梯形常中的辅助线

1、梯形中的辅助线常见的梯形辅助线规律口诀为:梯形问题巧转化，变为和;要想尽快解决好,添加辅助线最重要;平移两腰作出高,延长两腰也是关键;记着平移对角线,上下底和差就出现;如果出现腰中点，过中点旋转成全等;灵活添加辅助线,帮你度过梯形难关;想要易解梯形题,还得注意特题特解;注意梯形割与补,巧变成为和.基本图形如下:一 平移腰1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形转化为一个三角形和一个平行四边形。例1：梯形两底长分别为14cm和24cm，下底与腰的夹角分别是60°和30°，求较短腰长。解析：如图，在梯形ABCD中，AD/BC，AD=14cm，BC=24cm，B=60

2、°，C=30°。过点A作AE/DC交BC于E，得到平行四边形AECD和ABE，故AE=DC，AD=EC，C=AEB=30°。这样，梯形的两腰，两底之差，下底与腰的两个夹角都集中于RtABE中，于是得到较短腰巩固练习：如图1，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范围。析解：过点B作BM/AD交CD于点M，则梯形ABCD转化为BCM和平行四边形ABMD。在BCM中，BM=AD=4，CM=CDDM=CDAB=83=5，所以BC的取值范围是：54<BC<54，即1<BC<9。2.平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，

3、过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例2：如图，梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EFBC。 求证：B=C。C分析：过点E作EM/AB，EN/DC，分别交BC于点M、N。梯形两腰、下底与腰的两个夹角集中于EMN中，由E、F分别是AD、BC的中点轻易得到，又由EFBC，得EM=EN，故EMN=ENM，所以B=C。MFNC巩固练习：如图2，在梯形ABCD中，AD/BC，BC=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。图2析解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H，可得EGHEHG=BC=90

4、6;则EGH是直角三角形因为E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点 所以EF=121212GH=12(BC-BG-CH) 12=(BC-AE-DE)=(BC-AD)=12BC-(AE+DE) (3-1)=1二 有关对角线的辅助线1、平移对角线：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将已知条件转化到一个三角形中。 例3：已知梯形ABCD中，AD/BC，AB=DC，对角线AC、BD互相垂直，梯形的两底之和为8。求梯形的高与面积。解析：过点D作DE/AC交BC的延长线于点E，过点D作DMBC于点M，这样得到平行四边形ACED，所以AC=DE，AD=CE。由ACBD，得BDDE。这样将两对角

5、线，两底和，两对角线夹角集中于BDE中。轻易得到DM为等腰直角BDE的BE边上的高，所以，即梯形的高为4。巩固练习：1).如图3，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，AD=3，BC=7，BD=52，求证：ACBD。图3析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E，易得四边形BCED是平行四边形所以AE=ADDE=ADBC=37=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD=52，所以在ACE中，AC2+CE2=(52)+(52)=100=AE，从而ACCE，于是ACBD。 2222).如图4，在梯形ABCD中，AD/BC，AC=15cm，BD=20cm，高BH=12cm，求梯形ABCD的面积。图4析

6、解：过点D作DE/AC，交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即SABD=SACD=SDCE。所以S梯形ABCD=SDBE由勾股定理得EH=DE2-DH2=AC2-DH2=152-122=9（cm）BH=BD2-DH2=202-122=16（cm）所以SDBE=12BEDH=122 (9+16)12=150(cm)，即梯形ABCD的面积是150cm。22、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。如图6，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE。三 有关两底的辅助线1、移底例4：如图，梯形ABCD中，AB/CD，E为腰AD的中点，

7、且AB+CD=BC。求证：BECE。DC分析：延长CE交BA的延长线于点F，因为点E为AD的中点，可得DCEAFE，故CE=FE，CD=AF，由AB+CD=BC，得BC=BF，故BECE。AC四 有关高的辅助线1、作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形。例5如图7，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90°，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E，求证：四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形。例6如图8，在梯形ABCD中，AD为上底

8、，AB>CD，求证：BD>AC。析证：作AEBC于E，作DFBC于F，则易知AE=DF。在RtABE和RtDCF中，因为AB>CD，AE=DF。所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。在RtBDF和RtCAE中由勾股定理得BD>AC巩固练习：如图，在梯形ABCD中，AB/CD，两条对角线AC=20cm，BD=15cm，梯形高为12cm，求梯形ABCD的面积。CC解析：此题有两种解法。法一：如图6，分别过点C、D作CEAB于点E，DFAB于点F，得矩形DCEF，在RtACE中，AC=20cm，CE=12cm，可得AE=16cm。同理BF=9cm，显然BF+A

9、E=AB+CD=25，可求梯形面积为。DC如图6法二：如图7，过点D作DE/CA交BA的延长线于点E，过点D作DFBA于点F，在RtDEF中，DE=AC=20cm，DF=12cm，由勾股定理可得EF=16cm。同理，FB=9cm，所以AB+CD=AB+AE=EF+FB=25，进而求得梯形面积为C如图7五、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例7 如图5，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50°，C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长。图5析解：延长BA、CD交于点E。在BCE中，B=50°，C=80°。所以E=50°，从而BC=

10、EC=5同理可得AD=ED=2所以CD=ECED=52=3六、作中位线1、已知梯形一腰中点，作梯形的中位线。例8如图9，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90°，求证：ABCD=AD。图9析解：连结BD，由AD/BC，得ADB=DBE；由BC=CD，得DBC=BDC。所以ADB=BDE。又BAD=DEB=90°，BD=BD，所以RtBADRtBED，得AD=DE。2、已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线。例9如图10，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）E

11、F/AD；（2）EF=12(BC-AD)。图10析证：过点D作DGAB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BG。 因为AB=2DC，所以AG=GB。从而DA=DB，于是DAB=DBA。又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。七.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时,可以特题特解,结合具体问题中的具体条件,寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转、利用一腰中点旋转、将梯形补成平行四边形或三角形问题.【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD 中,N分别是BD 、AC 的中点.求证：. M、证明：连结并延长 ,交 于E.则 .又N是AC的中点, ,故取一腰的中点,连结顶点和

12、这个中点并延长与对边的延长线相交,可得两个全等三角形【例10】.如图,梯形为 中点,求证： 中, , 、 分别平分 和 , 分析：要证明与 的延长线交于 ,再证明 ,可以利用 ,即可 为 中点,延长,得到证明：延长 、 交于点 F,显然 , .又 , , , 是线段 的垂直平分线 , .评注：添加辅助线后,沟通了得出 、 与 的联系,由线段垂直平分线性质 ,从而问题获得解决 利用一腰中点旋转【例11】.已知：如图,在梯形点.求证：. 中, 是CD的中证明：延长AE、BC相交于点F.易证. , , 即 .BE是等腰 底边上的高. .说明：在图5中,中, 是由 相当于由 绕点E旋转 绕点E旋转 得到. 得到；在图6【例12】.如图,梯形 中, , 为腰 的中点,求证：.分析： 与梯形ABCD的面积关系不明显,如果利用梯形助特点把它补成如图7的平行四边形,它们之间的关系就清晰了梯形补成平行四边形,各种关系明显、直观,解题思路清晰 证明：延长 ,使 ,延长 ,使 ；则, 与 ,则四边形 交于点 . 是平行四边形 为 的中点,连结连结