1、用提公因式法把多项式进行因式分解

1、1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外 面，将多项式写成因式乘积的形式。提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：(1) 当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幕。(2) 系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。 下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解2 m !；2m 1m(1) -axabx -acx -ax(2) a(a -b)3 2a2(b -a)2 - 2ab(b -a

2、)分析：(1)若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“一”号，使括号内的第一项 系数是正数，在提出“-”号后，多项式的各项都要变号。解: -a2xm 2 abxm 1acxmaxm 3 二 _axm(ax2bx c x3)(2)有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a -b)2n =(b -a)2n ; (a -b)2n二一(b a)2n，是在因式分解过程中常用的因式 变换。解：a(a -b)3 2a2(b - a)2 - 2ab(b - a)= a(a -b)3 2a2(a-b)2 2ab(a -b)= a(a -b)(a -b)2 2a(a -b) 2

3、b= a(a -b)(3a2 -4ab b22b)2. 利用提公因式法简化计算过程987987987987例：计算 123268456521 -1368136813681368987分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。1368987解:原式(123 268 456 5219873. 在多项式恒等变形中的应用'2x + y = 3例：不解方程组，求代数式(2x y)(2x - 3y) 3x(2x y)的值。px 3y = -2分析：不要求解方程组，我们可以把2x y和5x-3y看成整体，它们的值分别是3和-2，观察代数式，发现每一项

4、都含有2x y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x y和5x -3y的式子，即可求出结果。解：(2xy)(2x-3y)3x(2x y) = (2x y)(2x-3y 3x) = (2x y)(5x -3y)把2x - y和5x-3y分别为3和-2带入上式，求得代数式的值是-6。4. 在代数证明题中的应用分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形,接着只需证明每一项都是-2n10的倍数即可。例：证明：对于任意自然数 n，3n 2 - 2n 2 - 3n - 2n 定是10的倍数。3n 2 -2n 2 3n _2n =3n2 3n -22-3n(32 1) -2n(221)-10 3n -5

5、 2n；对任意自然数n, 103n和52n都是10的倍数。.3n 2 -2n 2 - 3n -2n一定是 10 的倍数 5、中考点拨：例1。因式分解3x(x -2) -(2 -x)解：3x(x -2) -(2 -X)= 3x(x -2) (x -2)=(x -2)(3x 1)说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。例 2分解因式：4q(1-p) ，2(p-1)3 2解：4q(1 - p) 2( p -1)= 4q(1-p)32(1-p)2= 2(1-p) 2q(1-p) 1= 2(1-p) (2q-2pq 1)说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形

6、得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。题型展示:精析与解答：设 2000 = a，则 2001 二 a 12000 20012001-2001 20002000= a10000(a 1) (a 1) -(a 1)(10000a a)-a(a 1)10001 -a(a 1) 10001= a(a 1)(10001-10001)=0说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001 =2000 - 1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化 为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。242

7、42例2.已知：x bx c (b、c为整数)是x 6x25及3x 4x - 28x 5的公因式，求b、c的值。分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c,但比较麻烦。注意到x2 bx c是3( x4 - 6x2 - 25)及3x4 - 4x2 - 28x5的因式。因而也是-(3x4 4x228x 5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。24242解：；x bx c是 3(x 6x 25)及 3x 4x 28x 5 的公因式.也是多项式3(x4 6x2 25) -(3x4 4x2 28x 5)的二次因式4 2422而 3(x4 6x2 - 25) - (3x

8、4 4x2 - 28x 5) = 14(x -2x - 5)b> c为整数2 2得：x bx c = x - 2x 5b 二 -2, c = 5说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x2 -28x 70，从而简便求得 x2 bx c。例3.设x为整数，试判断10 5x x(x 2)是质数还是合数，请说明理由。解：10 5x x(x 2)-5(2 x) x(x 2)-(x 2)(5 x)x 2，5 x都是大于1的自然数-(x - 2)(5 x)是合数说明：在大于1的正数中，除了 1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。 只能被1和本身整除的数叫质数。【实战模拟】1.

9、分解因式：2332(1) -4m n 12m n -2mn2n 駁nd!n” 亠，(2) a x abx - acx -adx (n 为正整数)3222(3) a(a -b) 2a (b - a) -2ab(b - a)2计算：(2)11 +(-2)10的结果是()100 10A. 2B. -2C. -2D. -13. 已知x、y都是正整数，且 x(x - y) - y(y - x) 12，求X、y。4. 证明：81 -279 -9能被45整除。5. 化简：1 x x(1 x) x(1 x)2x(1 - x) 1995，且当 X = 0时，求原式的值。【试题答案】1. 分析与解答：2332(1

10、) -4m n 12m n -2mn2 2-2mn(2mn -6m n 1)2 n “2n -1nn _j(2) a x abx - acx -adx二 axn(ax3 bx2cxd)(3) 原式二 a(a -b)3 2a2(a -b)2 -2ab(a -b)22二a(a -b) (a -b) 2a -2b2二 a(a -b) (3a -3b)2= 3a(a _b)注意：结果多项因式要化简，同时要分解彻底。2. B3. x(x - y) - y(y - x) = 12(x -y)(x y) =12x、y是正整数.12分解成 112，26，3 4又；x-y与x y奇偶性相同，且x_y =2x y =6J_x = 4y =2说明：求不定方程的整数解，经常运用因式分解来解决。4.证明：；