人教版九年级数学下册思维特训(三)动态双曲线中的交点个数问题

1、思维特训(三)动态双曲线中的交点个数问题类型一双曲线与直线交点个数问题解决双曲线与直线的交点个数问题，常将两函数的解析式组成方程组，再转化为一元二次方程，最后借助一元二次方程根的判别式解决问题.k .1 .若反比例函数y = x与一次函数y=x+ 2的图象没有父点，则 k的值可以是()A. 2 B. 1 C. 1 D. 22 .如图3Y1,直线y=x+5与双曲线y=k(x>0)相交于A, B两点，与x轴相交 x5 于点C, ABOC的面积是2.若将直线y=- x+ 5向下平移1个单位长度，则所得直线与双曲k 线y=-(x>o)的交点有()x、图 3-Y- 1A. 0个 B. 1个C

2、. 2个 D, 0个或1个或2个k3 .若函数y=- kx+2k+ 2与y=(kw 0)的图象有两个不同的交点，则k的取值范围是x4 .如图3Y2，已知A(-4, n), B(3, 4)是一次函数y1= kx+b的图象与反比例函数y2 = m的图象的两个交点，过点D(t, 0)(0 v tv 3)作x轴的垂线，分别交双曲线y2=Jm和直第3页线y1 = kx+b于P, Q两点.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;1(2)当 t 为何值时，S BPQ= 2SA APQ?(3)如图，以PQ为边在直线PQ的右侧作正方形 PQMN,试说明：边 QM与双曲线 y2= ?(x> 0)始终有交点.图

3、 3-Y-2类型二双曲线与多边形交点个数问题解决双曲线与多边形的边有无交点问题，要在运动变化过程中探索问题中的不变因素,其中对双曲线经过多边形的特殊点的研抓住“静”的一瞬间，将一般情形转化为特殊情形.ABCD黑色区域，其中 A(6, 2), B(6,k y=(x>0)的图象，当扫描线遇到黑 x、k的取值范围是(究是解题关键.5 .如图3-Y-3,在平面直角坐标系中有一矩形1), C(2, 1), D(2, 2),有一动态扫描线为反比例函数色区域时，区域便由黑变白，则能够使黑色区域变白的图 3-Y-3A. 4<k<6 B, 2< k< 12C. 6<k<

4、 12 D, 2<k< 126 .如图 3-Y-4, RtAABC 在第一象限，/ BAC=90°, AB = AC=2,点 A 在直线 y = k .x上，其中点A的横坐标为1,且AB/x轴，AC/y轴，若双曲线y = (kw 0)与 ABC的边 有交点，则k的取值范围是.图 3Y 47 .在平面直角坐标系的第一象限内，边长为 1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，3点A的坐标为(a, a).如图3-Y -5,右双曲线y=-(x>0)与此正万形的边有交点，则 a的X、取值范围是.图 3-Y-58 .如图3-Y-6,在直角坐标系中，矩形 OABC的顶点。与坐标原点重

5、合，顶点 A, C分别在坐标轴上，顶点 B的坐标为(4, 2), M, N分别是AB, BC的中点.(1)若反比例函数 y=m(x>0)的图象经过点 M ,求该反比例函数的解析式，并通过计算X判断点N是否在该函数的图象上；(2)若反比例函数y = m(x>0)的图象与 MNB的边有公共点，请直接写出m的取值范围. x图 3Y 6k9 .如图3- Y-7,反比例函数y = -(x>0)的图象与Rt OAB的两边OA, AB分别交于 x、C, D 两点，/ OBA = 90°,点 B 的坐标为(2, 0),且 BD : OB= 1 ： 2, BD ： AD = 1 ：

6、3,连 接 CD, DO.(1)求反比例函数的解析式；(2)求点C的坐标；(3)将4 OCD先沿x轴的正方向平移 3个单位长度，再沿 y轴的正方向平移 3个单位长度，得到 OCD',要使反比例函数y=m(x>0)的图象与 OCD的边有公共点，请直接写 x出m的取值范围.图 3-Y-7详解详析k k,. y ?1. A 解析二,反比例函数y = x与一次函数y=x+2的图象没有交点，x 无 y=x+2解，k即-=x + 2无解， x整理得 x2 + 2x k=0,A= 4+4kv0,解得 k< - 1,四个选项中只有一2V 1,只有A符合条件.2. B 解析设直线y=x+5与

7、y轴的交点为 D,过点B作BFx轴于点F.令直线 y= x+5 中 x=0,则 y= 5,即 OD= 5;令直线 y=x+5 中 y=0,则 0= x+ 5,解得x=5,即OC = 5,.-.OD=OC=5.又在 RtACOD 中，/ COD = 90°, ./ DCO = 45°.一 115SabocOC BF=2><5BF = 2，BF= 1 ,.-.CF=BF=1,.OF=OC-CF = 5- 1=4, 点B的坐标为(4, 1),k=4X 1 = 4,一，4即双曲线的解析式为 y=. x将直线y= x+5向下平移1个单位长度得到的直线的解析式为y=x+ 5

8、-1 = -x +4,4 ,4将 y= x+ 4 代入 y=一中，得一x+4 =一， xx整理得 x2 4x+ 4=0, A= (4)24X4 = 0, 平移后的直线与双曲线y=4只有1个交点.故选B.xy = - kx+ 2k+ 2,1k3. k>%且kw 0 解析把方程组k消去y得到一kx+2k+ 2=-，整2y = -xy x理得 kx2-(2k+2)x+k=0,1 一. 1 一 , 根据题意得 A= -(2k+2)2-4k2>0,解得k> 鼻，即当k> 彳且kw 0时，函数y =k-kx+ 2k+2与y=(kw0)的图象有两个不同的交点. x''

9、12y2=一.x4,解：(1)将B(3, 4)代入y2=m,得m= 3X4= 12，反比例函数的解析式为 x将A( 4, n)代入反比例函数丫2=丝，彳导n= 3, xA(-4, 3).;直线y1 = kx+b过点A和点B,-3=- 4k+ b,k= 1, 解得4 = 3k+b,b= 1, 一次函数的解析式为(2)PQx 轴，以PQ为底边时，y = x+ 1.APQ与 BPQ的面积之比等于 PQ边上的高之比.1又.$ BPQ2sPQ,SBPQ 1=-.Saapq 2 D(t, 0), A(-4, 3), B(3, 4),1-，、-X PQX (3 t)2=1，即=1,1x PQX ( t+4)

10、t+42 解得t= 2.3设直线QM与双曲线m,/y2=(x>0)父于点 C.x、12依题意可知：P(t,不),Q(t, t + 1), CG72, t+1),t+ 112.QM= PQ=y-t-1 ,一 12- 一 1212Qc=tq-t,qm-qc=y 11(，1)=12t (t+1)1.,0<t<3,.0<t(t+ 1)v12,12r一一 一一 一->1,即 QM- QO0, QM >QC, t (t + 1)即边QM与双曲线y2=mx(x>0)始终有交点.5. B6. 1<k<4解析根据题意可知点 A的坐标为(1, 1). . /

11、BAC=90°, AB= AC=2,.点B, C关于直线y=x对称. 点B的坐标为(3, 1),点C的坐标为(1, 3), 线段BC的中点坐标为(2, 2).k .双曲线y = x(kw0)与ABC有交点，K k< 4.第4页7A/3<a<V3+1解析,一点A的坐标为(a, a), ，根据题意可得 C(a- 1, a- 1),3当点A在双曲线y = (x>0)上时，xx一. 3贝U a = -, a解得a=，3(负值舍去)；3当点C在双曲线y = -(x>0)上时,x、'一3贝U a-1 =,a- 1解得a=，3+1(负值舍去).，a的取值范围是

12、V3<a<V3+1.8.解：(1)二.四边形OABC是矩形，B(4, 2), .A(0, 2), C(4, 0). M, N分别是AB, BC的中点，M(2, 2), N(4, 1).,点M在反比仞函数y=m(x>0)的图象上, X ''2= m, m= 4, y = 42，' y x当 x=4 时，y = 4= 1, 4点N在该反比例函数的图象上.(2)4< mW 8.k9.解：(1)由题意得点D的坐标是(2, 1),将其代入y=；,得k=2,则反比例函数的解 x,一 2析式是y=2.x(2)由题意得A(2, 4),设直线OA的函数解析式为y=kx,把A(2, 4)代入，得k=2, 则直线OA的函数解析式是 y=2x.2y =,联立y xy=2x,x= 1 ,解得 或y= 2x= - 1 , (舍去).y=- 2则点C的坐标是(1, 2).点O', C', D的坐标分别是(3, 3), (4, 5)和(5, 4).当反比例函