华南理工大学高数同步作业册

1、 作业11、填空题：1）的定义域为；2）的定义域为；3）设，则；4）的周期为；5）的反函数为。2、设对任意实数，均有，且，证明：。 证明：取则有。两边平方得3、判定下列函数的奇偶性1）解：因为 所以此函数为奇函数。2）解：当时，；当时，；所以此函数为奇函数。4、设为定义在内的奇函数，若在内单调增加，证明：在内也点调增加。证明：对于任给的，且，我们有，因为在内单调增加，所以。又因为为定义在内的奇函数，所以，即在内也点调增加。5、设的定义域为，求函数的定义域。解：的定义域为，的定义域为当时，即时， 的定义域为空集；当时，即时，的定义域为6、设，求。解：作业2 1、观察下列数列的变化趋势，写出它们的

2、极限：1）2）3）2、用数列极限定义证明 1） 证明： 取，当时，恒有 所以 2） 证明： ，无妨设 取，当时，恒有所以。3、若，证明。并举例说明：如果数列有极限，但数列未必有极限。证明：，因为，所以存在，当时，恒有此时恒有所以。例：，但不存在。4、设数列有界，又，证明：。证明：因为有界，所以存在正数，对任给的有对任给的，由于，一定存在，当时，恒有此时恒有（注意也可以取到任意下的正数）因此。5、设两个数列有相同的极限，求证：若，则。证明：，因为，所以存在，当时，恒有又因为，所以存在，当时，恒有取，当时（注意也可以取到任意下的正数）所以作业3 1、根据函数极限的定义证明： 1） 证明： 取，当时

3、，恒有 所以 2） 证明： 无妨设，则有 取，当时，恒有 所以2、设，研究在处的左极限、右极限及当时的极限。解：1），当时 取，当时，恒有所以2），当时 取，当时，恒有所以3）因为，所以。3、证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则。证明：因为，所以存在，当时，恒有又因为，所以存在，当时，恒有取，则当时，恒有所以。4、试给出时函数的局部有界性定理，并加以证明。解：如果，则存在和，当时，恒有。 下面给予证明。 取，因为，所以一定存在，当时，恒有 由上面两式可知，命题结论得证。5、如果时，函数的极限存在。证明：的极限是唯一的。证明：既要证明：如果数是函数当时的极限，则一定有。假设。无妨设，取。因

4、为，所以存在正数，当时有又因为，因此存在正数，当时有取，当时有这是一个矛盾，从而证明成立。作业41、根据无穷小的定义证明： 1）当时为无穷小 证明： 取，当时，恒有 所以当时为无穷小。 2）当时为无穷小 证明： （由单位圆中的弧长>正弦线，可知 ，而）取，当时，恒有所以当时为无穷小2、根据无穷大的定义证明：当时为无穷大。证明：对于任给的 取，当时，恒有 所以当时为无穷大。3、利用无穷小的性质，说明当时为无穷小。解：因为，利用性质：有界量与无穷小的积还是无穷小，我们有当时为无穷小。4、设时，（为有限数）。试证明下列各式： 1） 证明：对于任给，因为，所以存在，当时， 恒有又因为，对于，一定

5、存在，当时，恒有取，当时 所以 2）证明：因为，所以只需证明类似1）中证明，可得为时的无穷大，由无穷大与无穷小的关系时，为无穷小，又因为，利用极限的性质，是局部有界的，因此也是局部有界的。根据无穷小与有界量的积还是无穷小，所以。再利用极限与无穷小的关系有5、函数在区间是否有界？当时，此函数是否为无穷大？为什么？证明：1）在区间无界。如果函数在区间上有界则存在正常数，使得对于任给的，都有 ，而我们只要取，则有，这是一个矛盾，所以函数在区间上无界。2）当时，不是无穷大。如果，即对于任意的正数，都存在，当时都有。而当我们取时，则有这是一个矛盾，所以时，不是无穷大。作业51、求解：原式2、求解：原式3

6、、求解：原式4、求解：原式5、求解：因为，根据无穷小与有界量的积还是无穷小有 6、设，求的值。解：又因为，所以；另一方面所以。7、设当时，。问 1）当时，是否必为无穷大？ 解：不一定，例，但不是无穷大。 2）当时，有无可能？ 解：有可能，例，但作业61、填空 1） 2） 3） 4）2、求下列极限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式3、用极限存在准则证明：证明：因为，由夹逼准则，有。4、求极限解：因为由夹逼准则5、证明：数列的极限存在，并求出其极限。证明：用单调有界准则证明极限存在。设此数列为，则有 显然，如果，则，由数学归纳法，有。又因为，此数列是单调增的，所以此数列极限存在，我们

7、设，则由可得，解得。作业71、求下列极限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 4）解：原式5）解：原式2、当时，确定下列无穷小关于的阶数 1） 解：，所以，当时，关于的阶数为。 2） 解：，所以，当时，关于的阶数为。3、证明：若，且存在，则。证明： 由，我们有，且存在，所以 。作业81、求下列函数的间断点，并指出其类型 1） 解：，有两个间断点，其中，是可去间断点，当时，令，则在处连续；是无穷间断点。 2） 解：时此函数的跳跃间断点。 3） 解：此函数有两个间断点。是无穷间断点；因为，所以是跳跃间断点。2、讨论函数的连续性，若有间断点，判别其类型。解：，是此函数的间断点，它们都是跳

8、跃间断点。3、确定的值，使函数。解：当时，函数都是连续的，所以我们主要考虑处的连续性。当时，此函数处处连续。4、证明：若函数在点处连续且，则存在的某一个邻域，当时，。证明：因为函数在点处连续且，所以由极限的局部保号性，存在存在的某一个邻域，当时，。5、求下列极限 1） 解：原式 2） 解：原式 3） 解：原式 4） 解：原式 6、设：是定义在上的单调增函数，存在。证明：在点连续。证明：设，如果取，因为，所以存在，使得，当时有当时，有，这与是定义在上的单调增函数矛盾；如果取，因为，所以存在，使得，当时有当时，有，这与是定义在上的单调增函数矛盾。所以，即在点连续。7、证明：方程至少有一个正根，并且

9、不超过。证明：在闭区间上考虑函数，显然在上连续；如果，就是满足要求的根；如果，由零点定理，至少存在一点使得，就是满足要求的根。8、设函数对于闭区间上任意两点恒有，其中为正常数，且，证明：至少存在一点，使得。证明：对于任取的，因为时，我们只要取，当时一定有所以，所以在上连续。，因为时，我们只要取，当时一定有所以在处右连续，同理可证在处左连续，所以在上连续，又因为，由零点定理，至少存在一点，使得。9、若在区间上连续，且存在，试证明是区间 上的有界函数。证明：因为存在，由极限的局部有界性，存在，当时有，又由在区间上连续，所以在区间上连续，由最大值最小值定理，在区间上有界，即存在，对任给的有。取，对任

10、给的有所以是区间 上的有界函数。作业91、填空题 1）且，则； 2）设，则； 3）设函数在点处可导，则，； 4）过定点且与曲线相切的直线方程为； 5），则，。2、按导数的定义求函数在点出的导数。 解： 3、设函数，其中在处连续，求。解：因为在处连续，所以上式。4、设在处连续，且，求曲线在点处的切线方程。解：因为在处连续，又因为 ，所以。 ，其中曲线在点处的切线方程为5、为使函数在点处可导，常数应取何值。解：1）由在处连续有2）由在处可导有所以。6、证明函数在处连续，但不可导。证明：因为 所以，即在处连续；又因为，所以在处不可导。作业101、填空题 1）若函数，则； 2）设曲线与都通过点，且在点

11、处有公切线，则，； 3）若为可导函数，且，则，； 4）设，则； 5）曲线在横坐标处的切线方程为，法线方程为。2、求下列函数的导数 1） 解： 2） 解： 3） 解： 4） 解： 5） 解： 6） 解：3、在下列各题中，设可导，求。 1） 解： 2） 解： 4、求下列函数的导数： 1） 解： 2） 解： 3） 解： 4） 解： 5） 解： 6） 解： 7） 解：5、求函数的导数。解：1）当时 2）当时 ，因为， 所以在处不可导。6、设，已知，求解：令，则所以7、设互为反函数，可导，且，而求。解：令，当时，作业111、填空题 1）设函数由方程确定，则 2）曲线上对应于处的法线方程是 3）设，其中可

12、导，且，则 4）设，则 2、求下列方程所确定的隐函数的导数 1） 解：方程两边关于求导得：。 2） 解：方程两边关于求导得：。 3、求椭圆在点处的切线方程和法线方程。 解：两边关于求导得： 。切线方程为：；法线方程：。4、已知曲线方程为，求此曲线在所对应点处的切线方程。 解：两边关于求导得：当时，所求切线方程为：5、求下列函数的导数 1） 解：方法一、 方法二、两边取对数得 两边关于求导得： 2） 解：两边取对数得： 两边关于求导得：6、求下列参数方程所确定函数的导数 1） 解： 2） 解：7、求三叶玫瑰线上对应于点处的切线方程（直角坐标形式）。 解：， 当时， 切线方程为：。作业121、填空

13、题 1），在处，当时，则应有 2）设在处可微，则 3）设可微，且，则 2、将适合的函数填入下面括号内使等式成立 1） 2） 3） 4） 5） 6）3、求下列函数的微分 1） 解： 2） 解： 3） 解： 4） 解：4、利用一阶微分形式不变形，求微分 1）解： 2） 解：可化为，两边取对数得：5、设扇形的圆心角，半径。如果不变，减少，问扇形的面积大约改变了多少？又如果不变，增加问扇形的面积大约改变了多少？解：扇形的面积为1） 当不变时，此时面积大约改变了。2） 当不变时， 此时面积大约改变了。 下面我们计算精确变化变动前扇形的面积 第一次变动后的面积 第二次变动后的面积作业131、填空题 1）设

14、，则 2）设， 3）设，则 4）设二阶可导，且其一阶导数、二阶导数均不为零，其反函数为，则 5）已知函数由方程确定，则2、求下列函数的二阶导数 1） 解：， 2） 解：， 3） 解：，3、求下列函数的阶导数的一般表达式 1） 解：， 2） 解： 4、求下列方程所确定的隐函数的二阶导数 1） 解：方程两边关于求导得： 2） 解：方程两边关于求导得：5、求下列参数方程确定的函数的二阶导数 1） 解： 2） （其中存在且不为零） 解： 6、设且存在，是确定常数的值。解：由存在可得存在且在处连续。由连续性有所以。由存在我们有，而所以。当时，当时，。所以由存在我们有，而 所以。作业141、填空题 1）设

15、，则在区间内方程有个实根；在区间内有个实根。 2）函数在区间上的有限增量公式中的等于 3）在区间上，函数满足罗尔中值定理中的 4）在区间上，函数满足拉格朗日中值定理中的 5）在区间上，函数，及满足柯西中值定理中的2、设在上连续，在上可导，证明：在上至少存在一点，使。 证明：在区间上考虑函数，由已知可得在上连续，在上可导，且，由罗尔中值定理在上至少存在一点，使得，而，所以3、设函数在区间上连续，在上可导，且。 试证：1）存在，使得； 2）对任意的实数，必存在，使得证明：1）在上考虑函数，由已知可得在上连续，且 ，由零点定理，存在，使得，即。 2）在上考虑函数，由已知可得在上连续，在上可导，且，由

16、罗尔中值定理，必存在，有 即 4、设函数在上二阶可导，且存在使。证明：在内至少存在一点，使得。证明：对函数分别在区间和上利用拉格朗日中值定理，至少存在使得 在对函数在区间上利用拉格朗日中值定理，至少存在，使得。而，结论得证。5、证明下列等式或不等式 1） （其中） 证明：设 所以当时，为一常数，而因此，当时，2）当时，证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗日中值定理，至少存在使得，而，所以3）当时，证明：在区间上考虑函数，利用拉格朗日中值定理，在区间中至少存在一点使得 即 又因为 所以 即 6、证明方程在有且仅有一个实根。证明：设，因为由零点定理，方程在至少有一个实根。如果存在都是方程的实根，且，

17、不失一般性，可设，则在区间上满足罗尔中值定理的条件，因此，至少存在一点使得，而在实数范围内不存在这样的，所以方程在仅有一个实根。作业151、求下列极限 1） 解：原式 2）解：原式3）解：原式4）解：原式 5）解：原式6）解：原式 7）解：原式2、已知有一阶连续的导数，且，求极限解：3、设在处二阶可导，求常数的值，使处可导，并求的值。解：可导一定连续，由连续性有，因此极限一定存在，所以（因为可导一定连续）4、设，是证明导函数在处连续。证明：当时， 当时， 作业161、写出在处带有拉格朗日余项的三阶泰勒公式。解：2、写出带拉格朗日余项的阶麦克劳林公式。解：3、写出在处带皮亚诺余项的阶泰勒公式。解

18、：4、利用泰勒公式计算下列极限 1） 解：因为 原式 2） 解：因为 原式5、若在二阶可导，且最小值。求证：在内存在一点，使。证明：设在处取得最小值，则（费马定理）。由泰勒公式，我们有，其中在之间，当时，其中在之间，所以。作业171、填空题 1）设在上连续，在内可导，且在内除两点的导数为零外，其他各点的导数都为负值，则在上的最大值为。 2）设常数，函数在内有零点个。 3）函数的单调增区间是单调减区间是 4）设方程在区间上有唯一实根，则常数的取值范围是。2、确定下列函数的单调区间 1） 解：+00+0此函数的单调增区间为；单调减区间为 2） 解：0+此函数的单调增区间为；单调减区间为3、求下列函

19、数的极值 1） 解： 当时，；当时，不存在。+不存在0+极大值极小值 当时，函数取得极小值，极小值为；当时，函数取得极大值，极大值为。2）解：，此函数不存在极值点。4、求下列函数的最大值、最小值 1） 解：，解此方程得 当时，；当时，当时，所以函数在上最大值为，最小值为。 2） 解： 当时，当时，所以函数在上的最大值为，最小值为。 3） 解：， 可能取得最值的点只有 当或时，；当时，当时， 当时，所以函数在的最大值为，最小值为。5、证明下列不等式 1）当时， 证明：考虑函数，当时，所以当 时，是递减函数，对于有 2）当时，证明：考虑函数， 当时，所以，当时，即 3）当，时，。 证明：设，当时，

20、。 ，因为，函数在区间上的最大值为，最小值为。所以当时有6、设在上有二阶导数，且。试证明：方程在内有唯一的实根。 证明：1）唯一性。任取，对函数在区间上运用拉格朗日中值定理，至少存在一点使得 由于是任意取的，所以在上单调递减。如果在内有根也只能有唯一的实根。 2）存在性。只需找一点使得。无妨先取一点，对函数在区间上运用拉格朗日中值定理，至少存在一点使得 当时，即时，有，根据零点定理，当时，在上至少有一个实根。7、已知函数对一切满足方程，若在某一点处取得极值，试问它是极大值还是极小值？并证明之。解：是极小值。由已知可得有二阶导数。若在某一点处取得极值，则有，因为函数对一切满足方程，所以（这是因为

21、时，；当时，）。8、试求内接于半径为的球的最大体积圆柱体的高。 解：设此圆柱体的高为，体积为，则解得。所以，内接于半径为的球的最大体积圆柱体的高为。9、已知在点的邻域内有定义，且，证明：当时，在处有极小值；当时，在处有极大值。证明：1）当时，因为，由极限的保号性，存在的一个去心邻域内有，所以，在处有极小值。2）当时，因为，由极限的保号性，存在的一个去心邻域内有，所以，在处有极大值。作业181、填空题 1）若曲线的拐点为，则常数，。 2）曲线的渐近线方程为。 3）设函数由参数方程确定，则曲线向上凸的取值范围为。 4）曲线有个拐点。2、计算下列函数图形的凹凸性及拐点 1） 解： 在区间函数下凸；在

22、区间函数上凸，点是拐点。 2） 解： 在区间函数上凸；在区间函数下凸；在区间函数上图。点为拐点。3、证明下列不等式 1）证明：考虑函数，因为，当时，此曲线是下凸的，所以，对任意的，及有 2）证明：考虑函数，因为，当时，此曲线是下凸的，所以，对任意的，及有4、描绘向下列函数的图像 1） 解：此函数定义域，既不是奇函数也不是偶函数，并且不是周期函数 判定函数的单调性和凹凸性 -0+-0+此函数在区间单调递增；在区间上单调递减。在区间上上凸；在区间上下凸。 求渐近线因为，所以此曲线有水平渐近线，铅直渐近线作图2）解：此函数定义域，是奇函数，但不是周期函数 判定函数的单调性和凹凸性 ， +0-0+-0+此函数在区间单调递增；在区间上单调递减。在区间上上凸；在区间上下凸。 求渐近线因为，所以此曲线有斜渐近线作图5、设在点三阶可导，求证：点是曲线的拐点。证明：无妨设，根据导数的定义由极限的保号性存在的去心邻域内有。当时，所以；当时，所以；根据拐点的定义，点是曲线的拐点。同理可证的情形。作业191、利用定积分的几何意义，填写下列定积分的值 1）。 2）。 3）。 4）。2、比较下列各组定积分的大小（填写不等号） 1）； 2）； 3）。3、利用定积分定