凸函数及其在证明不等式中的应用

1、内江师范学院本科毕业论文 本本 科科 毕毕 业业 论论 文文 题 目 凸函数及其在证明不等式中的应用 系 别 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学 指导教师 吴开腾 评阅教师 班 级 2004 级 2 班 姓 名 冀学本 学 号 20040241064 2008 年 月 日内江师范学院本科毕业论文目目 录录摘要.IAbstract.I1 引言.12 凸函数的等价定义.12.1 凸函数三种定义的等价性的讨论.22.1.1 定义定义 1 1定义定义 2 2.22.1.2 定义定义 1 1定义定义 3 3.42.2 判定定理与 JESEN 不等式.43性质.54 凸函数在不等式证明中的应用.7

2、4.1 利用凸函数定义证明不等式.74.2 利用凸函数性质证明不等式.8结束语.11参考文献.11致谢.12内江师范学院本科毕业论文摘摘要要首先给出了凸函数的三个典型定义，分析了它们之间的关系，并证明了三种定义之间的等价性接着给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数具有重要的理论研究价值和实际广泛应用，利用凸函数的性质证明不等式；很容易证明不等式的正确性因此，正确理解凸函数的定义、性质及应用，更对有关学术问题进行推广研究起着举足轻重的作用在不等式证明中的应用并举例说明解题思路与证明方法，最后证明了几个常见的

3、重要不等式并得到了几种常用凸函数的形式关键词凸函数，凸性不等式，jensen 不等式AbstractFirst has given the convex function three model definition， has analyzed between them the relations， and has proven between three kind of definition equivalence. Then has given a convex function determination theorem as well as the Jesen inequality.

4、Then discussed convex function several commonly used nature， has demonstrated the convex function in inequality proof application through the sample question. The convex function has the important fundamental research value and the actual widespread application， the use convex function nature proof

5、inequality;Very easy to prove the inequality the accuracy. Therefore， the correct understanding convex functions definition， the nature and the application， carry on the promotion to the related academic question to study the pivotal function. In the inequality proved that the application and explai

6、ns with examples the problem solving mentality and the certificate method， finally has proven several common important inequalities. And obtained several kind of commonly used convex function forms. Key words Convex function， convexity inequality， jensen inequality内江师范学院本科毕业论文01 引言引言凸函数是一类常见的重要函数，上世

7、纪初建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支得到广泛应用例如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等当中常用的凸函数有两种，一种叫上凸函数，即曲线位于每一点切线下方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线上方的函数；另一种叫下凸函数，即曲线位于每一点切线的上方或曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线下方的函数现行高等数学教材中也都对函数的凸性作了介绍，由于各版本根据自己的需要，对凸函数这一概念作了不同形式的定义，本文介绍了凸函数的三种典型定义，讨论了它们的等价性，并给出了利用凸函数的定义证明凸函数的简单应用凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式证明最终归结为研究函数的特性，所以

8、研究凸函数的性质就显得十分重要凸函数的性质相当多，已有很多文献专门就函数凸性作了研究本文就凸函数的性质介绍了几条常用的性质，并给出了证明；最后，重点介绍了凸函数的性质在不等式证明中的应用2 凸函数的等价定义凸函数的等价定义定义 11若函数对于区间内的任意以及，恒有( )f x( , )a b12,x x(0,1)，1212(1)()(1) ()fxxf xf x则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间的割线总在( )yf x1122( ,(),(,()xf xxf x曲线之上定义 2若函数在区间内连续，对于区间内的任意，恒有( )f x( , )a

9、b( , )a b12,x x，12121()()()22xxff xf x则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b其几何意义为：凸函数曲线上任意两点间割线的中点( )yf x1122( ,(),(,()xf xxf x总在曲线上相应点(具有相同横坐标)之上定义 3若函数在区间内可微，且对于区间内的任意及，恒有( )f x( , )a b( , )a bx0 x，000( )()()()f xf xfxxx则称为区间上的凸函数( )f x( , )a b内江师范学院本科毕业论文1其几何意义为：凸函数曲线上任一点处的切线，总在曲线之下( )yf x以上三种定义中，定义 3 要求在内是可导

10、的，定义 2 要求在( )yf x( , )a b( )f x上是连续的而定义 1 对函数则没有明显地要求实际上可以证明在定义( , )a b( )yf x1 中，函数在上是连续的而定义 1 和定义 2 两个定义是否要求函数( )yf x( , )a b是可导的，则没有提出如果加上可导的条件，则可证明三种定义是等价的( )yf x2.1 凸函数三种定义的等价性的讨论凸函数三种定义的等价性的讨论2.1.12.1.1 定义定义 1 1定义定义 2 2证明 定义 1定义 3，取， 由定义 1 推得定义 212定义 2定义 1首先，论证对于任意的及有理数，不等式 f x12,x xa b0,1， 12

11、1211fxxf xf x成立事实上，对于此有理数总可以表示为有穷二进位小数，即，12121122220.2nnnnnnaaaaa aa其中或 1，由于也是有理数所以也可以表示为有0ia 1,2,1 ;1nina1穷二进位小数，即，121211 222210.2nnnnnnbbbbbbb由于，有或 1，于是110ib 1,2,1 ;1ninb 12121,2,1iiiif a xb xa f xb f xin所以121fxx12121211211222222222nnnnnnnnnnaaaabbbbfxx内江师范学院本科毕业论文222221 112121122112222nnnnnnaabbf

12、 a xb xfxx23232312311 1121211222222()222nnnnnnnnnnaaaabbbba xb xxxf 22221112121122112222nnnnnnaabba f xb f xfxx 33111221221222211122122111221121221111*222222111222122nnnnnnnnnnnnaba f xb f xa f xb f xfxxa f xb f xa f xb f xaf xbf xa xb xf 111221221112211211122212nnnnnna f xb f xa f xb f xaf xbf xa f

13、 xb f x 12121211211212222222221nnnnnnnnnnaaaabbbbf xf xf xf x下面再论证对为无理数时定义 1 也成立事实上，对任意无理数， f x0,1存在有理数列，所以 0,1 ,nnn ，121211nnxxxxn 由于在内连续，所以 f x, a b 12121212121lim1lim1lim11nnnnnnfxxfxxfxxf xf xf xf x综上即知，定义 1 与定义 2 等价内江师范学院本科毕业论文32.1.22.1.2 定义定义 1 1定义定义 3 3证明 定义 1 定义 3：对内任意的及，若，则取，使, a b0 xx0 xx0

14、h 于是，可以得到00 xxhx， 0000f xhf xf xf xhxx上式中令，由于可微，所以有，即0h f x 000f xf xfxxx若，则取，使，同理可证 000f xf xfxxx0 xx0h 0 xxhx定义 3定义 1：对于区间内的任意（不妨设）以及，令, a b12,x x12xx0,1，则有，由泰勒公式，得12xxx1122211,xxxxxxxx及， 111f xf xfxx 222f xf xfxx其中，于是1122xxx 12122121111f xf xfxxxxff再进一步由，所以即 21ff 121211f xf xfxx， 121211fxxf xf x最

15、后，由等价的传递性即知定义 2 与定义 3 也是等价的2.2 判定定理与 Jesen 不等式判定定理2设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸函数的充要条件是fIIf，( )0fxxI用定义直接来判断一个函数是不是凸函数，往往是很困难的但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸，则是相当简便的在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性，再反过来引出它必定满足凸性不等式在许多证明题中，我们常常遇到一些不等式的证明，其中有一类不等式利用凸函数的性质定理来证明可以非常简洁、巧妙证明不等式就是凸函数的一个应用领域，但关键是构造能够解决问题的凸函数定理 (Jensen 不等式)3设函数在上处处二次可微，且:( ,

16、 ).fa bRf( , )a b内江师范学院本科毕业论文4 (对任意，则为上的凸函数，即对任意，及( )0fx( , )xa b( )f x( , )a bmN( , )kxa b成立如下不等式10,1mkkk， （1）11()()mmkkkkkkfxf x该不等式称为 Jensen 不等式，该性质是凸函数的一个重要性质，也是定义的一般情况可以说，凸函数在不等式证明中的应用很大程度上是由 Jensen 不等式来体现的，因为每个凸函数都有一个 Jensen 不等式，因而它在一些不等式证明中有着广泛的应用利用它可以推出常用的一些重要公式，为证明不等式开辟了一条新路注：由定理，经简单计算知下列函数

17、在其定义域上都是凸函数，从而都满足不等式（1） （a）， （b）( )(1,2,3)if x i 11( )0,0)f xxaax （， （c）凸函数及其性质在解题中有着21( )(0)fxxccx3( )(0)xfxxccx十分广泛的应用，下面试举数例述之3性质性质利用函数的凸性来证明不等式，是一种重要的方法，通常需要构造适当的凸函数，再运用函数的凸性的定义及几个等价论断，可将一些初等不等式，积分不等式转化为研究函数的性态，从而使不等式简化进而得到证明函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态，把握区间上整体性态，不仅可以更加科学、准确的描绘函数的图象，而且有助于对函数的定性分析凸函数是一类重要

18、的函数凸函数在不等式的研究中尤为重要，而不等式最终归结为研究函数的特性，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了性质 14 设函数在区间为凸函数，则在区间也为凸函 f xx、gI f xx+gI数证明：因函数在区间为凸函数，从而12,0,1x xI f xx、gI，且 121211fxxf xf x 121211gxxg xg x于是有 12121122111fxxgxxf xg xf xg x因此在区间为凸函数 f x +g xI内江师范学院本科毕业论文5性质 2 设函数在区间为凸函数，则在区间为凸函 f xx、gI max,f xg xI数证明 ，因函数在区间为凸函数从而有12,0,1x xI

19、 f xx、gI， 121211fxxf xf x且 121211gxxg xg x令，则 max,F xf xg x1212121max1,1Fxxfxxgxx 1212max1,1f xf xg xg x 112212max,1max,1f xg xf xg xF xF x因此，在区间为凸函数 max,F xf xg xI性质 3 5设函数在区间为递增的非负凸函数，则在区间 f xx、g, a b f xxg为凸函数, a b证明 ，设，因为非负凸函数，由定理 3 知12,x xa b12xx f xx、g，在点连续，且,xa b f xx、gx， 12120()()22f xf xxxf

20、 12120()()22g xg xxxg因此在区间连续，因递增，从而 f xxg, a b f xx、g 2121112212210f xf xg xg xf xg xf xg xf xg xf xg x且 21211212() ()2222f xf xg xg xxxxxfg 11221221221142f xg xf xg xf xg xf xg xf xg xf xg x内江师范学院本科毕业论文6由定义知在区间为凸函数 f xxg, a b当然凸函数的性质还远不止施工述几条，这里就不一一列举4 4 凸函数在不等式证明中的应用凸函数在不等式证明中的应用41 利用凸函数定义证明不等式例 1

21、 求证：对任意实数，有, a b212a babeee证明 设，则，故为上的凸函 xf xe 0,fxx xf xe, 数从而对，由定义有121,2xa xb， 12121111(1)(1) ()2222fxxf xf x即212a babeee例 2 设，则有01,01xa1111aaxxx 证明 设 ，那么 111aaf xxx01x 111111aaaafxaxxxax 1111211111111 1aaaaaaaafxaaxxaaxxaaxxa axx 11122111111aaaaaaaxxx xxxxx ，1122111111aaaaaaxxaaxx 于是时，01,01xa 0fx

22、由严格凸函数的定义，其中得12,1,0 x xx， 110110f xfxxx fxf即1111aaxxx 例 36 若为内的凸函数，求证 f x, a b( , ),1,2,ixa b in内江师范学院本科毕业论文7 111()niniiixff xnn证明 对，不等式是显然的，设对不等式成立，则因为12,2nx1n，12121111nnnxxxxxxnxnnnn这里，由定义有1nn121,1nnxxxa bxa bn， 1111111()()1nniiniiniixxnfff xf xnnnnn例 4 若，则0,i1,2,in1212sinsinsinsinnnnn证明 令 ，由于则 ln

23、(sin)iif 0,i1,2,in 2sec0iif为上的严格凸函数，所以由例 3 的不等式有 f x0,，1111ln(sin)ln(sin)nniiiinn 即，由得12121ln(sin)ln(sinsinsin)nnnn1e ，1212sinsinsinsinnnnn上式等号仅在成立12n4.2 利用凸函数性质证明不等式例 5 证明不等式： ，12221212212()nnnnxxxxxxx xxnn其中 10,1,2,xin证明 考虑对数函数，因为故函数是 ln0f xx x 210,fxx lnf xx上凸函数，由上凸函数的性质，即得，1212121lnlnlnlnlnnnnnx

24、xxxxxx xxnn由对数性质，即证明了 （2）1212nnnxxxx xxn内江师范学院本科毕业论文8又考虑函数，所以故也是上凸函数， 20g xxx 20gx 2g xx 由上凸函数的性质，得，22221212()nnxxxxxxnn即 ，22221212()nnxxxxxxnn因此， 122212122()nnxxxxxxnn（3）综合（2） ， （3）整个命题证明结束例 6 设均为正数，且求证：12n，121n22221212111(1)()()()nnnn证明考虑函数因为，所以是下凸函数，令 2,f xx 20fx 2f xx，由下凸函数的性质，则有1111,xaa1,nnnxaa

25、2221212111()()()nnaaaaaa （4）12212111()nnaaaaaann，2121111(1)nnaaa由柯西不等式：得22222111()()()nnniiiiiiiaba b1212111111()() 1nnaaaaaa，21212111()nnaaanaaa于是有，并代入212111()nnaaa（4）式即得内江师范学院本科毕业论文9，22221212111(1)()()()nnnn证毕例 77 在中，求证ABC3 3sinsinsin2ABC证明 考虑函数，因为，所以sin0yxxsin00yxx 在内是上凸函数，由上凸函数的性质有sinyx0,，sinsin

26、sinsin33ABCABC由于故ABC3 3sinsinsin2ABC例 88 设，则,iia bR1,2,in11nniiiiab21112nniiiiiiaaab证明 记则，取，易知，有判定定理知1niisa11niias 1,01f xxx( )0fx为凸函数，取，由于故由性质得 f xiiibxa11nniiiiabs21111111211nniinniiiiiiiiiiaassssababsxxss例 9 设，有，其中，,0iia b 1,2,in1111nnnqpqiiiiiiiabab0,0pq111pq证明 令，因为，由判定定理知 ,1,0pf xxpx 2(1)0pfxp

27、px，在上是严格凸函数，由 Jensen 不等式得到 ,1,0pf xxpx0,，今设为非负实数且，在上述表达式中以11()nnppiiiiiixx12,nu uu10niiu代替，得到1niiiuui1111()()()nnnpppiiiiiiiiu xu xu内江师范学院本科毕业论文10由题设知令，不妨设，代入上式便111pq1qpp1,qqiiiiiubxab10niib得不等式1111nnnqpqiiiiiiiabab特别地，取时得就到柯西不等式2pq22111nnniiiiiiiabab综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凸函数的定义及性质，就可使一些较复杂的不等式迎刃而解结束语结束语通过研究凸函数的几种定义，分析它们之间的关系，证明了给出三种典型定义之间的等价性给出了凸函数的一个判定定理以及 Jesen 不等式然后讨论了凸函数的几条常用性质，接着通过例题展示了凸函数在不等式证明中的应用凸函数的应用领域非常广泛，主要是在不等式的证明中，运用它解题显得巧妙，简练，通过对上述问题的证明，我们认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式，关键是寻找合适的函数，