常微分方程与差分方程知识点

1、常微分方程与差分方程知识点考试纲要常微分方程的基本概念变量可分离的微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程线性微分方程解的性质及解的结构定理二阶常系数齐次线性微分方程及简单的非齐次线性微分方程微分方程的简单应用差分与差分方程的概念差分方程的通解与特解一阶常系数线性差分方程考试要求1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念2、掌握变量可分离的微分方程、齐次微分方程和一阶线性微分方程的求解方法3、会解二阶常系数齐次线性微分方程4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理，会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数的二阶常系数非齐次线性微分方程5、了解差分与差分方程及其通解与特解等概念6

2、、了解一阶常系数线性差分方程的求解方法7、会用微分方程求解简单的经济应用问题重要知识点1、微分方程通解中任意常数的个数与微分方程的阶数相同2、变量可分离微分方程解法g(y)dyf(x)dx一g(y)dyf(x)dx-G(y)F(x)C3、齐次微分方程解法dy(y)一设u一-再用2代替udxxx(u)uxx附：可化为齐次的方程dy ax by cdx &x b1y g c或 Ga ba th0 a bai bicg0,可化为齐次微分方程xXh0,设h,带入原方程解出h,k,可化为齐次微分方程yYk”abdyaxbyc收,，令axbyv,0abdx(axby)g则可化为变的变量可分离微分方

3、程dx4、一阶线性微分方程解法,齐次方程通解：曳P(x)y0yCedyP(x)yQ(x)dxdx特解(常数变异法):yu(x)eP(x)”代入原方程解出u(x)Q(x)e"x'dxdxCP(x)dxP(x)dxyeQ(x)edxC个人总结：对于dyP(x)yQ(x),首先计算ue""dx,通解为yuQ为dxCdxu5、线性微分方程解的性质及解的结构定理定理1：如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个解，那么yC1yl(x)C2y2(x)也是该方程的解，其中Ci,C2是任意常数(不一定是通解)定理2：如果函数yi(x)与y2(x)是

4、方程yP(x)yQ(x)y0的两个线性无关的特解，那么yCiyi(x)C2y2(x)(C1C2是任意常数)是该方程的通解定理3：设y(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解，Y(x)是该方程对应的齐次万程的通解，那么y(x)Y(x)y(x)是该二阶非齐次线性方程的通解定理4(叠加原理)：设齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的f(x)可以分解为两个函数的和，即f(x)fi(x)f2(x),而yi(x)与y2(x)分别是方程yP(x)yQ(x)yfi(x)与一一一一一一一一*.*.yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解，那么yi(x)y2(x)就是原方程的特解6、

5、二阶常系数齐次线性微分方程的解法二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的求解步骤：第f：写出特征方程r2pxq0；第二步：求特征方程的两根r,r2;第三步：根据根的情况，按卜表写出通解根的情况通解两个不相等实根r1,r2yCierixC2er2x两个相等实根r1r2y(CiC2x)erix一对共轲复根ri,2iyeax(C1cosxC2sinx)7、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqyf(x)待定系数法求特解(1)f(x)exPm(x)特解形式：y齐次方程yt 1 ayt 0的通解为y C a ,，其中C是一个任意常数。若给定初始条件 y Co，则y0 C0

6、 at即为满足该初始条件的特解。 * .一对于非齐次万程 yt 1 aytf (t),其通解也是非齐次方程的一个特解yt与对应齐次方程通解之和。即:tytytc a 。xkQm(x)ex不是特征方程的根，k0是特征方程的单根，k1是特征方程的重根，k2(2)f(x)exP(x)cosxPn(x)sinx*kx将斛形式：yxeQm(x)cosxRm(x)sinx,mmaxl,ni不是特征方程的根，k0i是特征方程的单根，k1个人总结：自由项为多项式f(x)exPm(x),0自由项为指数函数f(x)exPm(x),Pm(x)1自由项为正弦函数f(x)exP(x)cosxR(x)sinx,0,P(x

7、)0,Pn(x)1k将斛设为yxacosxbsinx自由项为余弦函数f(x)exP(x)cosxPn(x)sinx,0,P(x)1,E(x)0*k将斛设为yxacosxbsinx8、一阶常系数差分方程的概念及一般形式含有自变量、自变量的未知函数及其差分的方程，称为差分方程。一阶常系数线性差分方程的一般形式为：yt1aytf(t),其中常数a0。对应的齐次方程为yt1ayt09、一阶常系数差分方程的通解与特解10、几种常见情形下非齐次方程特解所具有的形式f(t)的形式方程中系数a的取值特解y的形式Pm(t)其中Pm(t)是m次多项式a10Qm(t)a10tQm(t)Mbt其中常数M0,b1ab0Ab