概率论与数理统计习题及答案

1、概率论与数理统计习题及答案第八章1.设 x,x2 0 和显著性水平 a(Ovavl),试求假设 Ho的力 2 检验统计量及否泄域.解H0.A选统计量 Z2= 24 乙=24 nX则 F*(2)，对于给泄的显著性水平 a ,查力 2 分布表求出临界值力：(2“)， 使P(F (2n) = a因 F才，所以(Z2Z；(2/Z)(Z2Z；(2Z2),从而a= P/2 Z(2n)J P/2(2/i)可见 H0:2的否定域为X2nZa(2w).2.某种零件的尺寸方差为 0*2 =1.21,对一批这类零件检査 6 件得尺寸数 据(亳米)：.。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是亳米(a

2、= O.O5).解 问题是在/已知的条件下检验假设禺:/ = 32.50H。的否定域为 1“ 1%2“0025 = 1 96,因 1“ 1=6.771.96,所以否建仏，即不能认为平均尺寸是亳米。3.设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为 b = 100,今抽了一个容 量为 26 的样本，计算平均值 1580,问在显著性水平 d = 0.05 下，能否认为这批产品的指标的期望值“不低于 1600。解 问题是在 er?已知的条件下检验假设70：/1600 仏的否定域为 -1.64 =如。 5,所以接受即可以认为这批产品的指 标的期望值“不低于 1600.4. 一种元件，要求其使用寿命不低于 1

3、000 小时，现在从这批元件中任取 25件，测得其寿命平均值为 950 小时，已知该元件寿命服从标准差为 b = 100 小 时的正态分布，问这批元件是否合格( = 0.05)解 设元件寿命为 X,则 XN(，lOO：),问题是检验假设 :/1000.的否定域为 u -u0()5，其中X-1000 导 950-1000 = c =u =-J25 =-x 5 = -2.5b100% = 1 64因为u= -2.5 -1.64 = z/005所以否定即元件不合格.5.某批矿砂的 5 个样品中線含量经测左为 X(%):3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24设测定值服从正态分布，问能

4、否认为这批矿砂的银含量为 3.25(a = 0.01)解 问题是在/未知的条件下检验假设 :“ = 3.25H。的否定域为1/1心 2_15X =3.252, W=_（工5x 乂 2） = 0.00017,5=0.01340.005 =4 641J-3.25 /3-252-3-25X2.24 = 0.345S0.013因为I0.345 :/ = 100(的否左域为ttaf2(S).其中_X-100f-99.98-100 ct =-V9 =-x3 = -0.05S1.21仏 = 2.306因为I r 1= 0.05 21.(2)选垂统计量 r 并计算其值：X21 厂 20 21八小八t =-y/

5、n =-= -0.20S20.485(3)对于给世的7 = 0.025 査 f 分布表求出临界值)=匕必(16) = 2.2 （4）因为-心必（16） = -2 20-0 20 = /。所以接受即认为维生素含 量合格.&某种合金弦的抗拉强度 X N（“，/）,由过去的经验知“10560（公 斤/厘米 2）,今用新工艺生产了一批弦线，随机取 10 根作抗拉试验，测得数据如 下：10512, 10623, 10668, 10554, 10776,10707, 10557, 10581, 10666, 10670.问这批弦笔的抗拉强度是否提高了（a = 0.05）解 X =10631.4,

6、51 2 3 4= 6558.89, 5=80.99,九=10 问题是检验假 设 : /10560（1）Ho: “ 10560.（2）选统计量并计算其值.=2.772（3）对于 a = 0.05,查/分布表，得临界值/（9）=心 05（9） = 1 833.（4）因 r005（9） = 1.8332.772 = /,故否定九 即认为抗拉强度提高了。9从一批轴料中取 15 件测量其椭圆度，计算得 5 = 0.025,问该批轴料椭 圆度1: er2= crj = 0.0004.2选统 il-Mz2并计算其值2 _ （/?-1）52_ 14x0.00065 Xy =- =-= 2 厶 /、b：0.0

7、0043对于给泄的 a = 0.05,査力 2 分布表得临界值力 2（14）=兀 25（14）= 26.119, Z1ta/2（14）=Z；975（14） = 5.629.4因为加$75 =5.629 22.75 = *力為 =26.119 所以接受，即总 体方差与规定的 R = 0.0004 无显著差异。10.从一批保险丝中抽取 10 根试验英熔化时间，结果为X -10560Sy/n =10631.4-1056080.99x/10的总体方差与规左的72= 0.0004 有无显著差别（a = 0 05,椭圆度服从 正态分布）。解 S = 0.025, S2=0.00065. n = 15,问题

8、是检验假设:a2=0.0004.42, 65, 75, 7&71.59, 57, 6& 54, 55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于 80(a = 0.05,熔化时间服 从正态分屯).解X =62.4 , S? = 121.82, n = 10，问题是检验假设/70:CT280 W0:(r280 = (7；选统计量力？并汁算托值(=9xl2L82=i37()5Zb：80对于给泄的 a = 0.05,査分布表得临界值 加(-1)=总= 16.919.(4)因/2= 13.705 16.919 = /；()5，故接受,即可以认为方差不大于 80。11.对两种羊毛织品进

9、行强度试验，所得结果如下第一种 13& 127, 134, 125；第二种 134, 137, 135, 140, 130, 134.问是否一种羊毛较另一种好设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(a=0.05)解 设第一.二种织品的强度分别为 X 和丫，则X Y Ngb 冷X = 131,=36.667,nx=4F = 135, S；=35.2,n2=6问题是检验假设Ho: /,=他H。: “ =“2(2)选统计量 T 并计算其值.= -1.295(3)对于给定的 a = O.O5,査/分布表得临界值心 2(厲+公一 2)=仏 5=2 3069 (1)(2)(3)I _Vli

10、+n2131-13513x36.667 + 5x35.2V 4+62(坷1)S+(n2-1)Snx+ n2一 2(4)因为 1/1= 1.295 c 2.3069 = /O25， 所以接受假设， 即不能说一种羊 毛较另一种好。12. 在 20 块条件相同的上地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块上地, 其产量(公斤)分别为旧品种，/ / / / /新品种/ /, / / / / / /设这两个样本相互独立，并都来自正态总体(方差相等)，问新品种的产量是否 高于旧品种( 购X =79.43,S； =2.2246,厲=107 = 76.23, Sf =3.3245,= 10选统计量T并计算其值：_

11、丁 =_无_卩_pt；/?,(/?)+n2-2)一 79.43-76.23呼7(2.2246 + 3.3245)x9 V 20对给定的 a=0.01,查 f 分布表得临界值-(18) = /0.01(18) = 2.5524.因为T =4.2956 -2.5524 = -r001(18)故接受,即新品种高于旧品种.13. 两台机床加工同一种零件，分别取 6 个和 9 个零件，量其长度得 0.345, S；= 0.357,假圧零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异(a = 0.05)解 S；= 0.345,厲=6,S； = 0.357,n2=9问题是检验假设H。:

12、 b： = b；选统计量尸并计算其值厂 S.20.345 c F = Y=-= 0.96645；0.357对给定的 a = 0.05 査 F 分布表得临界值你/2(5,8)=九血(5,8) = 4.65 , 佗邓(5,8)=鸟= 0.1479.O./O因 佗.975(5,8) = 0.1479 0.9664= F4.65 = (5,8)故接受Ho,即 无显著差异.13.甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测 得直径(单位：mm)为甲：，；乙* /问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异(a = 0.05,产品直径服从正态分 布。)解 设甲加工的直径为 X,乙为 Y. XY

13、N(址,屍).X= 19.925, S；= 0.2164,nA=8F = 20,5； =0.3967,n2=l问题是检验假设H选统 ilMF 并计算英值对于给左的= 0.05,査 F 分布表得临界值你/2(7,6)=佗皿(7,6) = 5 70, 尺朗 5 (7,6)= 丁吕=0.1953因 975(7,6) = 0.1953 0.5455= F/)025(7,6) = 5.70 .故接受,即 精度无显著差异.F_S|_ 0.2164S? 0.3967=0.5455 14. 一颗骰子掷了 120 次，得下列结果:2出现次数232621201515问骰子是否匀称（Q= 0 05）解 用 X 表示

14、掷一次骰子出现的点数，其可能值为 1, 2, 3, 4, 5, 6。问 题是检验假设p =P（X=i） = L,7 = 1,2,6这里k = 6. pi0= -9n = 120.6 6饰 0=20, 4 =i故2 = 歹（耳一帕“-_（耳 _20）一 _ 96 _彳$_台臥台2020 査 F 分布表，得临界值加伙-1）=加。5=11 071 因为八 4.8 ,即骰子匀称。15.从一批滚珠中随机抽取 50 个，测得它们的直径（单位：mm）为(/是否可以认为这批钢珠的直径服从正态分布（a = 0 05）解 数甥中最小的为，最大者为，设 = 14.05, /? = 16.15,欲把 0 上分必=14

15、.35, y2=14.65,儿=14.95, y4= 15.25, y5=15.55, y6= 15.85.它们 把实数轴分成七个不相交的区间，样本值分成了七组:I,-1 X?n1-co-14.353214.35 14.655314.65 14.9510Y414.95 15.2516515.25-15.558615.55-15.856715.85乜2设钢珠的直径为 X,其分布函数为我们的问题是检验假设: =其中“，肝未知.在仏成立之下，“和，的极大似然估计为“=兄=15,11 _=_（x一只）2 = 0.1849, CT = 0.43.在上面的表中第 1 组和第 7 组的频数过小，把它们并入相

16、邻的组内，即分成 5 组，分点为人=14.65 ,t2= 14.95 心=15.25 ,t4= 15.55 =1 一(0 35) 0 1492 = 0 214成七个（相等的）区间，则区间长度（组距）为16.15 14.05= 0.3 得分点Pi = ) = 14.65 15)=1 一(1.04) = 0.1492p2=F(r2)-F(rI) = D(= (0.35) 0.3632 = 0.2736p3= F(t3)-F(t2) = (15.25 15)-0.3632“、 l/、Az15.55 15.L 几=Fg) - F(r3)=取一)-= 0)(1.04)-0.6368 = 0.218统计量

17、八尹匸血“的值讣算如下表:1也Piq 叨(q -叨)218121031614858Z50J1500即 Z2= 1.24997 ,对于a= 0.05 査才分布表得临界值加=总(2) = 5.991. 因 Z2=1.24997 5.991 = /(；05(2),故接受仏， 即认为钢珠直径服从正 态分布 N(15 丄 0.1849)/-Ii316. 设 A =(厂，一)，心 1,2,3，比=(亍 2),假设随机变量 X 在222(0, 2)上是均匀分布的，今对 X 进行 100 次独立观察，发现其值落入 A(i = l,2,3,4)的频数分别为 30, 20, 36, 14,问均匀分布的假设，在显著

18、性 水平为下是否可信。p5= l-F(r4) = l-0(15.55 15.1) = 0.1452解 检验假设：H:X U0, 2检验计算表如下:1Pi4 _昭（q -昭）2明1301425512201425-513361425114141425-111X10011000统计量力 2=工(二冬)=11.6&z2-Z2(4-l)7.815 =Z；O5(3)所以不接受即不能相信 Xt/0,2习题九1. 一批由同样原料织成的布， 用五种不同的染整工艺处理， 然后进行缩水 试验，设每种工艺处理 4 块布样，测得缩水率的结果如下表布样号缩水率A4J4As1234间不同的工艺对布的缩水率是否有显著

19、的影响(a = 0.01)解m= 5, q =n2=n3= n4= n5=4, /? = 20 ,查附表 5 得.01 (加一 1，11一m)=佗.0 (4, 15) = 4.89 序号AAA4z1-1P = _LX(147.9)220= 1093.720 = 1149.25/? = 1170.92Se=R-Q= 21.67S.LQ-P11234A(% v 工 X.方差来源平方和自由度均方Ffl*LT艺误差1415 总和191因为 9.60954.89,所以工艺对缩水率有显著影响.2.灯泡厂用 4 种不同配料方案制成的灯丝生产了四批灯泡，今从中分别抽 样进行使用寿命的试验，得到下表的结果(单位

20、：小时)，问这几种配料方案对 使用寿命有无显著影响(a = 0 01)试验号寿命A%血人16001850146015101231640155015201610164016001530165016201570456168017001640160017001750168017201660/8180017401820解m= 4,n= 7,n2= 5, = & 一 = = 26 ,查附表 5 得尺.o(/n_l,n-m) = FQM(3.22) = 4.82为简化计算从上表的试验结果中都减去 1600 再除以 10 得下表序号、AA2XJ=1A025-14X114一 5一 9240-83456

21、75810122010152461422-7 一 308)叫工Xjj1J565829-191240丫工XijI7-1）31363364841361448%417349829572642937P = _L（124）2=591.385, 0 = 1286.092,R =2937S；=/?-0 = 1650.908,=16.509100S；=Q_P =694.707 , S 厂需 S； = 6.947方差分析表方差来源平方和自由度均方F 值配料误差322总和251因为F = 38v4 82 = &(”(3, 22),故不显著.3.在单因素试验方差分析模型式()中，M 是未知参数 0 = 1,

22、2,.，加)， 求的点估计和区间估计.解 因为X, Ngr2),所以“的点估计为&=Xm，m 由定理知,/，才（一加）,再由定理知X,与叫_S：= 工（X“-X .）2 相互独立，又由 X “独立，知 X.与 s；,s；,s：独ni一 1J-Inr立，从而鼻=工（厲1）S：与 X.独立，又f-1（E）眉N（O,1）b由/分布的怎义知其中 Sr= S” /（n - m）对于给泄的查/分布表求出临界值ta/2（n-m）.使4.在单因素试验方差分析模型式（）中，CT2是未知参数，试证=丄一n一m是 b?的无偏估计，且 b?的 1-a 下的置信区间为、/爲 一?） ZL/2（-）在上式括号内将

23、“暴館出来得“在宜信度 1-仪下的置信区间 X, _tai2 （,1加）J#，Xj. + ta/1（n-m）2C证：因为Se/a2/2（n-m）,所以E0 心）= n-m,即ESr=（-7）b于是是 b的无偏估计;n一m因为 S?心 x2n-m)所以对于给泄的& ,査才分布表求岀临界值 z；/2(zz-/n)和力莒/2(-加) 使得P(/Ia/2( 一加)|T 力；2(” 一加)=1 _ a式中将旷 2 暴露出来得scr2(),而力0, C0 所以 a 肉是Q(a,b)的极小点, 而 Q(d)存在最小值，故 a &能使Q(a,b)达到最小值.6.利用泄理证明，在假设H :b =

24、0 成立的条件下，统计量ZKt =疋 心-2)并利用它检验中例 1 所得的回归方程的显著性(a = 0.01)证：因为iN(A )所以 UjZ：N(0, 1)L“b1 G/爲 2-丿s,r 力爲-加）证毕在H：b=o 成立的条件下-JZT-m i)又(“VSa2才(一 2)由/分布的泄义知t =b =/_ 2) 咤-2)证毕今利用/统讣量检验回归方程的显著性.t = JLKX=7 &二-76.056 =6.133S 7Jl 18.734对于给泄的 a = 0.01 查/分布表得临界值 r00,(10) = 2.7638.因为 f = 6.133 2.738 =血(10),所以回归方程显

25、著.并利用这个公式求中例 1 的回归系数方的置信区间(置信度为)解由泄理知=底心-2)对于给世的& ,查 f 分布表求出临界值ta/2(n-2),使b b IP-心 2( - 2) VJta/2(n-2)= l-a在上式的大括号内，将眾爾出来得八3PH兀故”的宜信度为 1-Q 下的置信区间为7.利用左理证明回归系数的宜信区间为b 5 = 10.897 Lu= 6.056仏 5（1）= 2 228 所以方的置信度为下的置信区间为（17.291, 37.021）&在钢线碳含 Mx（%）对于电阻 y（20C 时，微欧）效应的研究中，得到以 下的数据（1518192126y设对于给立的

26、 X, y 为正态变量，且方差与 x 无关.（1）求线性回归方程y = a+bx-f（2）检验回归方程的显著性：（3）求“的置信区间（巻信度为）；（4）求，在 x = 0.50 处的置信度为的预测区间.解我们用下表进行计算序号Xy2:T115225118324219I3213614441561726676Z平均J = 0.543, V = 20.77b ta/2（n 2）=、方+心 2（川_2）证毕在例 1 中x； 一 7x2= 2.595 一 2.064 = 0.531，y-7y2=3104.2-3019.75 = 84.45,h一 7 帀=85.61-78.947 =6.663,(1) =

27、 = 12.55, o = y-忘= 13.95, Au所以回归方程为y = 13.95 +12.55x(2)我们用方差分析表来检验回归方程的显著性方差分析表方差来源平方和自由度均方F 值回归(7=83.621U= 83.62 = 503.61Q剩余2 = 0.8315(2 = 0.166总和=84.456)八一O其中U =bL“ Q = L、U、Q = -H-2査F分布表求岀临界值佗小(1,5) = 16.62 因为F= 503.61 16.62 =F()01(1,5),所以回归方程高度显著.(3)由第 7 题知，b 的置信度为 1a 下的置信区间为八SS |b a/2 (“ 2)1，b +

28、 ta/2(n 2)I KKJ此处b= 12.55, n = 7,a= 0.05,心血(5) = 2.5706,S2=(Lyy-bL/(一 2) = 066所以方的置信度为下的宜信区间为(，)7工77工r-17工= = xr* Q, L L L(4) ”7,X =0.53,=0.531, y = 0.407, roa25(5) = 2.5706, x0=0.50.儿=13.95 +12.55 x 0.5 = 20.225故 y 在 x = 0.50 处的置信度为的置信区间为（儿一负 0 5）,儿+5（0.5） = （19.105, 21.345）9.在硝酸钠（NuNO.）的溶解度试验中，对不同

29、的温度广 C 测得溶解于100ml 水中的硝酸钠质量 Y 的观测值如下：fi04?15212936516810X.从理论知丫与 f 满足线性回归模型式（）（D 求丫对/的回归方程：（2）检验回归方程的显著性（a = 0.01）； 厂6 X10002416284A1010076332251209415t4415216298417361296185126019684624Z23410144j)S1+丄+（兀-才7 = 26, y=90.2厶,=工 一 9 厂=10144 - 6084 = 4060,j-i9厶 v = D X 一叮=24646.6-21106.8 = 3539.8z/-19L、=工

30、 y； 一 9 于=76317.82-73224.36 = 3093.46 r-Ji = = 0.87187, a = y 方= 67.5313,A；S2=(厶、.-L,v)/7 = 1.0307,5 = 1.0152(1)丫对 f 的回归方程为y = 67.5313+ 0.87187/；(2)方差分析表如下方差来源T：方和1自由度均方F 值回归13086.25剩余71.03总和8査 F 分布表求出临界值佗血(1, 7) = 12.25因 F = 2996.36 12.25 =佗(”(1, 7),故方程高度显著.(3) 儿=67.5313 + 0.87187x25 = 89.3281 3(25)=心 2(-2)xSxJl + * +遥工=2.3646x1.0152x1.05 = 2.53丫在/ = 25 C 时的置信度为下的预测区间为(儿-5(25),儿 +5(25) = (86.79, 91.85).10.某种合金的抗拉强度丫与钢中含碳量 x 满足线性回归模型式 （） 今实 测了92 组数据 a ,升）（i = 1,2,92）并算得元=0255, y = 45.7989, 乂= 0.301 & 厶=2941.0339, 4, = 26.5097（1