【KS5U解析】广东省佛山市禅城区第一中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

1、20192020学年上学期高三级期中考考试题理科数学第一部分 选择题一选择题1.已知，且与垂直，则实数的值为（ ）a. b. c. d. 1【答案】b【解析】【分析】由垂直关系推出数量积为0，化简可得，题中所给数据代入上式即可求出.【详解】与垂直，即，即故选：b【点睛】本题考查向量的数量积，两垂直向量的数量积为0，属于基础题.2.已知圆与直线相切，直线始终平分圆的面积，则圆方程为（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】计算出直线所过定点的坐标，由题意得出定点是圆的圆心，然后利用点到直线的距离公式计算出圆的半径长，即可得出圆的方程.【详解】在直线的方程中，令，则，则直线过定点.由于

2、直线始终平分圆的面积，则点是圆的圆心，又圆与直线相切，则圆的半径.因此，圆的方程为，即.故选d.【点睛】本题考查圆的方程的求解，同时也考查了直线过定点问题，求出圆的圆心坐标为解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.3.在中，角、所对的边分别为、，如果，则的形状是（ ）a. 等腰三角形b. 等腰直角三角形c. 等腰三角形或直角三角形d. 直角三角形【答案】c【解析】【分析】结合正弦定理和三角恒等变换及三角函数的诱导公式化简即可求得结果【详解】利用正弦定理得，化简得，即，则或，解得或故的形状是等腰三角形或直角三角形故选：c【点睛】本题考查根据正弦定理和三角恒等变化，三角函数的诱导公式化简求值，属

3、于中档题4.设，则的大小关系是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小.【详解】因为,令,函数图像如下图所示:则所以当时, ,即 ,则,所以,即综上可知, 故选:a【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.5.设函数且，则（ ）a. 2b. 3c. 2或3d. 3【答案】c【解析】【分析】对分类讨论，代入解析式，求出，即可得出结论.【详解】当时，解得，；当时，解得，所以或.故选:c.【点睛】本题考查分段函数求值问题，在解题中充分体现了分类讨论思

4、想、函数求值知识，属于基础题.6.已知圆o1和圆o2的半径分别为2和4，且|o1o2|8，若动圆m与圆o1内切，与圆o2外切，则动圆圆心m的轨迹是()a. 圆b. 椭圆c. 双曲线的一支d. 抛物线【答案】c【解析】设动圆m的半径为r，由题意得|mo1|r2，|mo2|r4，所以|mo2|mo1|6(常数)，且6<8|o1o2|，所以动圆圆心m的轨迹是以o1，o2为焦点的双曲线的一支故选c.7.已知双曲线c：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与c交于两点a，b，若线段ab的中点为(4，1)，则双曲线c的渐近线方程是a. 2x±y0b. x±2y0c. x&

5、#177;y0d. x±y0【答案】b【解析】【分析】先设出直线的方程为，联立，设，由线段ab的中点为，由此得出，从而能求出双曲线c的渐近线方程.【详解】设直线方程为，联立，消去y，得，设，因为线段ab的中点为，所以，解得，所以，所以，所以双曲线c的渐近线方程为，即，故选b.【点睛】该题所考查是有关双曲线的渐近线的方程的求解问题，涉及到的知识点有直线与双曲线的位置关系的综合题，对应的直线与双曲线相交的解题思路，以及中点坐标公式的应用，结合题中所给的中点坐标，求出，从而得到渐近线的方程.8.在中，角，所对应的边分别为，.已知，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由

6、题，先利用正切的和差角求得，可得，再利用余弦定理求得结果.【详解】由题，解得 所以 因为，由余弦定理 解得 故选c【点睛】本题考查了利用正余弦定理解三角形，属于基础题.9.已知函数，(，为常数，)的部分图象如图所示，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由已知轴交点的横坐标和最高点的横坐标，求出周期，进而求出，将点代入解析式，即可求解.【详解】设函数周期，则，时，函数取得最大值，代入得，.故选:d.【点睛】本题考查由函数的图像求参数，属于基础题.10.方程有三个不同的解，则m的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】令，求出至多存在两个值，使得与有

7、三个交点时，通过对求导分析函数特征，求出的范围，即为方程的解的范围，利用韦达定理结合零点存在性定理，即可求解.【详解】令，当，当，递增区间是，递减区间是，取得极大值为，也为最大值，当或时，方程有一个解，当时，方程有两个解，当时，方程没有实数解，方程有三个不同的解，则要有两个实数解，设为，必有一个根小于0，只需另一根在，设，解得.故选:b.【点睛】本题考查复合函数的零点，换元法是解题的关键，考查导数研究函数性质，以及零点存在性定理的应用，属于中档题.11.直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由直线过椭圆的左焦点

8、，得到左焦点为，且，再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得，所以，即椭圆的左焦点为，且 直线交轴于，所以，因为，所以，所以，又由点在椭圆上，得 由，可得，解得，所以，所以椭圆的离心率为.故选a.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：求出 ，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)12.已知函数，函数的最小值，则实数的最小值是（）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求得，先证明，可得当

9、时，单调递减，当时，单调递增，则，设，可证明在上单调递减，从而可得结果.详解】求得考察是否有零点，令，可得，记，,在上递减，在上递增，所以 ，即，因为,所以，故可知，当时，单调递减，当时，单调递增，从而由上知，设，记在上单调递减，的最小值为0.故选c.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的最值，属于难题.求函数最值步骤：(1) 求导数；(2)判断函数的单调性；(3)若函数单调递增函数或单调递减，利用单调性求最值；(4) 如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（5）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.第二部分 非选择题二填空题13.直线x0、直线ye

10、+1与曲线yex+1围成的图形的面积为_【答案】1【解析】【分析】如图所示：计算交点为计算积分得到面积.【详解】依题意，令e+1ex+1，得x1，所以直线x0，ye+1与曲线yex+1围成的区域的面积为s故答案为：1【点睛】本题考查了利用积分求面积，意在考查学生的计算能力.14.直线与抛物线相交于a，b两点，o为原点，则三角形aob面积为_【答案】【解析】【分析】设，直线过，将直线方程，与抛物线方程联立，由根与系数关系，即可求解.【详解】联立，消去得，设，,故答案为:.【点睛】本题考查三角形的面积，合理列出面积表达式是解题的关键，考查直线与圆锥曲线（抛物线）的位置关系，熟练掌握应用根与系数关系

11、设而不求方法，减少计算量，属于基础题.15.已知中，角abc所对应的边分别为abc，且，则面积最大值为_【答案】【解析】【分析】由余弦定理结合基本不等式，求出的最大值，即可求解.【详解】在中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，.故答案为:.【点睛】本题考查三角形面积的最值，要注意余弦定理的应用，考查基本不等式求最值，属于基础题.16.曲线c:与直线l:有4个交点，则k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对曲线方程分类讨论，化简解析式，直接判断曲线与直线交点情况，或转化为判断曲线方程与直线联立方程组解的情况，即可求解,【详解】曲线c:化简为即，或，所以曲线表示两题相交直线与双曲线，曲线与直线

12、由4个交点，所以与两直线有两个交点，只需，直线与双曲线有两个交点，联立消去得，方程有两个解须，解得且，所以所求的的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查曲线与直线的位置关系，解题的关键对曲线方程化简，用几何方法和代数方法求解直线与曲线的交点个数，属于基础题.三解答题17.的内角abc的对边分别为abc，若（1）求；（2）若，求的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知结合余弦定理，即可求解；（2）将已知等式化为，再由，结合余弦定理求出边，由（1）结论求出，即可求解.【详解】解:（1），（2）因为，所以，所以 又，由正弦定理，根据余弦定理，得，所以的面积为【点睛】本题考查应用正弦定

13、理边角互化，考查余弦定理解三角形，以及求解三角形面积，考查计算能力，属于基础题.18.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线（为参数），曲线（为参数）（1）若求曲线的普通方程，并说明它表示什么曲线；（2）曲线和曲线的交点记为、，求的最小值【答案】(1) 曲线的普通方程是它表示过，倾斜角为的直线.(2) 【解析】【分析】(1)将参数t消去得到一般方程，由参数方程可得到定点和斜率；（2）联立直线的参数方程和圆的一般方程，再由弦长公式得到结果.【详解】（1） （为参数）曲线的普通方程是它表示过，倾斜角为的直线.（2）曲线的普通方程为将代入中，得当时，最小【点睛】这个题目考查了直线的参数方程和一般

14、方程的互化，以及弦长公式，题目比较基础.19.已知函数(，)（1）当，时，解不等式；（2）若的最小值为1，求的最小值【答案】（1）（2）27【解析】【分析】（1）对分类讨论，去绝对值，转化为求一元一次不等式；（2）根据绝对值不等式的性质求出最小值，利用基本不等式，即可求出结论.【详解】解:（1）当，时当时，不等式化为，； 当时，不等式化为，明显成立；当时，不等式化为，；综上所述，不等式的解集为；（2），当且仅当时取等号 当且仅当，即时，的最小值为27【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，以及绝对值不等式性质的应用，考查“1”的代换，运用基本不等式求最值，属于中档题.20.已知椭圆e:()的左

15、右焦点分别是，离心率，点在椭圆e上（1）求椭圆e的方程；（2）如图，分别过作两条互相垂直弦ac与bd，求的最小值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由离心率求出关系，化简标准方程，将点代入方程，即可求解；（2）先考率两直线斜率为0或斜率不存在的情况，当两直线斜率存在且不等于0，设出直线方程，可以是点斜式（或轴截距式），与椭圆方程联立，求出相交弦长，进而得到关于斜率（或斜率倒数）的目标函数，转化求函数的最值，即可求解.【详解】解:（1）由已知，将点代入得，椭圆e方程为: （2）解法一:由已知，当轴或轴上时，或，当直线斜率存在且不为0时，设直线ac方程为:联立得:设，则，由椭圆对称性，以代换

16、上式中的k得:，思路一:，当且仅当即时，取“=” 而，有最小值思路二:设，则，当且仅当，即时，有最小值 而，有最小值解法二:由已知，设直线ac:联立得:设，则，由椭圆对称性，以代换上式中的得:思路一，当且仅当即时，取“=”，有最小值思路二:设则当且仅当，即时，有最小值有最小值【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，要熟练掌握求相交弦长方法，考查最值问题，先求出“目标函数”，根据函数的性质特征，可以考虑用基本不等式、换元法转化为熟悉函数、用函数的单调性等等，属于较难题.21.如图，已知抛物线c:()的焦点f到直线的距离为ab是过抛物线c焦点f的动弦，o是坐标原点，过a，b两点分

17、别作此抛物线的切线，两切线相交于点p（1）求证:（2）若动弦ab不经过点，直线ab与准线l相交于点n，记ma，mb，mn的斜率分别为，问:是否存在常数，使得在弦ab运动时恒成立?若存在，求的值；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析 （2）存在，-1【解析】【分析】（1）根据已知求出抛物线方程，要证，只需证明，设，利用求导方法求出切线斜率，设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数关系，即可得证；（2）设直线，求出点坐标，求出，利用关系，用表示，代入，判断是否存在使得时等式均成立，即可得出结论.【详解】（1）()由已知，故抛物线方程为依题意，设直线ab方程为()联立得:设，（2）将代入得，若有成立，则有整理得恒成立，.故存在成立【点睛】本题考查抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系，考查导数的几何意义的应用，考查恒成立问题，属于中档题.22.已知函数是自然对数的底数 ）.（1）当是，求证： ；（2）若函数有两个零点，求的取值范围.【答案】（）见解析;（）【解析】【分析】(1) 当时，令.根据函数的单调性,求得函数的最大值,利用基本不等式的性质,即可求证；(2) 由题意可知:要使函数有两个零点，则需在上有唯一极大值点,且, 则, 构造辅助函数,求导,根据函数单调性即可求得，可得取值范围.【详