【KS5U解析】河北省衡水中学2020届高三下学期三模数学（理）试题 Word版含解析

1、20192020学年度第二学期高三年级三模考试数学（理科）试卷命题人：何慧 审核人：徐丹第卷一、选择题1.设集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可得出集合.【详解】，因此，.故选：c.【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2.若复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】d【解析】【分析】先根据求出，再求出，即得在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由得.所以对应的点为，在第四象限.故选：d.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查

2、共轭复数的概念和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设实数，满足条件则的最大值为（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】c【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，由可得，将直线l：进行平移，当l与ab重合时，目标函数z达到最大值，因为ab过点（0，2）；zmax0+2+13故选：c【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键

3、，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题4.平面向量与的夹角为，则等于( )a. b. c. 12d. 【答案】b【解析】因为，与的夹角为，故，则，应选答案b5.如图，是函数的部分图象，则的解析式可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由图像的对称性和单调性逐个判断即可.【详解】解：由图像可知，函数图像关于轴对称，所以应为偶函数，所以排除a；由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除c；对于当时，而当 时，而正弦的函数图像可知d不正确，故选：b【点睛】此题考查函数图像的识别，利用函数的奇偶性，增减性，或取特殊值进行识别，属于中档题.6.已知二项式展开式中，二

4、项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ）a. 240b. 120c. 48d. 36【答案】a【解析】【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得即，写出二项式展开式的通项公式，令即可得解.【详解】由题意，解得，则，则二项式的展开式的通项公式为，令即，则.故选：a.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第位，也就是和之间，这一成就比欧洲早了多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模

5、型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求出正四面体的体积与内切球的体积，设落在球内的玻璃球数量为，由几何概型的概率计算公式，得到即可解决.【详解】由三视图知，该模型是一个棱长为的正四面体及其内切球，正四面体体积，过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，易知，所以，即，解得所以内切球体积，

6、设落在球内的玻璃球数量为，则，即近似计算得.故选：b.【点睛】本题考查几何概型的概率模型与三视图的综合应用，涉及到正四面体的体积与内切球的体积问题，是一道中档题.8.设函数，其中，.若，且的最小正周期大于，则a. ，b. ，c. ，d. ，【答案】a【解析】由题意，其中，所以，又，所以，所以，由得，故选a【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自

7、己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“”则表示对某人是否获奖未发表意见已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测××乙的猜测×丙的猜测××丁的猜测×a. 乙丁b. 乙丙c. 丙丁d. 甲丁【答案】a【解析】【分析】根据甲、乙、丙对丁的猜测可得丁获奖，而且丁的猜测是错误的，根据甲、丙对甲、乙的猜测，必有1

8、人错误，可得乙的猜测正确，根据乙的猜测，即可得出结论.【详解】由甲、乙、丙均猜测丁获奖，丁猜测丁没有获奖，故丁的猜测错误，否则有三人猜测错误，所以丁获奖，再由甲、丙对对甲、乙猜测结果，因此甲、丙一人猜测正确，另一人猜测错误，所以乙猜测正确，则甲不获奖，甲猜测错误，故乙、丙猜测正确，即乙、丁获奖.故选：a【点睛】本题考查逻辑思维和推理能力，通过猜测结果找出矛盾关系是解题关键，属于基础题.10.已知椭圆的左、右焦点分别为，也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到，再由直线与椭圆方程联立求出

9、点坐标，求出和，根据椭圆定义得到关于和的方程，进而求出离心率.【详解】由题意可知，则.所以.因为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为：.由得，所以.因为，所以.在中，.由椭圆的定义得：，即，解得：.故选：.【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题.11.已知，不等式对任意的实数都成立，则实数的最小值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先不等式变形为，不等式等价于，然后利用函数的单调性可得对任意恒成立，再利用参变分离恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为 ，即，设，则不等式对任意的实数恒成立，等价于对任意恒成立，则在上单调

10、递增， ，即对任意恒成立，恒成立，即，令 ，则 ，当时，在上单调递减，当时， ，在上单调递增，时，取得最小值 ， ，即，的最小值是.故选：b【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形，并能构造函数并转化为对任意恒成立,属于难题.12.已知正方体的外接球的表面积为，与的重心分别为，球与该正方体的各条棱都相切，则球被所在直线截的弦长为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由题意可求得正方体棱长为3，则球的半径，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得，进而可得点到直线的距离，根据公式可得弦长.【详解】设正

11、方体的边长为，则，即正方体棱长为，.球的球心为正方体的中心，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则a（3，0，0），b（3，3，0），d（0，0，0）， ，点到直线的距离，又球的半径为，因此正方体外接球被所在直线截的弦长为.故选：d.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.第卷二、填空题13.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线与双曲线交于，两点，且的面积为6（为原点），则双曲线的标准方程为_【答案】【解析】【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得，由的面积为6可得，联立两式求得的值，从而可得结

12、果.【详解】解: ,即焦点为，即的焦点为，,又的面积为6，时，,得，由得，双曲线的方程为.故答案为: 【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.14.2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生

13、物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为_.【答案】【解析】【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有种情况，若甲辅导数学，有种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为，故答案为：【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥

14、有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，则，两点的距离为_【答案】【解析】【分析】acd中求出ac，abd中求出bc，abc中利用余弦定理可得结果.【详解】解：由已知，acd中，acd15°，adc150°，dac=15°由正弦定理得，bcd中，bdc15°，bcd135°，dbc=30°，由正弦定理，所以bc；abc中，由余弦定理，ab2ac2+bc22acbccosacb解得：ab，则两目标a，b间的距离为故答案为【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也

15、考查了数形结合思想和转化思想，是中档题16.已知圆点，直线与圆交于两点，点在直线上且满足.若，则弦中点的横坐标的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】当直线斜率不存在时，易求得；当直线斜率存在时，设其方程为，利用直线与圆有交点可求得；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据和可整理得到，满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得；当时，知；当时，可将表示为关于的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设，当直线斜率不存在时，直线方程，此时，满足，此时；当直线斜率存在时，设其方程为：，与圆有两个不同交点，即，由得：，设，则，.，解得：，由得：，整理

16、得：，整理得：，当时，；当时，代入式得：，解得：，当时，单调递增，在上单调递减，综上所述：弦中点的横坐标的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求.三、解答题17.已知等差数列的公差为，是数列的前项和，等比数列的公比为，是数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使得关于的不

17、等式有解？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）首先根据题意得到，再求即可.（2）首先求出，将不等式有解转化为，即可得到答案.【详解】（1）由，得或（舍去）（2），有解，即有解，又，（当时，解得或5），故存在，使得关于的不等式有解【点睛】本题主要考查等差，等比数列的通项公式和前项和公式，同时考查了不等式有解，属于中档题.18.如图，在多面体中，是边长为4的等边三角形，点为的中点，平面平面（1）求证：平面（2）线段上是否存在一点，使得二面角为直二面角？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为线段上靠近点

18、的八等分点.【解析】【分析】（1）根据题目条件证明平面，从而得到/，得出/平面;（2）建立空间直角坐标系，假设存在点，计算平面和平面的法向量，使法向量数量积为零，然后求解，根据的值确定点的位置.【详解】解：（1）因为，是边长为4等边三角形，所以，所以是等腰直角三角形，又点为的中点，所以因为平面平面，平面平面，所以平面因，所以，所以与都是直角三角形，故，又，所以平面，所以因为平面，平面，所以平面（2）连接，以为原点，所在直线分别为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设存在，使得二面角为直二面角，易知，且设平面的法向量为，则由，得，令，得，故设平面的法向量为，则由，得，令，得，故由，得，故所以

19、当为线段上靠近点的八等分点时，二面角为直二面角【点睛】本题为空间立体几何综合题，考查空间中线面平行的证明及根据二面角大小确定动点的位置问题，难度较大. 解决根据二面角大小求参的问题关键点在于合理设元、计算法向量，使法向量的夹角余弦值符合题目条件即可.19.如图在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，短轴长为4（i）求椭圆的方程；（2）若与原点距离为1的直线与椭圆相交于，两点，直线与平行，且与椭圆相切于点（，位于直线的两侧）记，的面积分别为，若，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到关系，求解得到标准方程；（2）设，根据可知，又与原点距离为，即，可把化

20、简为：，根据与椭圆相切，联立可得，由此代入化简可得的范围，再进一步求解出的范围.【详解】（1），所以椭圆的方程为（2）因为原点与直线的距离为，所以，即，设直线，由，得，因为直线与椭圆相切，所以，整理得，因为直线与直线之间的距离，所以，所以，又，因为，所以，又，位于直线的两侧，所以，同号，所以，所以，故实数的取值范围为【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆的关系中求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.20.2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评

21、定，最终亩产为1046.3千克第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值为衡量标准，其产品等级划分如下表为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图质量指标值产品等级废品合格良好优秀良好（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值的件数的分布列及数学期望

22、；（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件求事件发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如下表所示；（）质量指标值利润试确定的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：，）【答案】（1）答案见解析；（2）0.973；（3），90万元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中求解即可；（3）根

23、据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润取值的概率，建立利润的函数模型，利用导数求函数的最值即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，的频率为；的频率为；的频率为故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，的有4件，的有2件，的有1件从这7件产品中任取3件，质量指标值的件数的所有可能取值为0，1，2，则；所以的分布列为012故（2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为，则根据频率分布直方图可得，则（3）由题意可得该产品的质量指标值与对应概率如下表所示（）：质量指标值利润0.30.40.150.10.05故每件产品的利润，则，令，则，故当时，当时，所以当时

24、，取得最大值，（元）所以当时，每件产品的利润取得最大值为0.9元电已知，该生产线的年产量为100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为（万元）【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，超几何分布，数学期望的求解，二项分布，利用导数研究函数的最值等，考查数据分析、数学建模、数学运算等核心素养.21.已知函数（1）当时，求函数的最小值；（2）若，求证：【答案】（1）0；（2）证明见解析【解析】【分析】（1），对函数求导，利用导数判断其单调性，进而可求出最小值；（2）构造函数，对函数求导，分别求出和时，函数的单调性，进而证明其最大值小于0，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意知的定义域为当时，则令，则，令，得，令，得，故在上单调递增，在上单调递减，则，即对任意，恒成立所以令，得，令，得，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最小值，即（2）令，则，当时，则，单调递增，所以当时，故成立；当时，显然，令，则，因为，所以，即在上单调递增，因为，所以，因为，且，所以，所以存在满足，则，整理得，则有因为，所以存在唯一零点，所以时，单调递增；时，单调递减