届河南省洛阳市高三(上)期中数学试卷(文科)(解析版)

1、2016-2017 学年河南省洛阳市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共12 小题，每小题 5分，满分60分）1设集合 A= m Z| m 3 或 m2 ， B= n N| 1 n 3 ，则（ ?ZA ）B= （）A 0，1，2B 1，0， 1C 0，1D 1， 0， 1， 22O为极坐标原点， 复数12i1 3i分别为对应向量和，则| |=）在复平面内+ 与+（A 3BC D 53把函数 y=sin （2x ）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A x=0B x=C x=D x=4已知等比数列 an 的前10项的积为32），则以下命题为真命题的是（A 数列 an 的

2、各项均为正数B数列 an 中必有小于的项C数列 an 的公比必是正数D数列 an 中的首项和公比中必有一个大于15若=，则 tan2的值为（）A BCD36函数 y=ln的图象大致是（）ABCD7在 ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点， 若 AM=2 ，则?（+ ）的最小值是 （）A 2 B 1 C1D 28R上的偶函数fx）满足fx 1=f（x）且在 5 6定义在（ + ）， 上是增函数， ， 是锐角三角形的两个内角，则（）A f （ sin） f（ cos）B f（ sin） f（ sin）C f（ sin） f（ cos） D f（ cos） f（ cos）9在四面体S ABC的外

3、接球的表面积为（中， SA 平面）ABC ， BAC=120°， SA=AC=2， AB=1 ，则该四面体A 11BCD10已知函数，若方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（）A （ 1， 3） B （0， 3）C（ 0， 2） D （ 0， 1）11已知数列 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， S8=2 ，S24=14 ，则 S2016=（）A 22522 B 2253 2C 21008 2 D 22016 212设点 P， Q 分别是曲线y=xe x（e 是自然对数的底数）和直线y=x +3 上的动点，则P，Q 两点间距离的最小值为（）A

4、BCD二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13在矩形ABCD中，=（ 1， 3），则实数k=14已知函数f（ x）的对应关系如表所示，数列 an 满足a1=3，an+1=f（ an），则a2016=x123f （ x）32115一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为16设 ，是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题： 若 n? ， n ， =m ，则 n m； 若 m? ， n? ，m ，n ，则 ； 若 ， =m， n? ， n m，则 n； m， ， m n，则 n 其中正确的命题序号为三、解答题：本大题共6 小题，共70 分 .解答应写出文

5、字说明，证明过程或演算步骤.17在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a，b， c，且满足bcosA= （ 2c+a） cos（ B ）（1）求角 B 的大小；（2）若 b=4， ABC的面积为，求 a+c 的值18已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，S5=4a3+6，且 a2， a3， a9 成等比数列（1）求数列 an 的通项公式；（2）如果 a1 a5，求数列 的前 n 项和3a 1x2 xaR）19已知函数 f （ x） = x （ + ）+（ （ 1）若 a0，求函数 f （x）的极值；（ 2）当 a 时，判断函数 f （ x）在区间 0，2 上零点的个数20已知

6、向量=（sin2x ， cos2x），=（ cos2x， cos2x）（1）若 x（，），?+ =，求 cos4x；22x，若关于 x（2）设 ABC 的三边 a， b，c 满足 b=ac，且边 b =ac，且边 b 所对应的角为的方程 ?+=m 有且仅有一个实数根，求m 的值21如图，在四棱锥P ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD ，AB DC， PAD 是等边三角形，已知 BD=2AD=8 ，AB=2DC=4（）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面MBD 平面 PAD；（）求四棱锥PABCD 的体积2a 2 xalnx，其中a R22已知函数 f （ x） =x（+）+（）若曲线y

7、=f （ x）在点（ 2， f （2）处的切线的斜率为1，求 a 的值；（）求函数f （ x）的单调区间2016-2017 学年河南省洛阳市高三 （上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12 小题，每小题5 分，满分60 分）1A=mZm3或m2B=n N1n 3，则（AB=（）设集合| ， | ?Z）A 0 1 2B1 01 C01D101 2， ， ， ， ， ， ，【考点】 补集及其运算【分析】 根据补集与交集的定义，进行计算即可【解答】 解：集合A= mZ| m 3 或 m 2 ，全集为Z ， ?ZA= m Z| 3 m 2 = 2， 1， 0，1 ，又 B= n N

8、| 1 n3 = 0，1， 2 ，则（ ?ZA ） B= 0，1 故选： C2在复平面内O 为极坐标原点， 复数 1+2i 与 1+3i 分别为对应向量和，则 | =（）A3BCD5【考点】 复数的代数表示法及其几何意义【分析】 直接利用复数对应点的坐标，求解距离即可【解答】 解：在复平面内O 为极坐标原点，复数 1+2i与 1+3i 分别为对应向量和，可得 A （ 1， 2）， B （1， 3），则| =故选： C3把函数 y=sin （2x ）的图象向右平移个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）A x=0 B x=C x=D x=【考点】 函数y=Asin（x + ）的图象变换【分析】

9、由题意根据函数y=Asin （ x+）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】 解：把函数 y=sin（ 2x）的图象向右平移个单位后，可得 y=sin （ 2x）=cos2x 的图象，再令 2x=k ，求得 x=， k Z，函数所得函数图象的一条对称轴为x=0 ，故选： A4已知等比数列 an 的前 10 项的积为32，则以下命题为真命题的是（）A 数列 an 的各项均为正数B数列 an 中必有小于的项C数列 an 的公比必是正数D数列 an 中的首项和公比中必有一个大于1【考点】 命题的真假判断与应用；等比数列的性质【分析】 由等比数列的性质可知，故 q 必是正数

10、，故选项C 为真命题；由可知 a5 可以为负数，故A 为假命题；对于选项B ，由于 a5a6=2 可以前 10 项全为，故 B为假命题；对于选项D ，由可得，可取 q=1、均不大于1，故 D 为假命题【解答】 解：由等比数列的性质， a1a2a3 a10=32 a5a6=2 ，设公比为 q，则，故 q 必是正数，故选项 C 为真命题对于选项 A ，由可知a5 可以为负数，故A 为假命题；对于选项 B ，由 a5 a6=2 可以前10 项全为，故 B 为假命题；对于选项 D ，由可得，可取 q=1 、均不大于1，故 D 为假命题故选 C5若=，则 tan2的值为（）A BCD 3【考点】 同角三

11、角函数基本关系的运用；二倍角的正切【分析】 由条件求得 tan=3，再根据tan2=，计算求得结果【解答】解：=， tan=3，则 tan2=，故选： D6函数 y=ln的图象大致是（）ABCD【考点】 正弦函数的图象【分析】 由函数的解析式可得函数的定义域关于原点对称，根据f（ x）=f（x），可得函数的图象关于 y 轴对称，故排除B 、 D，再根据当 x（ 0， 1）时， ln 0，从而排除 C，从而得到答案【解答】 解：函数y=ln，x sinx0x0xx0 + ， ，故函数的定义域为 |再根据 y=f （x）的解析式可得f（ x） =ln （） =ln （） =f （ x），故函数 f

12、（ x）为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故排除B、 D当 x（ 0， 1）时， 0 sinx x 1， 0 1，函数 y=ln0，故排除 C，只有 A 满足条件，故选： A7ABCOAM上的一个动点， 若AM=2，则?+ ）的最小值是 （）在中， 为中线（A 2 B 1 C1D 2【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 由题意画出草图分析，由于在ABC 中， O 为中线 AM 上的一个动点，可得，则?（+） =?2，而 | =|+| =22，利用均值不等式即可求得 ?（【解答】 解：由题意画出草图：+）的最小值由于点 M 为 ABC 中边 BC 的中点，?（+）=2|?|O 为中线 AM

13、 上的一个动点，即A 、O、M 三点共线，|=|+| =22（当且仅当 “”时取等号），得|?|1，又?2=2| ?| 2，则 ?（ + ）的最小值为 2故选： A8定义在R 上的偶函数f（ x）满足f（x+1） = f（x）且在 5， 6 上是增函数， ， 是锐角三角形的两个内角，则（）A f （ sin） f（ cos）B f（ sin） f（ sin）C f（ sin） f（ cos）D f（cos） f（ cos）【考点】 奇偶性与单调性的综合【分析】 根据已知条件能够得到f（ x）是周期为2 的周期函数，且在 0， 1 上单调递减，再根据 ，为锐角三角形的两个锐角即可得到1 sin

14、cos 0，从而根据f（ x）在 0， 1上的单调性即可得出f （sin ） f（ cos）【解答】 解：由 f（ x+1）= f（ x）得， f （ x+2）=f （x）；f （x）是以 2 为周期的周期函数； f （x）是 R 上的偶函数，且在 5， 6 上是增函数； f （x）在 6， 5 上为减函数；f （x）在 0，1 上为减函数；， 是锐角三角形的两个锐角；+； ， ， （0，）sin sin（） =cos且sin， cos（ 0， 1）； f （sin） f （cos）故选： C9在四面体S ABC 中， SA 平面 ABC ， BAC=120 °， SA=AC=2 ，

15、 AB=1 ，则该四面体的外接球的表面积为（）A 11BCD【考点】 球内接多面体；球的体积和表面积【分析】 求出 BC ，利用正弦定理可得 ABC 外接圆的半径，从而可求该三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球表面积【解答】 解： AC=2 ，AB=1 ， BAC=120 °，BC=，三角形ABC的外接圆半径为r， 2r=， r=，SA 平面ABC ， SA=2 ，由于三角形OSA 为等腰三角形，O 是外接球的球心则有该三棱锥的外接球的半径R=，该三棱锥的外接球的表面积为S=4R2=4 ×（） 2=故选： D10已知函数，若方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数

16、根，则实数 a 的取值范围是（）A （ 1， 3）B （0， 3）C（ 0， 2）D （ 0， 1）【考点】 分段函数的解析式求法及其图象的作法【分析】 结合方程 f（ x）=a 有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数 f （x）的图象即可获得解答【解答】 解：由题意可知：函数f（ x）的图象如下：由关于 x 的方程 f（ x） a=0 有三个不同的实数解，可知函数y=a 与函数 y=f （ x）有三个不同的交点，由图象易知：实数a 的取值范围为（0， 1）故选 D11已知数列Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， S8=2 ，S24=14 ，则 S2016

17、=（）A 22522B 2253 2 C 21008 2 D 22016 2【考点】 等比数列的前 n 项和【分析】 由 Sn 为等比数列 an 的前 n 项和，由前 n 项和公式求得a1 和 q 的数量关系，然后再来解答问题【解答】 解：数列Sn 为等比数列 an 的前 n 项和， S8=2， S24=14 ，=2， =14， 88由 ÷ 得到： q =2 或 q = 3（舍去），=2 ，则 a1=2（ q1），S2016=2253 2故选： B12设点 P， Q 分别是曲线 y=xe x（e 是自然对数的底数）和直线y=x +3 上的动点，则P，Q 两点间距离的最小值为（）A B

18、CD【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】 对曲线 y=xe x 进行求导，求出点 P 的坐标，分析知道，过点P 直线与直线 y=x +2平行且与曲线相切于点P，从而求出 P 点坐标，根据点到直线的距离进行求解即可【解答】 解：点 P 是曲线 y=xe x 上的任意一点，和直线y=x +3 上的动点 Q，PQ两点间的距离的最小值，就是求出曲线y=xe x上与直线y=x 3求 ，+平行的切线与直线y=x +3 之间的距离由 y=（ 1 x） e x ，令 y=（ 1 x） e x =1 ，解得 x=0 ，当 x=0 ， y=0 时，点 P（ 0， 0），P， Q 两点间的距离的最小值，

19、即为点P（0， 0）到直线y=x +3 的距离，dmin=故选 C二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.13在矩形ABCD中，=（ 1， 3），则实数k=4【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】 根据题意，画出图形，利用?=0，列出方程，求出k 的值【解答】 解：如图所示，在矩形ABCD 中，=（ 1， 3），=k1，2 3=k11），（+）（， ? =1×（ k 1）+（ 3）× 1=0，解得 k=4 故答案为： 414已知函数f（ x）的对应关系如表所示，数列 an 满足 a1=3 ，an+1=f（an），则 a2016= 1 x123f

20、（ x）321【考点】 数列与函数的综合【分析】 由题意可知， a1=3，分别求得 a2， a3，a4，求得 an=，即可 a2016【解答】 解： an+1=f （an）， a1=3 a2=f （ a1） =f （ 3） =1， a3=f （ a2）=f （ 1） =3 ， a4=f （ a3）=f （ 3） =1 ，an=， a2016=1故答案为： 115一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为【考点】 由三视图求面积、体积【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果【解答】 解：根据三视图得知：该几何体是以底面边长为2 的正方形，高为的四棱锥，所以

21、： V=故答案为：16设 ，是两个不重合的平面，m，n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：若n n =m，则nm；? ，若 m? ， n? ，m ，n ，则 ；若 =mn nm，则n ， ?， ；m， ， m n，则 n 其中正确的命题序号为【考点】 命题的真假判断与应用【分析】 由线面平行的性质定理可知该命题正确；由面面平行的判断定理可知该命题错误，缺少一个重要条件，m 和 n 是两条相交直线；由面面垂直的性质定理可知该命题正确； n 可能在平面 内【解答】 解：对于 ，由线面平行的性质定理可知该命题正确，故 正确；对于 ，如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面互相

22、平行，在这个定理中“”两条相交直线这个条件必不可少没有这个条件，两平面就不一定平行，也可以相交，故 不正确；对于 ，由面面垂直的性质定理可知该命题正确，故 正确；对于 ， n 可能在平面 内，故 不正确故答案为： 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为a，b， c，且满足bcosA= （ 2c+a） cos（ B ）（1）求角 B 的大小；（2）若 b=4， ABC 的面积为，求 a+c 的值【考点】 余弦定理的应用；正弦定理【分析】（ 1）利用正弦定理化简bcosA= （ 2c+a） cos（

23、 B），通过两角和与差的三角函数求出 cosB，即可得到结果（ 2）利用三角形的面积求出 ac=4，通过由余弦定理求解即可【解答】 解：（ 1）因为 bcosA= （ 2c+a） cos（ B），所以 sinBcosA= （ 2sinC sinA ） cosB 所以 sin（A +B ） =2sinCcosB cosB= B=（2）由=得 ac=4 由余弦定理得b2=a2+c2+ac=（a+c） 2 ac=16a+c=218已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，S5=4a3+6，且 a2， a3， a9 成等比数列（1）求数列 an 的通项公式；（2）如果 a1 a5，求数列 的前 n

24、 项和【考点】 等差数列与等比数列的综合；数列的求和1dS6a a a【分析】（）根据等差数列的定义， 设出公差 ，利用5=4a3+ ，且2， 3， 9 成等比数列 建立关系式，求解公差d 和 a1，即可得数列 an 的通项公式；（2）求出等差数列Sn；数列 的通项公式；裂项相消法求解前n 项和【解答】 解：（ 1）由题意：数列 an 是等差数列，设公差d，首项为 a1， S5=4a3+6，则： S5=4a3+6=5a1+， a1+2d=6 又 a2， a3， a9 成等比数列（ a1+2d）2 =（ a1+d）（ a1+8d） da1=d2 由 ， 可得： a1=2， d=2 或 a1=6，

25、 d=0故得数列 an 的通项公式为an=2n 或 an=6（ 2） a1 a5 an=2nSn=na1+=n2+n；则：数列 的通项公式：=；数列 的前 n 项和为：=；故得数列 的前 n 项和为19已知函数f （ x） =x3（a+1） x2+x（ a R）（ 1）若 a0，求函数 f （x）的极值；（ 2）当 a 时，判断函数 f （ x）在区间 0，2 上零点的个数【考点】 利用导数研究函数的极值；根的存在性及根的个数判断【分析】（ 1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）根据 a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出在 0， 2 上

26、的零点个数即可【解答】 解：（ 1） f（ x） =a（x 1）（ x），a 0， 1，令 f （ x） 0，解得： x 1，令 f （ x） 0，解得： x 1 或 x，f （x）在（ ，）递减，在（， 1）递增，在（1， +）递减，f （x） 极小值 =f （） =， f（ x）极大值 =f （ 1）=（ a 1）；（2） f （ 1） =（ a 1）， f （ 2） =（ 2a 1）， f（ 0） = 0，af（x）在 01 递增，在 12 递减， 时，故 f （0） = 0， f（ 1） = （a 1） 0， f（ 2） =（ 2a1） 0， f （x）在 0，1 ，（ 1，2 上各有

27、 1 个零点，即在 0，2 上 2 个零点20已知向量=（sin2x ， cos2x），=（ cos2x， cos2x）（1）若x，），? +=，求cos4x；（22x，若关于 x（2）设 ABC 的三边 a， b，c 满足 b=ac，且边 b =ac，且边 b 所对应的角为的方程? +=m 有且仅有一个实数根，求m 的值【考点】 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算【分析】（ I ）根据向量的数量积公式与三角恒等变换公式化简，得到，结合同角三角函数的关系算出，再进行配角，利用两角和的余弦公式即可算出cos4x的大小（II ）根据余弦定理与基本不等式算出，从而可得，即函数y=的定义域

28、为再利用正弦函数的图象研究y=的单调性， 可得当或时，有唯一的 x 与 y=对应，由此即可得到满足条件的实数m 的值【解答】 解：（），=又，；由于，可得，由此可得：=；（） b2=ac，由余弦定理可得：，B 是三角形的内角，即由（ I）可得=，由，可得，当x（0时，y=为单调增函数；，当 x（， 时， y=为单调减函数当时， y=1；当时， y=，此时只有一个x 与 y=对应，即直线y=m 和有一个公共点若关于x 的方程有且仅有一个实数根，实数m 的值为1 或21如图，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD，AB DC， PAD是等边三角形，已知 BD=2AD=8 ，AB=2DC=4

29、（）设M 是 PC 上的一点，证明：平面（）求四棱锥PABCD 的体积MBD平面PAD；【考点】 平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（ I ）欲证平面 MBD 平面 PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD 内一直线与平面 PAD 垂直，而根据平面 PAD 与平面 ABCD 垂直的性质定理可知BD 平面 PAD；（II ）过 P 作 POAD 交 AD 于 O，根据平面 PAD 与平面 ABCD 垂直的性质定理可知 PO平面 ABCD ，从而 PO 为四棱锥 PABCD 的高，四边形 ABCD 是梯形， 根据梯形的面积公式求出底面积，最后用锥体的体积公式进行求解即可【解答】 解：（）证明：在ABD 中，由于 AD=4 ，BD=8 ，所以 AD 2+BD2=AB2故 AD BD 又平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCD=AD ， BD ? 平面 ABCD ，所以 BD 平面 PAD，又 BD? 平面 MBD ，故平面 MBD 平面