2 ，则至少存在一点使（）A. f (b)f (a)f ' ()(ba) ，其中 abB. f (b)f (x1)f ' ()(bx1) ，其中 xbC. f ( x1 )f ( x2 )f ' ()( x2x1) ，其中 x1x2D. f ( x2 )f (a)f ' ()( x2a) ，其中 ax22.函数

7、 f (x)x3x 在 0,3满足罗尔定理条件的等于（）3A.-1B.0C.1D.33.函数 f (x)x22x 3 在1,2满足拉格朗日中值定理条件的等于（）A. 1B.0C.1D.1224.函数 yx(1x) 在区间 (0,1) 内满足罗尔定理的（）A.0B.1C.1D.1325.下列各式中正确运用洛必达法则求极限的是（）A. limsin xlimcos xsin xB.xsin xlim(1cos x) 不存在exlimlimxx 0 ex1 x 0x 0exxxC. lim11cot xlimsin xx cos xlimsin xx cos xx sin x1xx2 sin xx3

8、lim3x23x 0 xx 0x 0x 0D. lime2 x1e2 x1sin xlimx 0x0 cos x6.函数 f (x)x（）1x2A. 在 R 上单调减少B. 在 R 上单调增加C.在 ( 1,1)上单调减少D. 在 ( 1,1)上单调增加7.f ( x) x ln x ，则（）A. 在 (0, 1) 内单调增加B.在(1,) 内单调增加eeC.在 (0,) 内单调减少D. 在 (0,) 内单调增加8.函数 f (x)x2e x（）A. 没有极值B. 既有极大值也有极小值C. 只有极大值D.只有极小值9.若在区间 (a,b) 内函数 f '(0)0 ， f '&#

9、39; (0)0 则 f (x) 在 (a,b) 内（）A. 单调递减且凹的B. 单调增加且凸的C.单调增加且凹的D. 单调递减且凸的10.若 fxfx ，x(,)，在(,0)内 f'( x)0 ， f ( x)0，则 f ( x) 在 (0,)内有（）A.f'( x)0， f( x)0B.f'( x)0 ， f( x)0C.f '( x)0 ， f (x)0D. f '( x)0 ， f (x)011.要使点 (1,3) 为曲线 yax3bx2 的拐点则 a,b 值应为（）A. a9 , b3B.a3 , b9C.a3,b6D.a2, b1222212

10、.点 (1,2) 是曲线 yax2bx3 的拐点，则（）A. a0,b2B. a1,b 1C. a 2,b0D. a3,b113.曲线 f (x)3x2x3 在（）A.在 (,1)内是凸的， (1,) 内是凹的B. 在 (1,) 内是凸的， (,1) 内是凹的C.在 (,0) 内是凸的， (0,) 内是凹的D. 在 (0,) 内是凸的， (,0) 内是凹的14.2 是函数 yx3 3x26x2 在 1,1 上的（）A. 极大值B. 极小值C.最大值D.最小值15.函数 y2x39x212x1在 0,2上的最大值点与最小值点分别是（）A.1，0B.1 ，2C.2，0D.2，116.设 f 

11、9; ( x)(1x)(2 x1),x(,)则在(1（）,1) 内曲线 f (x) 单调2A. 递增凹的B. 递减凹的C.递增凸的D.递减凸的17.当 x0 ，则曲线 yx sin 1（）xA. 仅有水平渐近线B. 仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D. 既没有水平又没有垂直渐近线18. 曲线 y1e x2（）1e x2A. 仅有水平渐近线B. 仅有垂直渐近线C.既有水平又有垂直渐近线D. 既没有水平又没有垂直渐近线119. 曲线 yex1的渐近线（）A. x1 为垂直渐近线， y0为水平渐近线B. x1为垂直渐近线， y1为水平渐近线C. x0为垂直渐近线， y0为水平渐近线D. x0

12、为垂直渐近线， y1为水平渐近线三、填空题1.若函数 f ( x) 在 a,b 上可导，则至少存在一点(a, b) 使得 f ' ( )。2. 函数 f (x)3在 (1,1)内满足罗尔中值定理的点是。12x3.函数 f (x)x3 x 在 (0,3) 内满足罗尔中值定理的点是。4.函数 f (x)2x3 在 (1,1) 内满足拉格朗日中值定理的点是。5.函数 f (x)x35x2x 2 在 (1,0)内满足拉格朗日中值定理的点是。6. 函数 f (x)sin x, g( x)cos x, 在 x(0, ) 内满足柯西中值定理的点是。27.函数 f (x)x, g (x)x, 在 x(

13、0,1)内满足柯西中值定理的点是。8.函数 f (x)p x2qxr 在区间 (a,b) 内满足拉格朗日中值定理的点是。9.函数f (x)x3x2g(x)2x1 在区间 (0,1)内满足柯西中值定理的点是。2x ，10.函数 f (x)arctan xx 在 (, ) 上严格单调。11.函数 f ( x)x2cos x 在 0, 内的最大值点是。212.函数 f ( x)x11 的极大值点是，极小值点是。x113. 曲线 ye x2在区间上是凸的。14. 曲线 y1( x2)3 的拐点是。15.曲线 y1x的水平渐近线为。1x216.曲线 y4x21 的垂直渐近线为。x117.曲线 yex的水

14、平渐近线为。18.曲线 y1x的水平渐近线为。1x219.曲线 y( x3)2的斜渐近线为。2(x1)20.曲线 yx3的垂直渐近线为。(x3)( x1)21.曲线 yx3的斜渐近线为。(x3)( x1)四、求解题1.limx33x2x3x2x1x12.lim exe xx0sin x3.limexe x22x0x4.limx1xn1x15.lim2xln( x1)x06.lim sin xsin axaxa7.lim21x21x1x18.lim11ln( x1)xx019. lim x(ex 1)x10.limx(arctanx)x 211.limxln( x2) ln xx12.limln

15、sin x3x(2x)2ln1113.limxx arctan x14. lim x tan xx 0115. lim x1 xx 1116. lim(1sin x) xx017. 求函数 y2x39x212x3 的单调性和极值。18. 求函数 y2(x 2) (x 1)3 的单调性和极值。219. 求函数 y1 ( x 2)3 的单调性和极值。20. 求函数 f ( x) ex x 1的单调性。21. 求函数 f (x)x3 (1x) 的单调区间并求极值。22. 求函数 f (x)x的单调区间并求极值。x2123. 求函数 f ( x)2x33x212x14 在 3,4 上的最值。24. 求

16、函数 yx33x29x2 在 4, 4 上的最大值和最小值。25.求 f ( x)2x33x2 在 1,4 上的最值。26.求 f ( x)2x33x212x14 在 3,4 的最值。27. 求曲线 yxe x 的凸凹性及其拐点。五、证明题1. 设 ab 0, n 1证明： nbn 1 anbnnan 1.ab2. 设 x0 ， 1ln(1 x)1.1 xx3. 证明 sin asinbab 。4. 设 ab 0 证明： a bln a ln ba b .ab5. 证明当0a b时，baba。1b21a2arctan b arctan a6. 当 x0 时， ex1x 。7. 当 x0 时，

17、11 x1x 。28.当 x 0 时， 1x ln( x 1x2 )1 x29.证明 f (x) x32 x 1在 (,) 内只有一个零点。10.1 (xnyn ) ( x y ) n ( x 0, y 0, x y,n 1) 。2211.x ln xy ln x(xy)ln xy ,( x 0, y 0, x y) 。2六、应用题1. 一个房产公司有 50 套公寓需要出租，当租金每套每月为 1000 元时，公寓会全部租出，当租金每月增加 50 元时，就会有一套公寓租不出去。租出去的房子需要每套花费 100 元的维护费。问房租定为多少可获得最大收入？2. 有一块边长为 6a 的正方形铁片， 在

18、每个角剪去一个边长同样的小正方形， 然后将四角折起来，做成无盖的方盒。问为了使盒子体积最大，剪去小正方形的边长为多少的？3.已知若每英亩种植20 棵核桃树，则每年每棵树可以平均收获坚果60 磅。据此估算核桃树的种植，若每英亩增加种植一棵树（最多增种15 棵），则平均每棵树年减产量减少 2 磅。问每英亩种植多少棵树会使亩产最大？最大亩产是多少？4. 某工厂要建造一个容积为 2 a3 立方米的带盖圆柱体， 问半径 r 和高 h 如何确定，则所用的材料最省？5. 某工厂要建造一个容积为a3立方米的无盖圆柱体，问半径r 和高 h 如何确定，则所用的材料最省？6. 要建一个体积为 5 立方米的无盖 圆柱形的桶，底面用铜制，侧壁用铁制，已知每平方米铁片造价是 a 元， 每平方米铜片造价是 5 a 元 ，问该桶的底面半径 r 多大时总造价