局部紧致空间

1、作业7.6局部紧致空间,仿紧致空间本节重点:掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义性质；掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系定义设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因为紧致空间本身便是它的每一个点的紧致邻域n维欧氏空间也是局部紧致空间,因为其中的任何一个球形邻域的闭包都是紧致的定理每一个局部紧致的空间都是正则空间证明设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,设xX,U是x的一个开邻域令D是x的一个紧致邻域,作为Hausdorf

2、f空间X的紧致子集,D是X中的闭集由推论,D作为子空间是一个紧致的Hausdorff空间,所以是一个正则空间是x在子空间D中的一个开邻域,其中是集合D在拓扑空间X中的内部从而x在子空间D中有一个开邻域V使得它在子空间D中的闭包包含于W一方面V是子空间D中的一个开集,并且又包含于W,因此V是子空间W中的一个开集,而W是X中的一个开集,所以V也是X中的开集另一方面,由于D是X的闭集,所以V在D中的闭包便是V在X中的闭包因此点x在X中的开邻域V使得因此X是一个正则空间定理设X是一个局部紧致的正则空间,xX,则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基证明设U是xX的一个开邻域令D为

3、x的一个紧致邻域,则是x的一个开邻域因为X是正则空间,所以存在x的开邻域V使得闭集是x的一个闭邻域,并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的以上证明了在x的任何开邻域U中包含着某一个紧致邻域 从前面两个定理立即可以推出:推论设X是一个局部紧致的Hausdorff空间,xX则点x的所有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基定理每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间证明设X是一个局部紧致的正则空间我们验证X是一个完全正则空间如下:设xX和B是X中的一个闭集,使得是x的一个开邻域由定理,存在x的一个紧致闭邻域V,使得V作为X的一个子空间是紧致的正则空间(正则是可遗传的),因此是完全正则

4、的因而存在连续映射g:V0,1,使得g(x)=0,和对于任何有g(y)=1定义映射h:使得显然h是一个连续映射定义映射f:X0,1,使得对于任何zX 首先,映射f的定义是确切的,因为如果,则有g(z)=1=h(z)其次,都是X中的闭集,从而根据黏结引理,f是连续的最后,显然有f(x)=0及对于根据定理定义设集族A和B都是集合X的覆盖,如果A中的每一个元素包含于B中的某一个元素之中,则称A是B的一个加细显然,如果A是B的一个子覆盖,则A是B的一个加细定义设X是一个拓扑空间,A是X的子集A的一个覆盖如果对于每一个xA,点x有一个邻域U仅与A中有限个元素有非空的交,即:AA|AU是一个有限集,则称A

5、是集合A的一个局部有限覆盖有限覆盖当然是局部有限覆盖定义设X是一个拓扑空间,如果X的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称X是一个仿紧致空间紧致空间自然是仿紧致的离散空间也是仿紧致的,因为所有单点集构成的集族是离散空间的一个开覆盖并且是它的任何一个开覆盖的局部有限的加细定理每一个仿紧致的正则空间都是正规空间证明:设X是一个仿紧致的正则空间,A是X中的一个闭集,U是A的一个开邻域对于每一个aA,点a有一个开邻域,使得从而集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为,令则是A的一个局部有限的开覆盖于是是A的一个开邻域以下证明如果,由于是局部有限的,所以x有一个邻域W只与中有限个

6、元素有非空的交,于是这证明了定理每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间,因而也是正规空间证明:设X是一个仿紧致的Hausdorff空间,兹验证X是一个正则空间如下:设xX,B是X中的一个不包含点x的闭集,对于每一个bB,存在x的一个开邻域和b的一个开邻域,使得特别,集族是X的一个开覆盖,它有一个局部有限的加细,设为令集族是B的一个局部有限的开覆盖令V是闭集B的一个开邻域我们有(x有一个邻域W只与中有限个元素有非空的交,因此W也只与中有限个元素,设为有非空的交如果则因此存在某一个然而易见于是得到矛盾)因此是x的一个开邻域此外显然根据定理引理设X是一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间则X有一个开覆盖满足条件:对于每