全国二卷数学理2019

1、构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳普通高等学校招生全国统一考试一、选择题： 本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。3 i1. （）1 iA 1 2iB 1 2iC 2 iD 2 i2.设集合1,2,4 ，x x24xm 0 。若I1 ，则（）A1, 3B 1,0C 1,3D 1,53.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7 层塔共挂了381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2 倍，则塔的顶层共有灯（）A1 盏B3盏C5盏D9 盏4

2、.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）A 90B 63C 42D 362x3y305.设 x ， y 满足约束条件 2x3y30 ，则 z2x y 的最小值是（）y3 0A 15B 9C 1D 96.安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有（）A12 种B18 种C24 种D36 种7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后

3、甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（）A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩8.执行右面的程序框图，如果输入的a1 ，则输出的 S（）A2B3C 4D 5第 1页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳2229.若双曲线C: a2b21（a0，b 0）的一条渐近线被圆x2y24 所截得的弦长为2，则C的离xy心率为（）A2B 3C 223D310.已知直三棱柱C11C1 中，C 120o ，2 ，CCC11，则异面直线1与 C1所成角的余弦值为（）3B15C10D3A553211.若 x2 是函数 f ( x)(x2a

4、x1)ex1 的极值点，则f (x) 的极小值为（）A. 1B.2e 3C.5e 3D.112.已知 ABC 是边长为uuuruuuruuur2 的等边三角形， P 为平面 ABC内一点，则 PA ( PBPC ) 的最小是（）A. 2B.3C.4D.123二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.一批产品的二等品率为0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100 次，表示抽到的二等品件数，则 D。14. 函数 fxsin 2 x3 cos x3（ x0,）的最大值是。4215.等差数列 an的前 n 项和为 Sn ， a3 3 ， S410 ，则n1。k1 Sk

5、16. 已知 F 是抛物线 C: y28x 的焦点， M 是 C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N 。若 M 为 FN 的中点，则 FN。三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第1721 题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、 23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17.（ 12 分）ABC 的内角 A、B、 C 所对的边分别为a,b, c ，已知 sinAC8sin 2 B ，2（ 1）求 cosB ；第 2页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳（ 2）若 ac6 ，ABC 的面积为 2 ，求 b 。18.（ 12 分）

6、海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：（ 1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件： “旧养殖法的箱产量低于 50kg, 新养殖法的箱产量不低于 50kg”，估计 A 的概率；（ 2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（ 3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）附：K 2n(ad bc) 2d )( ab)(cd )( a c)(b19.（ 1

7、2 分）如图，四棱锥P-ABCD 中，侧面 PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC1 AD, BADABC 90o ,E 是 PD 的中点。2（ 1）证明：直线 CE / /平面 PAB；（ 2）点 M 在棱 PC 上，且直线 BM 与底面 ABCD 所成角为 45o，求二面角 MAB D 的余弦值。第 3页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳20. （ 12 分）M 在椭圆 C： x2y2uuuruuuur设 O 为坐标原点，动点1上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为N，点 P 满足 NP2NM 。2(1) 求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x3uuur u

8、uur1 。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F。上，且 OP PQ21.（ 12 分）已知函数 fx ax2ax x ln x ，且 f x0 。(1)求 a ；(2)证明： fx 存在唯一的极大值点 x0 ，且 e 2f x0 2 2 。（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。22。 选修 4-4：坐标系与参数方程 （ 10 分）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1 的极坐标方程为cos4 。（ 1） M 为曲线 C1 上的动点，点P 在线段 OM 上，且满足

9、|OM | | OP | 16 ,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程；（ 2）设点 A 的极坐标为(2,) ，点 B 在曲线 C2 上，求 OAB 面积的最大值。323. 选修 4-5：不等式选讲（ 10 分）已知 a0, b 0, a3b32。证明：（ 1） ( ab)( a5b5 )4 ；（ 2） ab 2 。第 4页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳答案与解析1 D【解析】 3i3+i1 i2 i ，故选 D。21i2 C【解析】由I1 得 1B ，所以 m 3 ， B1,3 ，故选 C。3 Bx 127【解析】塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2 的等比数列，

10、由381可得 x3 ，故12选 B。4 B【解析】由题意，该几何体是由高为6 的圆柱截取一半后的图形加上高为4 的圆柱，故其体积为V1326324 63 ，故选B.25 A【解析】绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B6, 3处取得最小值z12315 ，故选 A.6 D【解析】 C32C42 A2236 , 故选 D。7 D【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D。8 B【解析】S01234563,故选B.9 A第 5页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳【解析】圆

11、心到渐近线bxay0 距离为2213 ，所以 2b3c2ae2 ，故选 A.c10 C【解析】补成四棱柱ABCDA1B1C1 D1 ,则所求角为BC1D ,Q BC12, BD22122 1cos60 03, C1DAB15因此 cosBC1 D210，故选 C.5511 A【解析】由题可得f (x)(2 xa)ex1(x2ax1)ex 1 x2(a2) xa1ex 1因为 f (2)0，所以 a1， f (x)(x2x1)ex 1，故 f (x)( x2x2)ex1令 f (x)0，解得 x2或 x1 ，所以 f ( x) 在 (,2),(1,) 单调递增，在 (2,1)单调递减所以f (x

12、)极小值f (1)1 1(111)e1，故选。A12 B【解析】以BC为 x 轴，BC的垂直平分线AD为y轴，D为坐标原点建立坐标， 则 A(0,3) ，B( 1,0) C (1,0)uuur( x,3uuur( 1x,uuur(1x,y)设 P( x, y) ，所以 PAy) ， PBy) ， PCuuuruuur(2x,uuur uuuruuur2x22 y(3y)2x22( y3 )233所以 PBPC2 y) ， PA (PBPC )222当 P(0,3 ) 时，所求的最小值为3，故选 B。2213 1.96【解析】 X B 100,0.02，所以 DXnp 1p1000.02 0.9

13、81.96 .14 1【解析】 fx1cos2 x3 cos x3cos2 x3cos x144323 时，函数取得最大值cos x1， x0,，那么 cosx0,1，当 cos x1.222152nn1a12d3a11【 解 析 】 设 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 ， 公 差 为 d ， 所 以4a143 d10， 解 得d， 所 以12第 6页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳ann, Snn 1n122 11，那么2，那么Sn n n 1nn 1n12111 1.112 112n .k 1 Sk22 3n n 1n 1 n 116 6【解析】设 N0,a，F 2,0，那

14、么 M1, a，点 M 在抛物线上，所以a28a232a4 2，2422所以 N0,42 ，那么 FN20426 .017（ 1） cosB15（2） 217【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知ACB ，再利用诱导公式化简sin( AC ) ，利用降幂公式化简 sin 2B ，结合 sin 2 Bcos2 B1求出 cosB ；利用（ 1）中结论 B900，利用勾股定理和面积公式求出2a c、ac ，从而求出 b 试题解析：（ 1）由题设及ABC得 sin B8sin 2，故2sin B（4 1-cosB）上式两边平方，整理得17cos2 B-32cosB+15=0解得cosB=1（舍去

15、）， cosB= 1517（ 2）由 cosB= 15得 sin B8 ，故 SABC1 ac sin B4 ac171721717又 S ABC =2，则 ac2由余弦定理及ac6 得b2a2c22ac cos B2（ a+c） 2ac(1 cosB)36217(1 15)2174所以 b=2【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意 ac, ac, a2c2 三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎18（ 1） P(A)0.

16、4092 ；（ 2）详见解析；（ 3） 52.50【解析】（ 1）记事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”为事件 B第 7页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳记事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件 C则 P( A) P(B) P(C)P( B)5(0.0120.0140.0240.0340.040) 0.62P(C)5(0.0680.0460.0100.008)0.66P( A)0.4092（ 2）50kg50kg旧养殖法6238新养殖法3466K 2200(62663438)15.70510.82810010096104有 99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关。（ 3）第

17、 50 个网箱落入“ 50 : 55”这组；取平均值 52.50即为中位数的估计值。zPF MEAM'ODyBCx19（ 1）详见解析（ 2） cos | cosn, k| |110|16154【解析】（ 1）取 PA 中点 F ，连接 EF 、 BF 、 EC E、F分别为 PD、PA中点 EF 1 AD ，又 BC 1 AD22 EFBC ，四边形 BCEF 为平行四边形 CE 平面 PAD第 8页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳（ 2）取 AD 中点 O ，连 PO ，由于 PAD 为正三角形PO AD又平面 PAD平面 ABCD ，平面 PAD平面 ABCDAD PO

18、平面 ABCD ，连 OC ，四边形 ABCD 为正方形。 PO平面 POC ，平面 POC平面 ABCD而平面 POC I 平面 ABCDOC过M 作MHOG ，垂足为 H ， MH平面 ABCDMBH 为 MB 与平面 ABCD 所成角，MBH45 MHBH在 PCO 中， MH PO ， MHCH ，POCO设 ABBCa ， AD2a ， PO3a， COa MHCH ， MH3CH3aa在 Rt BCH 中， BH 2BC 2CH2，3CH2a2CH 2 CH26a2a ， MH2a ， OHa22以O为坐标原点，OCODOP分别为 xy zM (aa,0,a) ，A(0,a,0)

19、，、 、 轴建立空间直角坐标系，2622B( a,a,0) ，uuur(2 aa,a,uuur(a,0,0)MA6 a) ， AB22设平面 MAB 的法向量为 n(0, y,1)， nuuuray6 a 0 ， y6MA22 n(0,6 ,1) ，而平面 ABCD 的法向量为 k(0,0,1)2设二面角 MABD 的大角为（为锐角） cos| cosn, k | |1|1065。114第 9页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳20 点 P 的轨迹方程 x2y22 。详见解析【解析】（ 1）设 P( x, y) ， M ( x , y ) ， N ( x ,0)uuuruuuurNP2

20、 NM( x x , y)2(0, y )xx0xx即yy2 yy2代入椭圆方程 x 2y 21 ，得到 x2y222点 P 的轨迹方程 x2y22 。（2）设 Px1 , y1， Q3, y2 ，椭圆的左焦点为F1,0uuuruuurOP x1 , y1 ， PQ3 x1 , y2y1uuuruuurOP PQ x13 x1y1 y2y113x1x12y1 y2y1213x1y1 y2x12y121 ，即3x1y1 y23lOQ ： yy2x3过 P 与直线 OQ 垂直的直线为：yy13xx1y2当 x1 时， yy131 x1y2y133x1y2y2y13x13y2y2y1 y23x13y

21、2y2第 10页构思新颖，品质一流，适合各个领域，谢谢采纳代入得y0过 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F 。21 a=1【解析】（ 1） fx 的定义域为0，+设 g x=ax - a -lnx，则 fx=xgx , fx0 等价于 gx0因为 g1=0，gx0, 故g'1=0, 而g'xa1 , g'1=a1, 得a1x若 a=1，则 g'x=11 . 当 0 x 1时， g'x0, gx 单调递减；当x 1时， g' x 0， gx单调递增 .x所以 x=1 是 gx的极小值点，故 gxg1=0综上， a=1（ 2）由（ 1）知 fxx2xx lnx , f'(x )2x2lnx设 h x2x2lnx, 则 h '( x )21x当 x0, 1 时， h 'x0 ；当 x1 ,+时， h 'x0 ，所以 hx在 0,1 单调递减，在1 ,+单调递2222