【KS5U解析】四川省乐山一中2020届高三下学期模拟考试数学（理）试题 Word版含解析

1、2020年高考数学模拟试卷（理科）一、选择题1.已知实数，满足，其中是虚数单位，若，则在复平面内，复数所对应的点位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】利用复数的运算法则、复数相等、几何意义，即可求得答案.【详解】实数满足其中虚数单位，可得解得.,则在复平面内,复数所对应的点位于第二象限故选：b.【点睛】本题主要考查了根据复数相等求参数和复数的几何意义，解题关键是掌握复数基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.2.已知集合，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】求出集合，的补集，再计算即可.【详解】，则，故选:b.

2、【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3.已知实数，满足，则（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】首先利用指数函数的性质得到，的范围，然后逐一考查所给的不等式，即可求得答案.【详解】由指数函数的单调性, 可得：对于a，由，可得，故a错误；对于b，由，可得，故b正确；对于c，由，可得，故c错误；对于d，根据图象可得，由，与的大小无法确定，故d错误；故选：b【点睛】本题主要考查了根据已知不等式判断所给不等式是否正常，解题关键是掌握不等式比较大小方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

3、（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由三视图可知，该几何体由一个圆锥、一个圆柱、一个长方体组成的组合体，利用表面积计算公式即可得出.【详解】由三视图可知，该几何体由三部分组成：最上面是一个圆锥，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体.该几何体的表面积为：.故选:d.【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，三视图还原直观图是解题关键，属于基础题.5.下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据题意，逐项判断即可.【详解】对于，其在定义域上为增函数，不符合题意；对于，其在定义域上为偶函数，不符合题意；对于，其是奇函数，又在上

4、单调递减，符合题意；对于，其在上不为减函数，不符合题意.故选：c.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断，对于简单基本初等函数的性质要熟练掌握，属于基础题.6.已知正方形内接于圆，点是的中点，点是边上靠近的四等分点，则往圆内投掷一点，该点落在内的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据已知可分别求解圆的面积及面积，根据几何概型概率公式，即可求解.【详解】设正方形的边长为4，则正方形的面积为，的面积为，因为圆的直径即，圆的面积为，根据几何概型概率公式可得.故选:c.【点睛】本题考查几何概型的概率，意在考查数学计算和应用能力，属于基础题.7.伟大的法国数学家笛卡儿创立

5、了直角坐标系.他用平面上的一点到两条固定直线的距离来确定这个点的位置，用坐标来描述空间上的点，因此直角坐标系又被称为“笛卡尔系”；直角坐标系的引入，将诸多的几何学的问题归结成代数形式的问题，大大降低了问题的难度，而直角坐标系，在平面向量中也有着重要的作用；已知直角梯形中，是线段上靠近的三等分点，是线段的中点，若，则（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】过作于，根据向量的加减的几何意义和向量的数量积公式计算即可.【详解】过作于，故，因为，故，则故选:a.【点睛】本题以数学文化为背景，考查向量的线性运算及几何意义、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题.8.已知函数，则下列说

6、法错误的是（ ）a. 函数的周期为b. 函数的一条对称轴为c. 函数在上单调递增d. 函数的最小值为【答案】c【解析】【分析】化简，可得，逐项判断，即可求得答案.【详解】对于a，函数的周期为： ,故a说法正确；对于b，时，是函数的一条对称轴，故b说法正确；对于c，当时，此时不单调，故c说法错误；对于d， 函数的最小值为，故d说法正确，故选：c.【点睛】解题关键是掌握三角函数的基础知识和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据图像可得函数的定义域不为0，并根据图像的变化趋势，逐

7、项判断，即可求出结论.【详解】若，则 ，不符合题意，故不正确；若，当时，当，当在存在唯一交点，其横坐标设为，而在连续，递增区间是，递减区间是，所以在存在为唯一的最大值点，满足题意；若，则当时，故选项不正确；由图象可知，函数的定义域中不含0，故不正确.故选:b.【点睛】本题考查函数图像的辨析，考查函数的性质，属于中档题.10.执行如图所示的程序框图，若输出的的值为365，则判断框中可以填（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据条件进行模拟运算，寻找成立的条件进行判断即可.【详解】模拟程序的运行，可得，执行循环体， 不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循

8、环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，不满足判断框内的条件，执行循环体，此时，应该满足判断框内的条件，退出循环，输出的值为365.则判断框内的件为故选:c.【点睛】本题考查补全程序框图，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题.11.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与的渐近线交于两点，若，则双曲线的渐近线方程为 （ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【详解】直线l:y=-x+a与渐近线交于,直线l:y=-x+a与渐近线交于,a,因为,所以,双曲线的渐近线方程为,故选d.点睛:本题考查双曲线的性质,属于中档题目.解决本题的关键是设点以及向量坐标化,

9、先求出过右顶点且斜率为-1的直线方程,分别联立该直线与双曲线的两条渐近线,求出交点坐标,代入中,通过化简计算,即可得到a,b的关系式,结合双曲线中,即可求得离心率.12.已知数列满足.令，则的最小值为（ ）a. 20b. 15c. 25d. 30【答案】b【解析】【分析】设数列的前项和为，则可计算出.然后应用公式即可计算出数列的通项公式，可得数列是一个等差数列.然后应用等差数列性质整理，再根据绝对值的特点可得的最小值.【详解】依题意，由 ，可得：.设数列的前项和为，则.当时，.当时，.也满足上式，故，.数列是以35为首项，5为公差的等差数列，当或时，取得最小值.故选:b.【点睛】本题考查数列的

10、前项和求通项、等差数列的性质、绝对值性质，考查计算求解能力，属于中档题.二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上.）13.二项式的常数项为，则_.【答案】【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式可得，再利用微积分基本定理及其性质即可得出.【详解】，令，解得.，表示函数与轴围成的面积， 即为在轴上方的半圆面积，.故答案为:.【点睛】本题考查二项展开式定理、定积分定理以及几何意义，考查计算求解能力，属于基础题.14.已知点满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】首先画出可行域，利用的几何意义：区域内的点与原点连线的斜率，因此求最值即可.【详解】由已知得到平面区域如

11、图：表示区域内的点与原点连接的直线斜率，由解得，由解得当与连接时直线斜率最大为1，与连接时直线斜率最小为2，所以的取值范围为.故答案为:.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，利用目标函数的几何意义数形结合求最值，属于基础题.15.已知，两点分别为椭圆的左焦点与上顶点，为椭圆上的动点，则面积的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由椭圆的方程可得，的坐标，进而求出直线的方程，及的长度，当三角形的面积最大时为过点的直线与直线平行且与椭圆相切，设过的直线方程与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，即可求解.【详解】由椭圆方程可得，所以直线的方程为：，由题意可得当过的直线与直线平行且与椭圆相切

12、时，两条平行线间的距离最大时，三角形的面积最大，设过点与平行的切线方程为：，直线与直线的距离为，联立直线与椭圆的方程可得： ，整理可得：，可得，解得，所以当时最大，这时的最大值为：.故答案为:.【点睛】本题考查椭圆内接三角形面积最值、直线与椭圆的位置关系，意在考查直观想象、数学计算能力，属于中档题.16.已知，使得不等式能成立，则实数的取值范围为_.【答案】或.【解析】【分析】由题意可得，分别，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调性、最值，结合能成立思想可得所求范围.【详解】不等式，即为，若则不等式显然不成立；当时，可得，设， ，则在时递减，在递增，即有在处取得最小值，由题意可得，又当时，可

13、得，设 ，则在时递减，在递增，即有在处取得最大值1，由题意可得，综上可得的范围是或，故答案为:或.【点睛】本题以不等式能成立为背景，考查应用导数求函数的最值，分类讨论分离参数是解题关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，内角，的对边分别为，且.（1）求的大小；（2）若，求的面积.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可得，然后结合三角形的内角和定理即可求解；（2）由已知结合余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）.，即，所以，或或即，或（

14、舍去），或（舍去），又因为，故，（2）由余弦定理可得， ，.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理、两角和差正弦公式解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.18.在一次体质健康测试中，某辅导员随机抽取了12名学生的体质健康测试成绩做分析，得到这12名学生的测试成绩分别为87，87，98，86，78，86，88，52，86，90，65，72.（1）请绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并指出该组数据的中位数；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩不低于76分的学生人数，求的分布列及期望【答案】（1）茎叶图见解析，中位数为：；（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）由这12名学生的

15、测试成绩能绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，并求出该组数据的中位数.（2）的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望.【详解】（1）绘制这12名学生体质健康测试成绩的茎叶图，如下：该组数据的中位数为：.（2）抽取的12人中，成绩不低于76分的有9人，从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩不低于76分的学生人数，则的可能取值为0，1，2，3，的分布列为：0123数学期望.【点睛】本题考查茎叶图做法、离散型随机变量分布列和期望，考查计算求解能力，属于基础题.19.已知三棱柱中，.（1）求证：平面；（2）若，求平面与平面所成二面角的余弦值.【答案】（1）答

16、案见解析.（2）【解析】【分析】（1）要证平面，只需求证，结合已知，即可求得答案；（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，根据，即可求得答案.【详解】（1）,.在中,由余弦定理得,.又,又平面.（2）由（1），又在中，可得又平面；由（1）得平面， 又以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图：则,又解得：，故设平面法向量为由，可得故：取，则设平面法向量为由，可得故：取可得：平面与平面所成二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查了线面垂直和向量法求二面角，解题关键是掌握线面垂直的证法和向量法求面面角的解法，考查了分析能力和计

17、算能力,属于中档题.20.已知椭圆过点，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.（1）证明：为定值；（2）如上图所示，若，关于原点对称，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）其上顶点到直线的距离为2，求出，点代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点的直线方程为：，可得，.利用，可得，利用两点之间的距离公式可得；（2）由（1）得直线的方程为，与椭圆方程联立求出，由点到直线距离公式，求出到直线距离，求出四边形面积的关于的表达式，结合关系，由基本不等式求出最大值.【详解】（1）其上顶点到直线的距离为2， ，解得.又椭圆过点

18、，解得.椭圆的标准方程为：.点在椭圆上，.设经过点的直线方程为：，可得，.，即为定值.（2）由（1）得直线斜率为，方程为，即，联立解得，点到直线的距离为，当且仅当，即时，等号成立，四边形面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平行四边形的面积，利用基本不等式求最值，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算，属于较难题.21.已知函数，且函数在处取到极值.（1）求曲线在处的切线方程；（2）若函数，且函数有3个极值点，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出原函数的导函数，由求解值，则曲线在处的切线方程可求；（2）求出函数的解析式，由，根据已知有

19、三个解，存在两个不同于的零点， 设，求出取值范围，结合的函数特征，可判断是函数的两个零点，构造函数，研究的单调性，把证明转化为证明即可.【详解】（1）， ，函数在处取到极值，即.则，曲线在处的切线方程为；（2），函数的定义域为且，令，在上单调递减，在上单调递增；是的最小值；有三个极值点，得的取值范围为，当时，；即，是函数的两个零点.，消去得；令，的零点为，且.在上递减，在上递增.要证明，即证，等价于证明，即.，即证.构造函数，则；只要证明在上单调递减，函数 在单调递减；增大时，减小，增大，减小，在上是减函数.在上是减函数.当时， .即【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到导数的几何意义、单调性、极值最值、零点、不等式证明，构造函数是解题的关键和难点，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于难题.22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为.现以极点为