多元函数微分学1ppt课件

1、第第7章章 多元函数微分学多元函数微分学完毕前页前页结束结束后页后页 空间空间一维一维:只有一个运动方向或其反方向只有一个运动方向或其反方向,称为一个自由度称为一个自由度.二维二维:有两个独立的、有两个独立的、相互垂直的运动方向相互垂直的运动方向,称为两个自由度称为两个自由度.7.1.1 7.1.1 空间解析几何简介空间解析几何简介第第7章章 多元函数微分学多元函数微分学ABCDE坐标系坐标系前页前页结束结束后页后页一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系 过空间定点过空间定点 ，作三条互相垂，作三条互相垂直的数轴，他们都以直的数轴，他们都以 为原点为原点且一般

2、具有相同的长度单位。且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为这三条轴分别称为 轴轴, , 轴轴, , 轴，统称坐标轴。通轴，统称坐标轴。通常把常把 轴和轴和 轴配置在水平轴配置在水平面上，面上， 轴在铅垂方向，他们轴在铅垂方向，他们的指向符合右手法则的指向符合右手法则. . Oxyz zxyzOxyzo前页前页结束结束后页后页37 864251 三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样三条坐标轴中任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标平面，分别是定出的三个平面统称为坐标平面，分别是三个坐标平面三个坐标平面把空间分成八把空间分成八个部分个部分,称为八称为八个卦限个卦限.xOy

3、面面yOz面面zOx面面xyz前页前页结束结束后页后页空间任意一点空间任意一点 ，过，过 点作三个平面分别垂直于点作三个平面分别垂直于 轴、轴、 轴、轴、 轴，它们与轴，它们与 轴、轴、 轴、轴、 轴的交点分别轴的交点分别为为 、 、（如图），、（如图），PQRMMxyzxyz设三点在三个坐标轴上的坐标设三点在三个坐标轴上的坐标依次为依次为 ， ， ，于是空间一，于是空间一点点 就唯一地确定了一个有序就唯一地确定了一个有序数组数组 ，通过直角坐标，通过直角坐标系，就建立了空间点系，就建立了空间点 与有序与有序数组数组 之间的一一对应之间的一一对应关系关系 xyz( , , )x y zM),(

4、zyxMxyzpQ QRM取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组取定空间直角坐标系后就可以建立空间的点与数组(x, y, z) 之间的一一对应关系。之间的一一对应关系。前页前页结束结束后页后页 1 1 空间两点间的距离空间两点间的距离设设 ， 为空间两点，为空间两点，),(2222zyxM),(1111zyxM21221221221)()()(zzyyxxMM特别地，点特别地，点 到坐标原点到坐标原点 的距离为的距离为 ：),(zyxM)0 , 0 , 0(O222zyxOM1Mxyz2MxyzM选取坐标系如图。选取坐标系如图。 则空间两点间的距离公式为：则空间两点间的距离公式为：1x2

5、xz1y2z2y1前页前页结束结束后页后页7.1.1.2 7.1.1.2 空间的平面和直线的一般方程空间的平面和直线的一般方程 由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程由于空间中任一平面都可以用一个三元一次方程来表示，而任一三元一次方程的图形都是一个平面，来表示，而任一三元一次方程的图形都是一个平面，所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方所以称如下的三元一次方程为空间中平面的一般方程。程。0DCzByAx 由于空间直线可以看作是两由于空间直线可以看作是两个平面的交线，因此空间中两个个平面的交线，因此空间中两个平面的方程联立而成的方程组：平面的方程联立而成的方程组： 1111222200

6、A xB yC zDA xB yC zD叫做空间直线的一般方程。叫做空间直线的一般方程。 22220A xB yC zD 0AxByCzD前页前页结束结束后页后页7.1.1.3 7.1.1.3 空间曲面和空间曲线的一般方程空间曲面和空间曲线的一般方程 1 1曲面的方程曲面的方程 曲面上任一点的坐标都满曲面上任一点的坐标都满足方程，不在曲面上的点足方程，不在曲面上的点的坐标都不满足方程，则的坐标都不满足方程，则称此方程为曲面的方程，称此方程为曲面的方程，而曲面就叫做方程的图形。而曲面就叫做方程的图形。在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹

7、 (, )0Fx y z ( , )x yz( , , )0F x y z 前页前页结束结束后页后页空间曲线可看成是两曲面的交线设空间曲线可看成是两曲面的交线设 和和 是两个曲面方程是两个曲面方程 ( , , )0F x y z 2 2空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 ( , , )0( , , )0F x y zG x y z 称为空间曲线的一般方程称为空间曲线的一般方程即曲线上任何一点都要同即曲线上任何一点都要同时满足两个曲面方程。时满足两个曲面方程。 ( , , ) 0G x y z ( , , )0F x y z ( , , )0G x y z 则方程组则方程组前页前页结束结束后页

8、后页7.1.2 7.1.2 多元函数的概念多元函数的概念例例1 矩形面积矩形面积S与长与长x，宽，宽y有下列依赖关系有下列依赖关系 S=xy (x0,y0)，1.引例其中长其中长x 和宽和宽y 是两个独立的变量，在它们变化范围内，是两个独立的变量，在它们变化范围内，当当x，y 的值取定后，矩形面积的值取定后，矩形面积S有一个确定值之对应有一个确定值之对应. 为某商品的销售量，为某商品的销售量， 为商品的销售价格，为商品的销售价格， 为为购买商品的人数为设此种商品的销售量购买商品的人数为设此种商品的销售量 与与 ，Q)0,0(bacNbPaQNPQ QPN有关系：有关系：其中，其中， ， ， 均

9、为正常数均为正常数 abc例例2前页前页结束结束后页后页2.二元函数的定义定义定义1 设有三个变量设有三个变量x，y，z，如果对于变量，如果对于变量x，y的的变化范围内所取的每一对值，变量变化范围内所取的每一对值，变量z都按照一定的规则，都按照一定的规则，有一个确定的值与之对应，则称有一个确定的值与之对应，则称z 为为x，y的二元函数，的二元函数，记作记作 z=f(x,y) 或或 z=z(x,y)，其中其中x，y称为自变量，称为自变量，z称为函数称为函数(或因变量或因变量).自变量自变量x，y的变化范围称为函数的定义域的变化范围称为函数的定义域.前页前页结束结束后页后页类似地，可以定义三元函数

10、类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)u=f(x,y,z)以及三元以以及三元以上的函数上的函数. .二元以及二元以上的函数统称为多元函数二元以及二元以上的函数统称为多元函数. . 与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的与一元函数一样，定义域和对应法则是二元函数的两个要素。两个要素。函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分函数的定义域是函数概念的一个重要组成部分.求求函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量函数的定义域，就是求出使函数有定义的所有自变量的取值范围的取值范围.前页前页结束结束后页后页例例3 求出二元函数求出二元函数 的定义域的定义域.221yxz解解 自变量自变量

11、x，y必须满足不等式必须满足不等式, 122 yx此即函数定义域此即函数定义域.例例4 求函数求函数z=ln(x+y)的定义域的定义域.解解 函数的定义域为函数的定义域为 x+y0.即即xy前页前页结束结束后页后页例例5 求函数求函数 的定义域的定义域(a0,b0).byaxzarcsinarcsin其图形是矩形内部其图形是矩形内部(包括边界包括边界).解解 函数的定义域由不等式组函数的定义域由不等式组byax|，bybaxa ，即例例6 求函数求函数 的定义域的定义域.2211yxz解解 函数的定义域为函数的定义域为, 0)(122yx. 1 22 yx即它的图形是单位圆内部它的图形是单位圆

12、内部(不包括边界不包括边界).前页前页结束结束后页后页二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是二元函数定义域的图形可以是全平面，也可以是一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一条或几条曲线围成的平面的一部分，或者是零星的一些点一些点.全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为全平面，或者满足下述三个条件的平面点集称为平面开区域，简称平面区域平面开区域，简称平面区域.这三个条件是：这三个条件是：(1) 其边界是由一条或几条曲线所组成其边界是由一条或几条曲线所组成,(2) 点集内不包含边界上的点点集内不包含边界上的点,(3) 点集内任意两点，存在一条全部含于该点集内点集内任意两点，存在一

13、条全部含于该点集内的折线，将该两点连接起来的折线，将该两点连接起来.前页前页结束结束后页后页)2( 点集内包含边界上所有的点点集内包含边界上所有的点.这种平面点集称为平面闭区域这种平面点集称为平面闭区域.如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某如果一个区域可以被包围在一个以原点为圆心的某个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域个圆内，则称此区域为有界区域，否则称其为无界区域.例例3，例，例5的定义域为有的定义域为有界闭区域界闭区域.例例4的定义域为无的定义域为无界区域界区域.例例6的定义域为有界的定义域为有界区域区域.如果上述条件如果上述条件(1)，(3)不变，将不变，将(2)改为

14、改为 ：)2( 前页前页结束结束后页后页3.二元函数的几何意义二元函数的几何意义在一定条件下，函数在一定条件下，函数z=f(x,y)的几何图形是一张的几何图形是一张曲面曲面. 而定义域而定义域D正是这曲正是这曲面在面在 平面上的投影平面上的投影.xoyD( , )zf x y 前页前页结束结束后页后页 7.1.3 二元函数的极限与连续二元函数的极限与连续定义定义2 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某邻域有定义的某邻域有定义(点点(x0,y0) 可以除外可以除外),如果动点如果动点P(x,y) 以任意方式趋于定点以任意方式趋于定点(x0,y0)时，函数的对应值时，函数的对应值

15、f (x,y)趋于一个确定数趋于一个确定数A，则称，则称A为函数为函数z=f(x,y),当当 时的极限，记作时的极限，记作00,xxyy00lim( , ),xxyyf x yA 00( , )(,)lim( , ),x yxyf x yA 或或对于二元函数的极限存在，是指当对于二元函数的极限存在，是指当P(x,y)以任意方以任意方式趋于定点式趋于定点P0(x0, y0)，函数都无限接近于，函数都无限接近于A.值，则可以断定函数在该点的极限不存在值，则可以断定函数在该点的极限不存在.当当P(x,y)以不同路径趋于点以不同路径趋于点 时，函数趋于不同的时，函数趋于不同的00(,)P xy前页前页

16、结束结束后页后页例例7 讨论二元函数讨论二元函数 0 , 00 ,),(222222yxyxyxxyyxf，当当P(x,y)O(0,0)时，极限是否存在时，极限是否存在.解解 当当P(x,y)沿沿x轴趋于点轴趋于点O(0,0)即即y=0时，时，f(x,y)=f(x,0)=0 (x0)，. 0)0 ,(lim 0 xfx当当P(x,y)沿沿y轴趋于点轴趋于点O(0,0)即即x=0时时,f(x,y)=f(0,y)=0(y0),. 0), 0(lim0yfy当当P(x,y)沿直线沿直线y=k x轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时，前页前页结束结束后页后页，220011lim),(limkkkkyxf

17、xxkxy即f(x,y)=f(x,kx)= (x0)，21kk其极限值随直线斜率其极限值随直线斜率k的不同而不同的不同而不同.因而因而 不存在不存在.),(lim00yxfyx 一元函数极限的有些运算法则一元函数极限的有些运算法则(如四则运算法则，如四则运算法则，夹逼定理等夹逼定理等) 可以相应地推广到二元函数可以相应地推广到二元函数.当当P(x,y)沿直线沿直线y=k x轴趋于点轴趋于点O(0,0)时，时，前页前页结束结束后页后页定义定义3 如果当如果当 时，函数时，函数z=f (x,y)的极限的极限存在，且等于它在点存在，且等于它在点P0(x0,y0)处的函数值处的函数值f(x0,y0)，

18、 即即),(),(lim0000yxfyxfyyxx则称函数则称函数f(x,y)在点在点 处连续处连续.00,xxyy 如果函数如果函数z=f (x,y)在开区域在开区域D上各点都连续，则称上各点都连续，则称函数函数z=f (x,y)在开区域在开区域D上连续上连续.连续的二元函数连续的二元函数z=f (x,y)在几何上表示一张无孔无隙的曲面在几何上表示一张无孔无隙的曲面.000(,)P xy前页前页结束结束后页后页如果函数如果函数z=f(x,y)在点在点P0(x0,y0)不连续，则称点不连续，则称点P0(x0,y0)是函数是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点的不连续点，或称间断点.如果函数

19、如果函数z=f(x,y)有下列情形之一：有下列情形之一：(1)在点在点P0(x0,y0)没有定义，没有定义，(2) 在点在点P0(x0,y0) 有定义，有定义， 不存在，不存在，),(lim00yxfyyxx(3) 在点在点P0(x0,y0) 有定义，且有定义，且 存在，但存在，但00lim()xxyyf x, y则点则点P0(x0,y0)为函数的为函数的z=f(x,y)的间断点的间断点.00lim()()xxyyff00 x,yx ,y ，前页前页结束结束后页后页 二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了二元函数间断的情况要比一元函数复杂，它除了有间断点外，还可能有间断线有间断点外，还可能

20、有间断线.在圆周在圆周 上的每一上的每一点都是间断点，因为在圆周点都是间断点，因为在圆周上的点，函数无定义上的点，函数无定义.圆周圆周 是该函数的一是该函数的一条间断线条间断线.2211zxy122x + y221xy例例8 函数函数2211zxy前页前页结束结束后页后页与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭与闭区间上一元连续函数的性质相似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质：区域上多元连续函数也有如下性质：性质性质1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元上的多元连续函数在连续函数在D上一定有最大值和最小值上一定有最大值和最小值.性质性质2 (介值

21、定理介值定理) 在有界闭区域在有界闭区域D上的多元连续函数上的多元连续函数,如果在如果在D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D上取得上取得介于这两个值之间的任何值至少一次介于这两个值之间的任何值至少一次.前页前页结束结束后页后页7.2.1 偏导数的概念偏导数的概念7.2 7.2 偏导数偏导数偏增量偏增量定义定义 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，的某一邻域内有定义，当当y固定在固定在y0，而，而x在在x0处有增量处有增量x时，相应函数有增时，相应函数有增量量0000(,)(,).f xx yf xy 称为关于称为关于 x 的偏增量记

22、为的偏增量记为xz0000(,)(,).xzf xx yf xy 相应的相应的0000(,)(,).yzf xyyf xy 即即前页前页结束结束后页后页1.偏导数的定义偏导数的定义如果极限如果极限00000(,)(,)limxf xx yf x yx 存在，则称此极限值为函数存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对x的的偏导数偏导数.记作记作00000000(,)(,),(,)(,),xxxyxyzffxyzxyxx 或或即即0000000(,)(,)(,)limxxyf xx yf xyzxx 类似地，函数类似地，函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处

23、对y的偏导数为的偏导数为00000(,)(,)limyf xyyf xyy 前页前页结束结束后页后页00(,),xyfy 00(,)xyzy 记为记为0000(,)(,)yyfxyzxy 或或前页前页结束结束后页后页如果函数如果函数z=f(x,y)在区域在区域D内每一点内每一点(x,y)都存在对都存在对x的偏导数，即的偏导数，即0(, )( , )lim, ( , )xf xx yf x yx yDx 存在，显然这个偏导数仍是存在，显然这个偏导数仍是x，y的函数，称它为函数的函数，称它为函数z=f(x,y)对对x的偏导函数，记作的偏导函数，记作,( , )( , )xxzffx yzx yxx

24、 或或偏导函数偏导函数:前页前页结束结束后页后页类似地，可以定义函数类似地，可以定义函数z=f(x,y)在区域在区域D内对自变内对自变量量y的偏导函数为的偏导函数为0( ,)( , )limyf x yyf x yy 记作记作,( , )( , )yyzffx yzx yyy 或或二元以上多元函数的偏导数可类似地定义二元以上多元函数的偏导数可类似地定义.例如三例如三元函数元函数u=f(x,y,z)在点在点(x,y,z)处对处对x的偏导函数定义为的偏导函数定义为0(, , )( , , )limxuf xx y zf x y zxx 偏导数偏导数 可类似的定义可类似的定义,uuyz前页前页结束结

25、束后页后页偏导数的几何意义偏导数的几何意义前页前页结束结束后页后页2、偏导数的求法、偏导数的求法求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数求多元函数的偏导数就相当于求一元函数导数.一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导一元函数的求导法则和求导公式对求多元函数的偏导数仍然适用数仍然适用. 例如，给定一个二元函数例如，给定一个二元函数z=f(x,y)，求，求 时，可将时，可将自变量自变量y 看成常数看成常数(即将即将z看成看成x的一元函数的一元函数)，只需，只需z对对x求导求导.xz前页前页结束结束后页后页 若求函数若求函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对x的偏导数，只需的偏导

26、数，只需先求偏导函数先求偏导函数fx(x,y)，然后再求，然后再求fx(x,y)在点在点(x0,y0)处的处的函函数值，即数值，即 ，这样就得到了函数，这样就得到了函数z =f(x,y)在点在点(x0,y0)处对处对x的偏导数的偏导数.也可以先将也可以先将y=y0代代入入z=f(x,y)中，得中，得z=f(x,y0)，然后对，然后对x求导数求导数fx(x,y0)，再以，再以x=x0代入代入.两种做法是一致的两种做法是一致的.因为在这个过程中，因为在这个过程中，y为为常数常数y0.),(| ),(00),(00yxfyxfxyxx前页前页结束结束后页后页例例1 求函数求函数 在点在点(1,3)处

27、对处对x 和和y 的的偏导数偏导数.222),(yxyxyxf解解yxyxfx22),(.22),(yxyxfy将点将点(1,3)代入上两式，得代入上两式，得. 43212) 3,1 (, 83212) 3,1 (yxff例例2 求函数求函数 的偏导数的偏导数.yxz .lnxxyzy, 1yyxxz解解前页前页结束结束后页后页例例3 求函数求函数 的偏导数的偏导数.22eyxz222222e()2 exyxyyzxyyy 222222e()2 exyxyxzxyxx ，解解例例4 求函数求函数 的偏导数的偏导数.222rxyz. ryyr222 .rxxxrxyz解解.rzzr前页前页结束结

28、束后页后页 偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分偏导数的记号是个整体记号，不能看作分子与分母之商，否则这三个偏导数的积将是母之商，否则这三个偏导数的积将是1.这一点与一元这一点与一元函数导数记号函数导数记号 是不同的，是不同的， 可看成函数的微分可看成函数的微分dy与自变量微分与自变量微分dx之商之商.xyddxydd前页前页结束结束后页后页例例6 设设222222, 0,( , )0, 0 xyxyxyf x yxy ，求求f(x,y)在原点在原点(0,0)处的偏导数处的偏导数.解解 原点原点(0,0)处对处对x的偏导数为的偏导数为0(0,0)(0,0)(0,0)limxxfxffx

29、200() 00()0limlim 00.xxxxx 前页前页结束结束后页后页 在原点在原点(0,0)处对处对y的偏导数为的偏导数为yfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0. 00lim0)(0)(0lim020yyyyy222222, 0,( , )0, 0 xyxyxyf x yxy ，前页前页结束结束后页后页 对于多元函数对于多元函数,偏导数存在不能保证函数在该点处偏导数存在不能保证函数在该点处连续，这与一元函数不同连续，这与一元函数不同.一元函数在其可导点处，一一元函数在其可导点处，一定连续的结论，对多元函数是不成立的定连续的结论，对多元函数是不成立的.这是因为

30、偏导这是因为偏导数存在，只能保证当点数存在，只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋沿着平行坐标轴的方向趋于于(x0,y0)点时，函数数值点时，函数数值f(x,y)趋于趋于f(x0,y0)，但不能保证，但不能保证当点当点(x,y)以任意方式趋于点以任意方式趋于点(x0,y0)时，函数时，函数f(x,y)趋于趋于f(x0,y0).在点在点(x0,y0)处二元函数连续，推不出偏导数存在，处二元函数连续，推不出偏导数存在，而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元而偏导数存在也推不出函数在该点处连续，所以二元函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系函数连续与偏导数存在这二者之间没有因果关系

31、.前页前页结束结束后页后页三、高阶偏导数三、高阶偏导数设函数设函数z=f(x,y)在区域在区域D内有偏导数内有偏导数(), ().xyffzzx, yx, yxy二元函数的二阶偏导数为：二元函数的二阶偏导数为：22( , )( , )xxxxzzzx yfx yxxx2( , )( , ) xyxyzzzx yfx yyxx y 2( , )( , ) yxyxzzzx yfx yxyy x 前页前页结束结束后页后页22( , )( , )yyyyzzzx yfx yyyy同样可得三阶、四阶以至同样可得三阶、四阶以至n阶偏导数阶偏导数(如果存在的如果存在的话话).一个多元函数的一个多元函数的n

32、1阶偏导数的偏导数，称为原来阶偏导数的偏导数，称为原来函数的函数的n阶偏导数阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数偏导数.前页前页结束结束后页后页例例7 求求 的二阶偏导数的二阶偏导数.3233yxyxz,66322yxyxz,9223yxxyz,63 32xyyxxz解解,18 222yxyz,183222xyxyxz.183222xyxxyz前页前页结束结束后页后页).1 , 1 , 1 (),2 , 1 , 1 (,),(222xyzxxffzxyzxyzyxf求设例例8,2),( 2xzyzyxfx解解,2),(zzyxfxx,2),(yzyxfx

33、y, 0),(zyxfxyz. 0) 1 , 1 , 1 (xyzf, 4)2 , 1 , 1 (xxf前页前页结束结束后页后页例例9 设设 ，求，求., sine222yxzxzyxzx.sin) 1(esinesine yxyxyxzxxx解解.sin)2(esinesin) 1(e22yxyyxxzxxx.cos) 1(e2yxyxzx前页前页结束结束后页后页7.3.1 全微分的概念全微分的概念 全增量设二元函数全增量设二元函数y = f(x,y)在点在点(x0 ,y0)的某邻域的某邻域内有定义内有定义.当自变量当自变量x，y在点在点(x0,y0)的该邻域内分别的该邻域内分别取得增量取得

34、增量 和和 时，函数的全增量为时，函数的全增量为x0000(,)(,)zf xx yyf xy y 7.3 7.3 全微分全微分一、全微分的定义前页前页结束结束后页后页例例1 设矩形金属薄板长为设矩形金属薄板长为x，宽为，宽为y，则面积，则面积S=xy.薄板薄板受热膨胀，长自受热膨胀，长自x0增加增加 ，宽自，宽自y0增加增加 ，其面积相，其面积相应增加应增加 000000()() .Sxxyyx yyxxyxy xy全增量全增量 由由 三项组成三项组成. 比其余两项小得多比其余两项小得多.Syxyxxy，00yx ，令22)()(yx前页前页结束结束后页后页定义定义2 2 设二元函数设二元函

35、数z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x0,y0)(x0,y0)的某邻域内的某邻域内有定义，如果有定义，如果z=f(x,y)z=f(x,y)在点在点(x0,y0)(x0,y0)的全增量的全增量),(),(0000yxfyyxxfz可表示为可表示为),(oyBxAz其中其中A，B与与 无关，无关， 是比是比 高阶的无穷小，则称高阶的无穷小，则称 为函数为函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处的全微分，记作处的全微分，记作dz，即，即yx ,)(,)()(22oyxyBxAdyzA xB 也称函数也称函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处可微处可微.前页前页结束结束后页后页 与一

36、元函数类似，全微分与一元函数类似，全微分dz是是 的线性函数，的线性函数， 是比是比 高阶的无穷小高阶的无穷小.当当 充分小时，可用充分小时，可用全微分全微分dz作为函数的全增量作为函数的全增量 的近似值的近似值.dzz z二、全微分存在的必要条件二、全微分存在的必要条件定理定理1 (全微分存在的必要条件全微分存在的必要条件) 如果函数如果函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处可微，则处可微，则f(x,y)在该点的两个偏导数存在，并且在该点的两个偏导数存在，并且 A=fx(x0,y0), B=fy(x0,y0).由定理由定理1可得到全微分的计算公式：可得到全微分的计算公式：0000d(,

37、)(,)xyzfxyxfxyy ,xy|,|xy 前页前页结束结束后页后页与一元函数微分类似，规定自变量与一元函数微分类似，规定自变量x，y的增量等于自的增量等于自变量的微分变量的微分dx，dy，即，即 .于是全微分于是全微分又可写成又可写成yyxxdd，0000d(,)d(,)dxyzfxyxfxyy 如果函数如果函数f(x,y)在开区域在开区域D内每一点处都可微，则称内每一点处都可微，则称f(x,y)在域在域D内是可微的内是可微的.这样，域这样，域D内任一点处的全微分内任一点处的全微分为为d( , )d( , )dxyzfx yxfx yy定理定理2 (全微分存在的必要条件全微分存在的必要

38、条件) 如果函数如果函数z=f(x,y)在在 (x0,y0)点可微，则函数点可微，则函数 z =f (x,y)在点在点(x0,y0)处连续处连续.前页前页结束结束后页后页三、全微分存在的充分条件三、全微分存在的充分条件例例0 , 00 ,),(222222yxyxyxxyyxf在点在点(0,0)处不连续，故由定理处不连续，故由定理2可知，在可知，在(0,0)点是不可点是不可微的微的.但这个函数在但这个函数在(0,0)点的两个偏导数是存在的且点的两个偏导数是存在的且. 0)0 , 0( , 0)0 , 0(yxff该例说明，尽管函数在该例说明，尽管函数在(0,0)点的两个偏导数存在，但函点的两个

39、偏导数存在，但函数在数在(0,0)点仍是不可微的，即定理点仍是不可微的，即定理1的逆定理是不成立的的逆定理是不成立的.下面的定理给出了函数下面的定理给出了函数z=f(x,y)可微的充分条件可微的充分条件.前页前页结束结束后页后页定理定理3(全微分存在的充分条件全微分存在的充分条件) 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x,y)存在连续的偏导数存在连续的偏导数 ，则函数，则函数z=f(x,y)在点在点(x,y)可微可微.（充分而不必要）（充分而不必要）),(),(yxfyxfyx例如例如222222221()sin, 0( , )0, 0 xyxyxyf x yxy 在在O(0,0)处可微，但

40、偏导数在原点处可微，但偏导数在原点O(0,0)不连续不连续.上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的上面三个定理可以完全推广到三元和三元以上的多元函数多元函数.如三元函数如三元函数u=f(x,y,z)的全微分存在，则有的全微分存在，则有dddduuuuxyzxyz前页前页结束结束后页后页例例2 求求 的全微分的全微分.3233yxyxz解解,6332xyyxxzyyzxxzzddd而且它在而且它在Oxy平面上处处连续，所以在点平面上处处连续，所以在点(x,y)处的全微处的全微分为分为，2239yxxyz.d)9(d)63(22332yyxxxxyyx前页前页结束结束后页后页例例3 求求 在点

41、在点(2,1)处的全微分处的全微分.xyz = e解解 由于由于 与与 是连续函数，且是连续函数，且exyzyx ,e212yxxz22212.xyxyzde de d所以在点所以在点(2,1)处的全微分为处的全微分为,e2 212yxyzxyzxye前页前页结束结束后页后页例例4 求求z=xy在点在点(2,3)处，关于处，关于 的全的全增量与全微分增量与全微分.2 . 0, 1 . 0yxxyyyxxz)(解解yyzxxzzddd将各值代入上式，得到将各值代入上式，得到. 7 . 0d ,72. 0zz，yxyxxy.ddyxxyyxxy前页前页结束结束后页后页例例5 求求 的全微分的全微分

42、.sin2yuxyze解解, 1xu.dede2cos21ddzyyzyxuyzyz,e2cos21yzzyyu,eyzyzu前页前页结束结束后页后页7.3.2 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用0000zd(,)(,)xyzfxyxfxyy z(,)( , )f xx yyf x y (,)( , )( , )( , )xyf xx yyf x yfx yxfx yy 从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差从二元函数全微分定义可知，全增量与全微分之差是是 的高阶无穷小，所以当的高阶无穷小，所以当 很小时有很小时有| |,|yx又又从而从而前页前页结束结束后页后页例例6 求

43、求 的近似值的近似值.4.01(1.98)解解计算计算yxyxf),(4.01(1.98)47.151601. 09 .11)02. 0(32)4 , 2()4 , 2()4 , 2(1.98)4.01fyfxfyx(,)f xx yy 32) 4 , 2(421yxyxyxf09.11ln) 4 , 2(42yxyyxxf的值可以近似看作的值可以近似看作时时当当的值的值取取1.98,4.01xxyy 2,-0.02,4,0.01xxyy 前页前页结束结束后页后页7.4.1 多元复合函数的微分法多元复合函数的微分法 设设z=f(u,v)是变量是变量u，v的函数，而的函数，而u，v又是又是x，y

44、的的函数，即函数，即 ，如果能构成，如果能构成 z 是是x ,y 的的二元复合函数二元复合函数( , ),( , )ux y vx y ( , ),( , ),zfx yx y 如何求出函数如何求出函数z对自变量对自变量x，y的偏导数呢？的偏导数呢？7.4 7.4 多元复合函数与隐含数的微分法多元复合函数与隐含数的微分法前页前页结束结束后页后页定理定理 设函数设函数 在点在点(x,y)处有偏处有偏导数，而函数导数，而函数z=f(u,v)在对应点在对应点(u,v)有连续偏导数，那有连续偏导数，那么么复合函数复合函数 在点在点(x,y)处的偏导数处的偏导数 存在，且存在，且,zzxy),(),(y

45、xvyxu),(),(yxyxfz, .zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy复合函数的结构图是复合函数的结构图是zuvxy前页前页结束结束后页后页公式公式(1)给出给出z对对x的偏导数是的偏导数是(*) xvvzxuuzxz 公式公式(*)与结构图两者之间的对应关系是：偏导数与结构图两者之间的对应关系是：偏导数 是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公是由两项组成的，每项又是两个偏导数的乘积，公式式(*)的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即的这两条规律，可以通过函数的结构图得到，即xz (1)公式公式(*)的项数，等于结构图中自变量的项数，等于结构图中自变量x到达到达z路径的个数

46、路径的个数.函数结构中自变量函数结构中自变量x到达到达z的路径有两条的路径有两条.第一条是第一条是 ，第二条是，第二条是 ，所以公，所以公式式(*)由两项组成由两项组成.zvxzux 前页前页结束结束后页后页 (2)公式公式(*)每项偏导数乘积因子的个数每项偏导数乘积因子的个数,等于该条路等于该条路径中函数及中间变量的个数径中函数及中间变量的个数.如第一条路径如第一条路径 ,有一个函数有一个函数z和一个中间变量和一个中间变量u，因而，第一项就是两，因而，第一项就是两个偏导数个偏导数 与与 的乘积的乘积.zuxxuuz 复合函数结构虽然是多种多样，求复合函数的偏导数复合函数结构虽然是多种多样，求

47、复合函数的偏导数公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法公式也不完全相同，但借助函数的结构图，运用上面的法则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式则，可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.这一这一法则通常形象地称为链式法则法则通常形象地称为链式法则.前页前页结束结束后页后页1.设函数设函数w =f (u,v)有连续偏导数，而有连续偏导数，而 可导，则复合函数可导，则复合函数只是自变量只是自变量x的函数，的函数，求求z 对对x的导数的导数 .( ),ut ( )vt ( ), ( )zftt tzdd 可得可得ddddtddzzuzvutvt下面借助于函数的结构图，利用链式法则

48、导出全下面借助于函数的结构图，利用链式法则导出全导数公式导数公式.zuvt前页前页结束结束后页后页 在这里，函数z是通过二元函数z=f(u,v)而成为t的一元复合函数.因而，z对t的导数 又称为z对t的全导数.对公式(2)应注意，由于z，u，v这三个函数都是t的一元函数，故对t的导数应写成 ，而不能写成 .tvtutz, tvtutzdd,dd,dd tzdd 前页前页结束结束后页后页., yzxz例例1 设设 求求,sineyxvxyuvzu解法解法1 得得xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 1cosesinevyvuu，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(ey

49、xyxxxy1cosesine vxvuu前页前页结束结束后页后页解法解法2 对于具体的二元复合函数，可将中间变量对于具体的二元复合函数，可将中间变量u，v，用用x，y代入，则得到代入，则得到 ，z 是是x，y二元复合函数，根二元复合函数，根据复合函数的链式法则，得据复合函数的链式法则，得)sin(eyxzxy)cos(e)sin(e yxyxyxzxyxy)cos(e)sin(e yxyxxyzxyxy，)cos()sin(eyxyxyxy).cos()sin(eyxyxxxy前页前页结束结束后页后页例例2 设设 ,其中其中f(u,v)为可微函数，求为可微函数，求),(22xyyxfz ,.

50、zzxy解解 令令 ，可得，可得22,uxy vxy xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz 其中其中 不能再具体计算了，这是因为外层函数不能再具体计算了，这是因为外层函数f 仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.vzuz,，vzyuzx 2，vzxuzy 2前页前页结束结束后页后页例例3 设设 求求,e2sin),(222yxvxvxvxfzv.xz解解 xvvfxfxz 在该例中，我们清楚看出在该例中，我们清楚看出 与与 含意是不同的含意是不同的.xfxz .4)sin(4sin 22xyxxvxf显然不等于显然不等于 .xz xvxxv

51、v2)ecos()4(sin.2e)cos(4)sin(222222xyxxxyxyx前页前页结束结束后页后页例例4 设设 求求.dd ,ln,e,2tztyxxztytyyztxxztzdddddd解解 得得txxyxyty1lne221) 1(222yxxyxyyy).1(ln22ttt前页前页结束结束后页后页一 、由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=y(x)的求导公式 若函数若函数F(x, y)在点在点P0(x0,y0)处的偏导数处的偏导数 ，则方程则方程F(x,y)=0在点在点P0的一个邻域内，确定了一个隐的一个邻域内，确定了一个隐函数函数y=y(x)，并假定，并假定y(x)可导，

52、可导，F(x,y)可微，那么如何可微，那么如何求求 呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数呢？利用二元复合函数的求导法则导出隐函数求导的一般公式求导的一般公式.00PyFxydd7.4.2 隐含数的微分法隐含数的微分法前页前页结束结束后页后页首先将首先将y = y(x)代入方程代入方程F(x,y)=0，得恒等式，得恒等式 , ( )0,F x y x 将左端看成将左端看成x的复合函数，两端对的复合函数，两端对x求导，得求导，得d0dxyyFFx由于假定由于假定 ，故有，故有ddxyFyxF 0yF 公式公式(3)就是由方程就是由方程F(x,y)=0确定的隐函数确定的隐函数y = y(x)的导

53、数公式的导数公式.前页前页结束结束后页后页.dd0esinxyyyxx，求解解 令令 ，则有，则有xyyxyxFesin),( ,esinxxyyF代入公式代入公式(3)，得，得.ecosesinddxxyxyxyyFFxy.ecos xyyxF例例5 设设前页前页结束结束后页后页例例6 设设.ddsin21xyyyx，求解法解法1 将方程写成将方程写成 . 两端对两端对x求导求导(y是是x的函数的函数)，得，得0sin21yyx，0ddcos21dd1xyyxy.cos22dd 02cosyxyy，所以得到由于前页前页结束结束后页后页解法解法2 用公式用公式(3)求求 .xydd，令yyxy

54、xFsin21),(,cos211 , 1 yFFyx则代入公式代入公式(3)，得，得.cos22cos2111ddyyFFxyyx前页前页结束结束后页后页二、由方程二、由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数所确定的隐函数z=z(x,y)的偏导数公式的偏导数公式将将z=z(x,y)代入方程代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式，得恒等式 , , ( , )0F x y z x y 前面已假定前面已假定 ，由上式解出，由上式解出 ，得，得yzxzFz, 0, yxzzFFzzxFyF 将上式左端看成将上式左端看成x，y的复合函数，两端对的复合函数，两端对x和和y求导，得求导，得, 010 ,

55、001yzFFFxzFFFzyxzyx前页前页结束结束后页后页例例7 设设).(,2222为常数，求RyzxzRxzyx解解 将方程定成将方程定成 ，令，令02222Rxzyx.2 ,2 ,22 zFyFRxFzyx得假设假设 ，方程，方程F(x,y,z)=0确定了函数确定了函数z=z(x,y)，由公式，由公式(4)，得，得02 zFz,zxRFFxzzx.zyFFyzzyRxzyxzyxF2),(222前页前页结束结束后页后页定义定义 设函数设函数 z = f (x,y) 在点在点 (x0,y0) 的某一邻域内有定的某一邻域内有定义，如果在该邻域内任何点义，如果在该邻域内任何点 (x,y)

56、的函数值恒有的函数值恒有f (x,y)f (x0,y0) (或或f (x,y)f (x0,y0)，则称点则称点(x0,y0)为函数的极大值点为函数的极大值点(或极小值点或极小值点). f (x0,y0)为极大值为极大值(或极小值或极小值)，极大值和极小值统称为极值，极大值和极小值统称为极值. 极大极大值点和极小值点统称为极值点值点和极小值点统称为极值点.7.5.1 7.5.1 多元函数的极值多元函数的极值7.5 7.5 多元函数的极值与最值多元函数的极值与最值前页前页结束结束后页后页 注注（1极值点一定是区域内的点极值点一定是区域内的点（2不等式不等式f(x,y)f(x0,y0 )(或或f(x

57、,y)f(x0,y0) 也只在某也只在某个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上个邻域的局部范围内成立，不要求在函数整个定义域上成立成立前页前页结束结束后页后页例例1 函数函数 ，在原点，在原点(0,0)处取得极处取得极小值小值1.因为，对于任何点因为，对于任何点(x,y)(0,0)，都有，都有2221),(yxyxff(x,y)f(0,0)=1,这个极小值也是最小值这个极小值也是最小值. .该函数的图形是椭圆抛物面该函数的图形是椭圆抛物面. .在曲面上点在曲面上点(0,0,1)(0,0,1)的的z z坐标小于曲面上其他点的坐标小于曲面上其他点的z z坐坐标标. .例例2 函数函数 ，

58、在原点，在原点(0,0)处取得极处取得极大值大值1.因为对于任何因为对于任何(x,y)(0,0)，都有，都有f(x,y)f(0,0)=1这个函数的图形是椭圆抛物面这个函数的图形是椭圆抛物面.在曲面上点在曲面上点(0,0,1)的的z坐坐标大于曲面上其他点的标大于曲面上其他点的z坐标坐标.2221),(yxyxf前页前页结束结束后页后页定理定理1 (极值存在的必要条件极值存在的必要条件) 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有取得极值，且在该点的偏导数存在，则必有0000(,)0, (,)0 xyfxyfxy 注注1驻点不一定是函数的极值点驻点不一

59、定是函数的极值点.例如，函数例如，函数z=x2y2，在点，在点(0,0)处的两个偏导数同时为零，即处的两个偏导数同时为零，即容易看出驻点容易看出驻点(0,0)不是函数的极值点不是函数的极值点. (0,0)0, (0,0)0.xyzz （2极值点也可能不是驻点，因为偏导数极值点也可能不是驻点，因为偏导数不存在的点也可能是极值点，如锥面不存在的点也可能是极值点，如锥面 的的顶点顶点(0,0,1)，偏导数不存在，但顶点是极值点，偏导数不存在，但顶点是极值点.221yxz前页前页结束结束后页后页定理定理2(极值的充分条件极值的充分条件) 设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的的某一邻域内

60、有连续的一阶与二阶偏导数，且某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，且(x0,y0)是是函数的一个驻点，即函数的一个驻点，即 ,记记 ，那么，那么0000(,)0,(,)0 xyfxyfxy 000000(,),(,),(,)xxxyyyAfxyBfxyCfxy 当当B2AC0时时, 是函数的极值点是函数的极值点, A0时，时， 为极小值点，为极小值点，f(x0,y0)为极小值为极小值.(2) 当当B2AC0时，时，f(x0,y0)不是极不是极值值.(3) 当当B2AC=0时，时，f(x0,y0)可能为极值，也可能不是极值可能为极值，也可能不是极值.00(,)xy00(,)xy00(,)xy前页前