“求轨迹方程”教学实录与反思-2019年文档

1、“求轨迹方程”教学实录与反思【教学目标】1.掌握求轨迹方程的三种基本方法.2.引导学生针对详尽情况探究适合求轨迹方程的方法.3培养学生的观察能力和自主学习的能力.【教学重点】掌握求轨迹方程的三种基本方法【教学难点】引导学生针对详尽情况探究适合的方法【教学过程】一、引入师：前面我们学习了曲线与方程，那么如何来求曲线的方程，即寻找曲线上任意一点P (x, y)的横坐标x和纵坐标y所满足的关系式呢？这就是我们今天要学习的内容：求轨迹方程.(引入简洁明了，迅速将学生的思维引入学习的主要内容.)二、讲授新课师：我们先看这样一个例子(投影)：例1已知动点P到A (-1, 0) , B (1, 0)的距离之

2、比为1 ： 2,求动点P的轨迹方程，并说明它是什么曲线.师：我们大家一起来分析一下这道题.要求动点P的轨迹方程，就是要求众生回答：求P的横坐标和纵坐标所满足的关系式.师：对了！因此，如果大家遇到要求某个动点P 的轨迹方程的问题时，第一步是将动点P设为P (x, y),接下来的我们的任务是探究 x、y之间所满足的关系式.就本题而言，我们只要把题目转化成数学语言，根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.(板书)设动点P (x, y),由题意：PAPB=12即 (x+1) 2+y2(x-1)2+y2=12下面请大家把这个式子化简一下，并告诉我动点P的轨迹是什么曲线生 1: 3x2+3y2+10x+3

3、=0 是一个圆.师：对，它是一个圆.圆是怎样定义的？生2：到定点的距离等于定长的点的轨迹师：对，那么根据这道题，大家能不能归纳出新的定义圆的方法呢？（学生思考片刻）生 3：是不是“到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹”？师：如何证明？众生迷惑：怎么证明啊？坐标都没有啊 师：对啊，那就自己建立坐标系.这边又有一个需要大家注意的地方，就是如何建立适合的直角坐标系求动点的轨迹方程.如果我们只是简单的设动点P（x, y）,定点A （a, b） , B （c, d）,势必会导致运算烦琐，给求解造成很大困难.那么本题中，我们该如何来设两个定点的坐标呢？生4：把它们放到x 轴上，即A（a，0），B（b，0）

4、.师：能否更简单？生5:那就让点A是原点好了 .师：很好！这样在运算时就又少一个字母了！（板书）由题意，建议如图所示坐标系：设动点P（ x， y），A（ 0， 0）， B（b, 0） , PAPB= （A 0）,即x2+y2（x-b）2+y2=狮：下面请大家把这个式子化简一下.生 6:（入-1） x2+ （入-1） y2-2b 入 2x+入 2b2=0.师：是一个圆吗？生6:当入2舌1即入#时是的.入=时是一条直线.师：怎样的一条直线？生 6：线段AB 的中垂线.台下同学不断点头，众生恍然大悟.师：入2?时也不一定是圆啊.我们在圆的大凡方程x2+y2+Dx+Ey+F=0知道，需有 D2+E2-

5、4A0,我们来检查一下：D2+E2- 4F=4b2入2（-1）20,确实是一个圆.因止匕 圆的定义可以是 众生齐答：到两个定点的距离之比为定值入（入为1的点的轨迹.师：很好.同时，我们要注意建立适合的直角坐标系可以使运算简单.这样一种求动点P的轨迹的方法我们叫直接法.（板书）直接法：根据条件直接寻求动点坐标所满足的关系式.（利用“由分外到大凡 ”的手法创设情境，激起学生的求知欲望.针对教学内容的特点，结合学生的实际，选择问题切入点，通过从详尽到抽象，从感性到理性的认知活动，不仅加深对定义的理解，更有利于提高学生的发散性思维能力.）师：下面大家来看这样一道例题（投影）：例2已知动点P到点A （0

6、, 1）比到直线y=-2少1,求点P的轨迹.生7:设动点P （x, y）,则x2+（y-1）2=|y+2|-1.接下来化简比较麻烦 师：你们可以自己画张草图，再想想如何化简比较简单.（学生画草图）生7:由题意，点P在直线y=-2上方，所以绝对值可以去掉.化简为： x2=4y.师：请注意，要求的是点 P的轨迹，轨迹”是一个几何概念.生7: x2=4y是轨迹方程，故点P 的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.师：对.大家要注意到,轨迹方程是一个代数概念，就是动点的横纵坐标所满足的关系式；而轨迹是一个几何概念，是指动点运动所形成的曲线类型.本题中，点P的轨迹是一条抛物线，轨迹方程为 x2=4

7、y抛物线的定义是什么？众生回答：到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹.师：那么大家能否从抛物线的定义入手，对本题进行解答？生 8:由题意，动点P到点A（0, 1）与到直线y=-1相等，故点P的轨迹是以（0,1）为焦点，开口向上的抛物线.轨 迹方程为x2=4y.师：很好！在求轨迹的过程中，我们可以根据已知的曲线类型 来归纳出动点生成的轨迹，这种求动点轨迹方程的方法叫做定义法.本题中，我们用定义法直接求出点P的轨迹方程及轨迹，避免了用直接法需运算及去绝对值的技巧.在高中阶段，我们涉及到的曲线定义有圆的定义，前面已经涉及；有椭圆、双曲线的第一定义；有圆锥曲线的统一定义等，大家在做题时要观察题设

8、条件，注意能否运用定义法来求轨迹方程，往往可以避免运算和讨论.（先让学生用已知的“直接法 ”来求轨迹方程，求解过程引导学生通过画草图，数形结合可以精巧避免烦琐运算，体现了解析几何中数形结合思想的严重性 .同时本题依旧引新，用学过的知识来探究新问题，激发学生学习的积极性，驱动学生思维的自觉性和主动性.同时在探究过程中，注重以学生为主体，教师合适引导，使问题层层深入，最终得到解决.）下面我们来练习一道题目（投影）：练习1:已知动圆 M与G1 ： x2+y2+4x=0外切，且与 C2 ： x2+y2-4x-60=0内 切，求动圆圆心M 的轨迹方程.师：这道题用直接法很难求，但是通过化简圆方程，我们发

9、现，OC1和OC2的圆心凑巧是（-2, 0）和（2, 0）,这让我们联想到什么？生 9：椭圆或双曲线的两个焦点.师：对！很有可能是椭圆或双曲线，那么我们的目标就是MC1+MC2充值或 |MC1-MC2|= 定值，如何来表示MC1 和 MC2？生 9：两圆外切，连心线等于半径之和；两圆内切，连心线等于半径之差.故 MC1=r+2， MC2=8-r.师：相加还是相减？众生答：相加！师：请生9 把解题过程说一下，我来板演.生 9: OC1 ： （x+2） 2+y2=4; OC1 ： （x-2） 2+y2=64,设动圆 M 的半径为 r,根据图形可知，MC1=r+2, MC2=8-r,故MC1+MC2

10、=1Q故点M的轨迹是以 （ 2 ， 0）为焦点，长半轴长为5 的椭圆，方程为：x225+y221=1.师：若出现MC1-MC2充值，轨迹是什么？众生答：双曲线！师：再想想，双曲线的定义是什么？是双曲线的两支吗？生10：是双曲线的一支，因为MC1-MC2没有加绝对值.师：很好，以后我们在解题中要注意思维严密性，不要粗心大意.但是一定是双曲线的一支吗？众生：师：回想一下双曲线的统统定义！生 10：我知道了！双曲线的定义是到两个定点的距离之差的绝对值为定值(小于两点间距离)的点的轨迹，因此 MC1-MC2浣值，若定值小于C1C2则 M点的轨迹是双曲线的一支，若定值等于 C1C2则M点的轨迹是一条射线

11、，若 定值大于C1C2则M点的轨迹是空集.师：很好，我们在用椭圆或双曲线的第 一定义做题时，一定要注意定值和两点间距离的大小关系，注意定义的统统性，这体现我们思维的完备性.(补充 若出现MC1-MC2浣值，求M点的轨迹”需要分三种情况讨论时十分必要的，此例考查基础知识，易为学生所接受，而且有利于防止学生在解题过程中思考的片面性，加强学生对概念的理解，提升学生思维的完备性.)师：下面我们介绍求轨迹方程的第三种方法：相关点法.(投影)例3已知。C： (x-1) 2+y2=1,过原点。做圆的任意弦，求所作弦的中点 的轨迹方程.师：设弦OA的中点为P (x, y),我们发现，点P是随着点A在动，我们

12、称点A是点P的相关点.而点A在已知曲线上，因此只要找到点 p坐标P(x, y)和 点A坐标A (x0, y0)之间的数量关系即可.哪位同学能告诉我它们之间所满足 的关系式？(此处略作停顿，引导学生思考.)生 11：根据中点定义，有x=x02y=y02.师：x0， y0 之间有什么关系？生 11：(x0-1) 2+y20=1.师：因此，x, y之间满足什么关系？生 11：由x=x02y=y02,可得 x0=2xy0=2y,由于(x0-1) 2+y20=1,故(2x-1) 2+(2y)2=1师：这位同学求轨迹的方法就叫相关点法，即探求所求动点及其相关点的横纵坐标满足的关系式，然后代入该相关点满足的

13、曲线方程，即得动点的轨迹方程.相关点架起了一座求动点轨迹的桥梁，我们也把这种方法称为“点参法 ”. 归纳起来如下：(板书)已知 f(x0, y0)=0,而 x0=f1 (x, y)y0=f2 (x, y),故 f fl (x, y) , f2 (x,y) =0.(此处若采用讲述法进行教学，往往会陷入平铺直叙的状况，较难激起学生思考问题的积极性，不利于学生生动活泼的学习.在教师所创设的问题情境中，让学生成为探索的主体，引导学生自己找到所求点坐标与相关点坐标之间的关系，自己剖析问题，探索用“相关点法 ”求轨迹方程的思路和需要注意的地方 .最后教师进行总结，有利于学生更好的掌握和消化新知识.)师：既

14、然有“点参法 ”，那也应该有“数参法 ”，这道题用“数参法 ”如何来解决？众生迷惑.师：如果我们设OA的斜率为k,联立直线和圆的方程，能否得到 x, y分 别用 k 来表示？大家试一试？生12:设动弦OA的方程为y=kx,代入圆方程得：(x-1) 2+ (kx) 2=1,即 (1+k2) x2-2x=0,故 x=x1+x22=11+k2 y=kx=k1+k2师：很好，其实大家已经得 到了动点P (x, y)的参数方程：x=11+k2y=k1+k2要得到x, y之间的关系式.只 需将 k 消掉.如何消去参数k？生12:两式相除得k=yx,代入x=11+k2,化简即得(2x-1) 2+(2y)2=

15、1.师：很好！下面我们也总结一下用“数参法 ”求轨迹方程的大凡步骤.(板书)设定参数k,探究出x=f1(k)y=f2 (k),消去k即可.(和 “点参法 ”教学一样，学生在教师的引导下自己层层剖析，探索用“数参法 ”求轨迹方程的思路和需要注意的地方.问题在深刻的探究气氛中解决.)师：以上我们用 点参法”和 数参法”分别求了弦OA的中点P的轨迹方程，它是一条什么曲线？一条什么曲线？众生：圆！师：请大家把它画出来.师：点 P 的轨迹可以是整个圆吗？生 12：不行，要出去原点.因为弦的中点总是在圆内部.师：因此刚刚得出的轨迹方程需做何修改？生 12: (2x-1) 2+(2y)2=1 (0x).师：

16、对！我们在求轨迹方程时需注意是否需要去除哪些不符合条件的点.实际上，本题还可以用定义法来解决.我们连接AB, PC,可得PC/ZAB,/A=90 ；/P=90,0 点P的轨迹是什么？众生回答：以 OC为直径的圆！师：对了！我们可以直接写出轨迹方程 x-122+y2=14,在注意去除原点即可 这和前面的结果是一致的.师：以上我讲了求轨迹方程的三种主要方法：直接法，定义法，参数法(点参法、数参法).大家在遇到相关问题时，要善于抓住题设的特征，选择适合的方法来解决问题.方法的恰当选择，可以简化运算，达到事半功倍的效果.(探索问题时，必须使学生能够从例外角度来考虑解决问题的途径，若只从单一角度，在同一

17、个思维模式中展现其面貌就会造成思路不变、思域狭隘的毛病.因此在教学中利用一题多解来培养学生的多维性思维是非常严重的.)课后反思：1 . 本节课采用“探索法 ”设计教学.整节课“以学生为主体，教师为主导”，教师引导学生深入探究，得出求轨迹方程的三种基本方法.探索法以发展探究能力为目标，以学科的基本知识结构为内容，以知识结构为根据划分探索过程，把学生置于主体地位，在探索中建立自己特色的认知结构.教师在探索法教学中，要紧紧抓住 “疑问 ”，把学生的思维引向深入.根据已知与未知、新知识与旧知识、现象与本质之间的联系来精巧的存疑设问，激发学生情趣，促进思考.在探索中，教师要注重与学生的双边交流，力求把各种情景因素组织起来，达到最大限度发展思维的目的.本课的“疑问 ”环环相扣、步步深入，从而把用直接法、定义法、参数法等方法解决轨迹问题的思路逐步展开，使本节课的重点知识得到巩固 .2 .例题的精选是本节课的一个亮点.例题的选取应做到“新 ”（新奇，以激发兴趣）； “广 ”（广思，以流通思维）；“诱 ”（诱错，可分析解剖）；“深 ”（深挖，可总结经验，加深理解）.本节课的例1，选题新奇，入手简单，但通过教师的推广挖掘，又总结出了大凡规律，同时在求解过程中还需注意分外情况做到了 “新、广、诱、深”. 例 2 及其练习起到了巩固已学知识和“诱错 ”的作用