2.3.1函数地单调性1

1、实用标准文案课题：2.3.1函数的单调性1教学目的：（ 1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（ 2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（ 3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点： 函数的单调性的概念；教学难点： 利用函数单调的定义证明具体函数的单调性授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义

2、域、不等式、 比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及； 同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势， 所以在教学中要充分利

3、用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数yx3 的图象进行了删除，教学中始终以y3x2、 yx2 、 y1 等函数为例子进行讨论研究x教学过程 ：一、复习引入： 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法. 为了研究函数的性质，精彩文档实用标准文案y我们按照列表、 描点、连线等步骤先分别画函数yx2和 yx3yyx 2y x3的图象 . y x2 的图象如图1， y x3 的图象如图2.x 引入：从函数 y x2的图象（图 1）看到：图

4、1x图 2图象在 y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间 0 ，+) 上取值时，随着 x 的增大 , 相应的 y 值也随着增大，即如果取x1 ,x2 0， +) ，得到y1 = f ( x1 ) , y2 = f (x2 ) , 那么当 x1< x2 时，有 y1 < y2 .这时我们就说函数y = f ( x) = x2在 0,+) 上是增函数 .图象在 y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当 x 在区间（ -， 0）上取值时，随着x 的增大，相应的 y 值反而随着减小，即如果取x1 , x2 （ - ，0），得到yf (x)f (x2 )f ( x1 )x1yx2x图

5、 3f ( x)y1 = f ( x1 ) , y2 = f (x2 ) , 那么当 x1< x2 时，有 y1 > y2 .这时我们就说函数y = f ( x) = x2 在 (-,0) 上是减函数 .f ( x1 )f (x2 )函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.x1x2 x二、讲解新课：图 4 增函数与减函数定义：对于函数f ( x) 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x1 , x2 ，若当 x1 < x2 时，都有 f ( x1 ) < f ( x2 ) , 则说 f ( x) 在这个区间上是 增函数（如图 3）；若当 x1 < x2

6、时，都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则说 f (x) 在这个区间上是减函数 （如图 4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的. 有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数. 例如函数yx 2 （图精彩文档实用标准文案1），当 x 0,+) 时是增函数，当x (-,0) 时是减函数 . 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数f ( x) 在这一区间具有（严格的）单调性 ，这一区间叫做函数f ( x) 的单调区间 . 此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下

7、降的说明：函数的单调区间是其定义域的子集；应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在 x1 , x2 那样的特定位置上，虽然使得f (x1 ) > f ( x2 ) ，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上.yf ( x)f ( x1 )f ( x2 )x1x2x图 5述的定义，只要将上述定义中的“f ( x1 ) < f ( x2 ) 或 f ( x1 ) > f ( x2 ) , ”改为“ f ( x1 )f ( x2 ) 或 f ( x1 )f (x2

8、 ) , ”即可；定义的内涵与外延：内涵 是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延 一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例 1如图 6 是定义在闭区间 -5 ，5 上y的函数 yf ( x) 的图象，根据图象说出y f (x) 的单调区间，以及在每一单调区-5-2O135 x精彩文档实用标准文案间上，函数yf ( x)是增函数还是减函数.解：函数 yf (x) 的单调区间有 -5 ， -2) ， -2 ， 1) ， 1 ， 3)

9、 ， 3 ，5 ，其中 yf (x) 在区间 -5 ， -2) ， 1 ， 3) 上是减函数，在区间 -2 ， 1) ， 3 ， 5上是增函数 .说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时， 包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例 2 证明函数f (x)3x2 在 R上是增函数 .证明 ：设 x1 , x2 是 R 上的

10、任意两个实数，且x1 < x2 ，则f (x1 ) f ( x2 ) =(3 x1 +2)-(3 x2 +2)=3( x1 x2 ),由 x1 < x2x, 得 x1 x2 <0 ,于是 f ( x1 ) f (x2 ) <0, 即 f (x1 ) < f (x2 ) . f ( x)3x2 在 R上是增函数 .例 3 证明函数 f (x)1) 上是减函数 .在 (0,+x证明：设 x1 , x2是 (0,+) 上的任意两个实数，且x1 < x2 ，11x2 x1,则 f (x1 ) f ( x2 ) =x1 x2x1x2由 x1 , x2 (0,+) ，得

11、 x1 x2 >0,又由 x1< x2 , 得 x2 x1>0 , 于是 f (x1 ) f ( x2 ) >0, 即 f (x1 ) >f ( x2 )精彩文档实用标准文案 f (x)1 在 (0,+) 上是减函数 .x例 4讨论函数f(x)x223 在 (-2,2)内的单调性 .ax解： f(x)x22ax3(x-a)23a2 ，对称轴 xa若 a2 ,则23f(x)xax在(-2,2)内是增函数；2若2a2则 f(x)x22ax3 在 (-2,a)内是减函数 , 在 a,2内是增函数若 a2 , 则 f(x)x22ax3 在 (-2,2)内是减函数 .四、练

12、习：1：课本P59 练习： 1， 2答案： f ( x) 的单调区间有 -2,-1，-1,0，0,1，1,2 ； f ( x) 在区间-2,-1，0,1上是增函数，在区间-1,0， 1,2上是减函数 .g(x) 的单调区间有-,-， -, ， , ； g ( x) 在区间2222-,- ， 2，上是减函数，在区间-， 上是增函数 .222说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2 判断函数f ( x)3x2 在 R上是增函数还是减函数？并证明你的结论.解：设 x1, x2 R，且 x1

13、 < x2 ， f (x1 ) f ( x2 ) =(-3 x1+2)-(-3x2 +2)=3( x2 - x1 ),又 x1 < x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) >0, 即f ( x1 ) >f (x2 ) . f (x)3x2 在 R 上是减函数 .精彩文档实用标准文案3 判断函数 f ( x) = 1在 (-,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论.x解：设 x1, x2 (-， 0) ，且 x1 < x2 ， f (x1 ) f ( x2 ) =11x2 x1=x2 x1,x1=x1 x2x1 x2x2由 x1 , x2 (- ， 0) ，得

14、 x1 x2 >0,又由 x1< x2 , 得 x2 x1>0 , 于是 f (x1 ) f ( x2 ) >0, 即f ( x1 ) >f (x2 ) . f ( x) = 1 在 (0,+) 上是减函数 .x能否说函数f ( x) =1 在 (- ， + ) 上是减函数？x答：不能 .因为 x =0 不属于f ( x) =1 的定义域 .x说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 判断函数f ( x)kxb 在 R 上的单调性，并说明理由. 课本 P60 练习： 4.

15、解：设 x1 , x2 R，且 x1 < x2 ,则 f (x1 ) f ( x2 ) =(k x1 +b)-(k x2 +b)=k( x1 - x2 ).若 k>0，又 x1 < x2 , f ( x1 ) f (x2 ) <0, 即f (x1 ) < f (x2 ). f ( x)kxb 在 R 上是增函数 .若 k<0，又 x1 < x2 , f ( x1 ) f (x2 ) >0, 即f (x1 ) >f ( x2 ) . f (x)kxb 在 R上是减函数 .精彩文档实用标准文案设 x1, x2 (0,+ ) ，且 x1 <

16、 x2， f (x1 ) f ( x2 ) =( x12+1)-( x22+1)= x12- x22=( x1 + x2 ) ( x1- x2 ) 0< x1 < x2 , x1 + x2 >0， x1 - x2 <0， f (x1 ) f ( x2 ) <0, 即 f ( x1 ) < f (x2 ) ， f ( x) = x 2+1 在(0,+) 上是增函数 .五、小结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行, 即函数的单调区间是其定义域的子集 , 因此讨论函数的单调性, 必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：设x1 , x2 是给定区

17、间内的任意两个值，且 x< x；作差 f ( x ) f (x) ，并将此差式变形（要注意变形1212的程度）；判断 f (x1 ) f ( x2 ) 的正负（要注意说理的充分性） ；根据 f ( x1 ) f (x2 ) 的符号确定其增减性 .六、课后作业 ：课本第60 习题 2.3 ：1，2， 32补充： f ( x) =x51是以 (5 ,1) 为顶点、 对称轴平行于y 轴、2424开口向上的抛物线（如图）; 它的单调区间是(-, 5与5 ,+); 它在(-, 5 上是减函数，在 5 ,+22) 上是增函数 .22证明：设 x1 < x25 , 则y2f (x1 ) f (

18、x2 ) = x12 - x2 2 -5( x1 - x2 )=( x1 + x2 -5) ( x1 - x2 )x第4（1）题5yx2 <5， x1 - x2 <0， x1 < x2, x1 +2精彩文档x第4（2）题实用标准文案 f (x1 ) f ( x2 ) >0, 即f ( x1 ) >f ( x2 ) . f ( x) = x 2 -5 x +6 在 (-, 5 上是减函数 .2类似地，可以证明f ( x) 在 5 ,+) 上是增函数 .2 f ( x) =- x2 +9 的图象是以 (0,9) 为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图） ；它的单调区间