平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精)

1、平行线分线段成比例 平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如右图, 如果 1l 2l 3l , 则B C E FA C D F=AB DE AC DF =AB ACDE DF=. 2. 平行线分线段成比例定理的推论:如右左图,在三角形中,如果 DE BC ,则 AD AE DEAB AC BC=3. 平 行 的 判 定 定 理 :如 右 右 图 , 如 果 有 BCDEAC AE AB AD =,那么 DE BC 。 专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例 1】 如 图, DE BC ,且 DB AE =, 若510AB AC =, ,求 AE 的长。【例 2】

2、 如 图 , 已 知 /A B E F C D ,若 A B a =, CD b =, EF c =, 111c a b=+.【巩固】 如图, AB BD , CD BD ,垂足分别为 B 、 D , AC 和BD 相交于点 E , EF BD ,垂足为 F . 证明:111AB CD EF+=.【 巩 固 】 如 图 , 找 出ABD S 、 BED S 、 BCD S 之间的关系,并证明你的结论 .【例 3】 如 图 , 在 梯 形 ABCD 中 , A BC D , 129AB CD =, , 过 对角 线 交 点 O 作 EF CD 交 AD BC , 于E F , ,求 EF 的长。

3、【 巩固 】 如图,在梯形 ABCD 中, A D B C ,AD a BC b E F =, , , 分别是 AD BC , 的中点, AF交 BE 于 P , CE 交 DF 于 Q ,求 PQ 的长。l 3l 2l 1FE D C BA BCDEEDC BAFE DCBAFEDCBAEDCBAFEDBAFED CBAFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题【例 4】(1如图(1 ,在 ABC 中, M 是 AC 的中点, E 是 AB 上一点,且 14AE AB =, 连 接 EM 并 延 长 , 交 BC 的 延 长 线 于 D , 则 BCCD=_. (2如图(2 ,已知 A

4、BC 中, :1:3AE EB =, :2:1BD DC =, AD 与 CE 相交于 F ,则EF AFFC FD+ 的值为( A. 52 B.1 C.32D.2【例 5】 如 图,在 ABC 中, D 为 BC 边的中点, E 为 AC 边上的任意一点,BE 交 AD 于点 O .(1当 1A 2AE C =时,求AOAD 的值;(2当 11A 34AE C =时,求AOAD的值; (3试猜想 1A 1AE C n =+时 AOAD的值,并证明你的猜想 .【例 6】 如 图, AD 是 ABC 的中线, 点 E 在 AD 上, F 是 BE 延长线与 AC 的交点 . (1如果 E 是 A

5、D 的中点,求证:12AF FC =; (2由(1知,当 E 是 AD 中点时,12AF AEFC ED=成立,若 E 是 AD 上任 意一点(E 与 A 、 D 不重合 ,上述结论是否仍然成立,若成立请写出证明,若不成立,请说明理由 .【巩固】 如图,已知 ABC 中, AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 上的一点,且 BE AC =,延长 BE 交 AC 于 F 。求证:AF EF =。FEDCBA【例 7】 如 图, ABC 中, D 为 BC 边的中点,延长 AD 至 E ,延长 AB 交 CE的延长线于 P 。若 2AD DE =,求证 :3AP AB =。E DB OPEC

6、BA (1MEDC BA(2ED CBA F DCBA【巩固】 如图, ABC 中, BC a =,若 11D E , 分别是 AB AC , 的中点,则 1112D E a =;若 22D E 、 分别是 11D B E C 、 的中点,则 2213224aD E a a =+= ; 若 33D E 、 分别是 22D B E C 、 的中点,则 33137248D E a a a =+= ; 若 n n D E 、 分别是 -1-1n n D B E C 、 的中点,则 n n D E =_.专题三、利用平行线转化比例 【例 8】 如 图, 在四边形 ABCD 中, AC 与 BD 相交于

7、点 O , 直线 l 平行于 BD ,且与 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、 N 、 R 、 S 和 P .求证:PM PN PR PS =【巩固】 已知,如图,四边形 ABCD ,两组对边延长后交于 E 、 F ,对角 线 BD EF , AC 的延长线交 EF 于 G .求证:EG GF =.【例 9】 已 知:P 为 ABC 的中位线 MN 上任意一点, BP 、 CP 的延长线分别交对边 AC 、 AB 于 D 、 E ,求证:1AD AEDC EB +=【例 10】 在 ABC 中, 底边 BC 上的两点 E 、 F 把 BC 三等分, BM

8、 是 AC上 的 中 线 , AE 、 AF 分 别 交 BM 于 G 、 H 两 点 , 求 证 :5:3:2BG GH HM =【例 11】 如图, M 、 N 为 ABC 边 BC 上的两点, 且满足 BM MN NC =,一条平行于 AC 的直线分别交 AB 、 AM 和 AN 的延 长线于点 D 、 E 和 F . 求证:3EF DE =.【例 12】 已知:如图, 在梯形 ABCD 中, /AB CD , M是 AB 的中点,分别连接 AC 、 BD 、 MD 、 MC ,且 AC 与 MD 交 于点 E , DB 与 MC 交于 F .E nD n E 3D 3E 2D 2E 1

9、D 1C BAlSR PNBA GFEDBPNME D CBA MFECBFNM E CB A(1求证:/EF CD(2若 AB a =, CD b =,求 EF 的长 .【巩固】 如图, 在梯形 ABCD 中, AD BC , 396AD BC AB =, , , 4CD =,若 EF BC ,且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,求 EF 的长。【例 13】 如图, ABCD 的对角线相交于点 O ,在 AB 的延长线上任取一点 E , 连接 OE 交 BC 于点 F , 若 A B a A D c B E b =, , 求 BF 的 值。【例 14】 已知等腰直角 ABC 中, E 、 D 分别为直角边 BC 、 AC 上的点,且 CE CD =,过 E 、D 分别作 AE 的垂线,交斜边 AB 于 L , K .求证:BL LK =.【习题 1】 如已 知D EA , 2OA OC OE =,求证:AD BC .【习题 2】 在 ABC 中, BD CE =, DE 的延长线交 BC 的延长线于 P ,