高等代数试题附答案

1、高 等 代 数试形式：闭卷SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、在PX中，向量1+x + x2关于基1,X-1,X2-3X+ 2的坐标为2、向% =(1,21)口2=(2,4,203=(3,0,3)4=(1,1,2 05 =(5,3,8 )的秩，一个最大无关组为3、（维数公式）如果Vi,V2是线性空间 V 的两个子空间，那为_ 。5、实二次型f（X1, X2, X3）= YX1X2+2x1X3+2x2X3的秩为 _、是非题（每小题 2 分，共 20 分）1、如果

2、a1,a2,，ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合。（）2、在Px中，定义变换Af（X）= f （xo）,其中xo亡P，是一固定的数,那么变换 A 是线性变换。（）3、设WiW是向量空间 V 的两个子空间，那么它们的并 W,UW2也是 V的一个子空间。（）姓名:班级:考试时间：120 分钟考4、假设A =3-2-13.-570-1-b的特征根是，特征向量分别4、两个欧氏空间同构的充分且必要条件是它们有相同的维数。（）5、令匕=（X1,X2,X3,X4）是 R4的任意向量，那么6是 R4到自身的线性变换。其中5（E） -（xx/x；,）。6、矩阵A的特征向量的线性组合仍是 A

3、 的特征向量。（）7、若矩阵 A 与 B 相似，那么 A 与 B 等价。（）8n阶实对称矩阵 A 有n个线性无关的特征向量。（）9、在M2（R）中，若 W 由所有满足迹等于零的矩阵组成，那么W 是M2(R)的子空间。（）10、齐次线性方程组 仏E-A）X=0的非零解向量是 A 的属于A的特征向量。（）三、明证题（每小题XX分，共 31 分）1、设毎1,，是线性空间 V 的一组基，A 是 V 上的线性变换，证明:A 可逆当且仅当A知，A,，A%线性无关。（10）2、设 6 是 n 维欧氏空间 V 的一个线性变幻，证明：如果 6 是对称变幻,62=1 是单位变幻，那么 6 是正交变换。（11）3、

4、设 V 是一个n维欧氏空间，证明：如果W1,W2都是 V 得子空间，那么個+她苹 W 丄。（10）四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）1-3 33-5 3的特征根与特征向量，并求满秩矩阵 P 使,6一6 4丿1、求矩阵 A =得 P AP 为对角形矩阵。2、求个正交矩阵 U ，使得UAU使对角形式，其中0、-25丿3、化二次型f （Xi,X2,X3）=-4XIX2+2XIX3+2x2X3为平方和，并求所用的满秩线性变换。科目名称：高等代数试形式：闭卷S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SS S S S

5、 S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S SSSSS、填空题（每小题 5 分，共 25 分）1、 （ 3,4,1 ）2、 秩为 2, 一个最大无关组为 a1a3三、明证题（每小题XX分，共 31 分）*32024-2姓名:班级:考试时间：120 分钟考3、维（V1）+维（V2）=维21+ V2)+维(VG V2)4、特征根是 1，1, 2,特征向量分别为 = (1,1,1 02 = (2,1,-1)5、秩为 3、是非题 （每小题1、（是 )2、（是 )3、（是 )4、（否 )5、（否)6、（否)7、（是)8(是)9、（是)10

6、、 （是 )共 20 分)2 分,(10)1、证明 设A可逆，则A存在，且 A也是 V 的线性变换，（1）若Azi,As, Zn线性相关，则A（A&）, A（A2）,，A-（Agn）,即乳殂鼻也线性相关，这与假设 E132,-,gn是基矛盾，故AZI,AZ2，AS线性无关。（5）反之，若A,As,，An线性无关，因V 是n维线性空间，故它也是 V 的一组基，（7）故对 V 中任意向量a1有 =人你代，+k2S +kngn），即存在a=（ki知+k2g2 +kn），使 A（a）=旳，故A为 V 到 V 上的变换。(8)若又有P =|i知+I2S2 +ln使A(P)=aiAP=liA街+I

7、2A+lnA名n =(kiAd+k2As +knA%)，因为A% A%,，A%是基，li =ki,(i =1,2,，n)，即a = P，从而A又是一的变换，故 A 为可逆变换。（10）22丸確）仝 2（ 与仲J 一 2 何 ）与+科 I 晔一2：弋逹F,（8）=2（用）6-2（甲）62（耳，（10）=0 , （ 11） 证 ：（13/亡側+W2 += X W#w+讯+她+匸 W 年 W 丄,(5)同理側+她+二 W 年她丄，（8）则（W +W2苹W2丄。四、计算题（每小题 8 分，共 24 分）(10)1、解:XE-A=(A+2)2(A_4)，贝U A的特征根为 弘2 =2，几3= 4 ,(8

8、)入(i =1,2,3)，它们对应的特征向量分别为 =002 =10 3 =1g易知卫2,3线性无关，取 P = 0I-112那么就得PAP-200-20004。(8)2、解:疋-A =(h-1)仏-4)仏-7)，贝U特征根为几1对应它们的线性无关的特征向量分别为 -21、202 =1 严3 -22L21，人2= 4,人3=7，他们单位化后分别为r 2 / 1、_ 33323*2 =13231221 3丿3,取正交矩阵/_ 2_23JV-_2丄3_231、323_2-3丿0、07丿1、解:XE-A=(A+2)2(A_4)，贝U A的特征根为 弘2 =2，几3= 4 ,(8)(8)X1= y1+ y23、解 X2=y1-y20?整理得Zi在令z