5-傅立叶级数1

1、1严1 o1 兀 f(x)smnxdx= (-l)sinnxrfx+ sinnxdx 兀一兀兀J兀兀°1 |_cosnXK n1 2 n(1-cosn兀_COSM兀+1)=1-(-1)40 1cosnx_ +-兀兀 n，" = 2k 1，/ T 1、=< (2k-l)Ti(£=1，2,)0,n = 2k f(x)的傅里叶级数展开式为411/(%) =sinxHsin3x1sin(2£l)x,兀32k-lX G (-71,0) U (0,71)X为f g白勺连些x沁f（乂）的间i卷JC = ±7T/（乂）S （乂）= V/（ 乂+ O） +

2、 /（ 乂一O）2/（ 7F + O） + /（兀一O）兀<%<0例3设/以2兀为周期，且/(%) = <910<x<兀r 兀1 r0J f(x)dx=-J 一兀ji1 rn'1严Kxdx I dx=l 兀7702° xcosnxdx+ fcosMAz/x 兀0711 |f(x)cosnxdx 兀将/(%)展开为傅里叶级数，并求其和函数S(x) o 解：=兀J兀711 xsinnx cosnx o 1 r 小-+_亓 +sin 空|兀一兀“冗U24-(l-cosn) = -4-Yl TCn TC-,yi 2k1-(-1)吁(21)2 兀0, n

3、= 2k bn- f(x)sinnxdx =f° 兀J 一兀冗J-:1 xcosnx sinnx o=+L 兀7i n *71 smnxdx oxsmnxdx-一兀n丄cos”%冗cosn/i 1_ (-1)H+1(-1)H+1 +1 y o=(COS H71 1) I(斤一1，2,戈)n n7in兀/«的傅里叶级数展开式为/(x)=cosx+-cos3x+-cos5x+.2 4 7i 3252+(l+-)sinx-sin2x+-(l+-)sin3%+.兀23 兀X G (-71,0) U (0,71)若于(劝只在-71,71 ±有定义，且满足收敛定理的 条件，则

4、将/(兀)延拓为以2兀为周期的函数F(x),即 定义一个函数F(x),使它在(-00,+00)上以2兀为周期， 在(-兀，兀上F(x) = /(x),然后将F(x)展开为傅里叶 级数，再把限制在±,便得/的傅里叶 级数展开式。根据收敛定理，这级数在兀二土兀处收敛于 /(-K+0) + f(71-0) o F(劝称为/(劝的周期延拓。2乐22k2x ax-，-兀3伍2,x cosnxdx兀j兀例4.将函数/（x） = x2（-7l<x<7l）展开成傅里叶级数。 解：把/（兀）在（-71,71上作周期延拓，6Zq 一I" f f71兀兀丄6Z；7=f （x）cosn

5、xdx=TlJ 一兀兀丄（l）n4），n-71bn= xsinnxrfx=O,71v fM在（-兀，兀）内连续，当*±兀时，/（兀+0） + /（兀0）=兀2*（土兀）,故由收敛定理得2 oo严_ 1兀 2当兀=0时,/(0)=牛+4工(-1)" =0，得工(-1)"亍运°"n=ln心n兀2二2 /曰診1兀2当兀=兀时，/(k) = -+4=兀，侍=3 n=nn=n °9. 5. 3正弦级数和余弦级数 一、奇函娴偶函数的傅里定理设/'(X)是周期为2冗的函数，在一个周期上可积，贝IJ(1) 当/(劝为奇函数时，它的傅里叶系数为

6、5 =0(n = 0丄2,),'A2严.bn= f (x)smnxdx(n = 1,2,3/ )丿兀°(2) 当/'(X)为偶函数时,它的傅里叶系数为2 r兀、an =/ (x)coszuz/x( = 023，)，兀JO>bn =0(斤=12 ).>定理说明:若/S）为奇函数，则其傅里叶级数是只含正弦项的正弦级数00，b刃 smnx .n1若/（X）为偶函数，则其傅里叶级数是只含常数项和 余弦项的余弦级数00+工 a刃 cosnx.H=1傅里叶级数。解：比(0是周期为2兀的偶函数,bn =0( = 12,)。兀 EsincosMdt ' 2而為=n

7、u(t)cosntdt=- T 兀J0兀JO=f7lsin(n+)r-sin(n-)r7UJO22尸 cos(n-)t cos(n-)t 卩 =-+ K=-7?丄11o kL丄1n+Yi-zt+2 2 24E(比=0丄z)(4/1)兀二、函如?设/（兀）在0,兀上满足收敛定理的条件，1.将/(无)在0,兀上展开成正弦级数：令 F(x)=< 0 ,%=0,_于(_兀),兀丘(兀,0).贝1抄(兀)是(-兀,兀)上的奇函数，称対3的奇式延拓。 将F(x)在(-兀，兀上展开成傅里叶级数，这个级数必定 是正弦级数，再将x限制在(0,兀上，此时F(x) = f(x), 便得/(兀)的正弦级数展开式

8、，其中5 =0( = 0,1,2,)，bnF(jc)sinnxt/x=f (x)smnxdx(n = 1,2,3,- - )。2.将/(切在0,兀上展开成余弦级数：令F(兀)严5碌xe-n, 0).则F(x)是-兀，兀上的偶函数，称为/(x)的偶式延拓。 将F(x)在-冗,冗上展开成傅里叶级数，再将兀限制在 0,兀上，便得于(劝的余弦级数展开式，其中an = F(x)cosnxc/x =f(x)cosnxdx(n = 0丄2,3,)，bn =0(n = 1,2,3,).例2.将函数fx） = x+l （0<x<K ）分别展开成正弦级数和余弦级数。解：（1）求正弦级数，将于（兀）作奇式延拓，an =0(=0,1,2,)，C f(x) sin nxdx=n(x+1) sin nxdx 兀JO兀JOxcosnx smnx cosnx7102=1 兀(1)(1)2兀+2兀 2k-l_1"T,n = 2k-l,伙=1,2,)it = 2k （2）求余弦级数，将/（兀）作偶式延拓，bn =0 (=1,2,3,)，（兀+1）兀