MSDC.初中数学.相似三角形A级.第04讲.教师版

1、内容基本要求略高要求较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段 的比、成比例线段，会判断四条 线段是否成比例，会利用微段的 比例关系求未知线段；了解黄金 分割；知道相似多边形及其性质； 认识观实生活中物体的相似；了 解图形的位似关系会用比例的尿本性质解决有美 问题；会用相似多边形的性质解 决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判 定进行简单的推理和i十算；会利 周三用彩的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边彩及其性质；认识 现实生活中物体的相似会用相似多边形的胜质解决简 单问题1 .相似定义，性质，判定，应用和位似2 .相似的

2、判定和证明3 .相似比的转化想前战冽希尔宾斯呆三角形许多人看到“百花曲线”时，都感到十分奇怪，把它称为“数学怪物 后来，人们发现像“香花曲线” 这样的“数学怪物”还真不少.让我们再来欣赏“希尔宾斯基三角形，它是波兰数学家希尔宾斯基最先 作出的.图1是一个正三角彩，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去.按 照这个规律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3这样就可以得到一个希尔宾斯基三角彩.看到这样的图烫，你能想到什么呢？能跟我们平时做的题型产生叶么联想？能想到如臬这个图后出现在中 考题型中，会以什么方式出现/马？模块一斜）射影定理类相似问题射影定理常见及犷展模型:

3、国 1 有：AB，=BD BC图 2 有： AS2 = BD ffC.AD1 = RD DCC2 DC BC【例 1 】 如图，直知 ABC 中，ABL AC,证明：人生=8 D H，, AC2 = CD - BC AD =BD CD .【难度】3星 【解析】由两组对角分别相等证明三组相似三角形，由三组相似三角形可得到证明.【答案】丁 4A，AC , AD X BC:.ABD s acA D s acBA：AABD said.RD AD 2，n AD = BD CD AD CD田 e) r* 4 HB D A B?CO/1Cj同理可得,=AR = BD BC =人C =COECAB BCAC

4、BC点评：上述的结论就叫做射影定理，这个结论及相关基本图形非常重要.【巩固】如图，在直角梯形ABCD中，AB/ CD 9 AH BC ,对消线AC L BD 垂足为E , 4D = Z),过E的直线尸八6交/W于尸.(0八户=BE ,(2) A/2 =AE EC .【难度】3星【解析】(1)根据平行线分线段成比例以及等腰三角形两底角相等得到证明.(2)由射影定理直接可得8月2 =4.g，又BE - AF ,线段的等量代换可得到人尸=4E . C .【卷案】(0 V EF If AB 二 /DFE = ZDEFDF = DE )又AD BD f：.AF BE .(2) ZAffC = 9(T,

5、BE 1 AC ,，A E恰是CD的中点，下列式子成立的是()A . bF2 =-AF2 B . 叱?C . HE1 -AF2 D . BF? JaF? 2323【难度】3星【解析】本懑根据选项可以确定利用射影定理可以解决.【答案】4，在一心人6c中,BF 1 AC一.根据射影定理有BF” = AF - PC又：EC AK ,点七为OC中点 C I, ,=-AB AF 2二 BF = Af FC = -AF2 2故选A .【例2】 如图，ABC 中，AD LBC T D BE AC Te , OF，AB 丁尸，交 BE 丁 G , FD AC 的延长线交于点，求证：a = FG/H .【难度】

6、4星 【解析】熟悉了拿握了射影定理后，这一题就不难解答了.直接证明。尸=G卜7i有些困难？可通过射影定理转化成证明A尸,。下Fa 即证明r F F H=,这个结论比较明显，证明人舞广。s A”k人即可.FG AF【答案】”尸，人B.AE_LAV/VGGmNEG”二 HiFBG s Rt3FHA.BF FG 人 =,即 AF，BF = FG , FHFH AF义 在对4 60 DF /IB根据射影定理有：OF2. AF.BFDt1 =【巩固】已知：如图3ZACB = ZCDA = ZAEB = 90 ilE： ZAEC = ZACF .【难度】3星【解析】由题目中求角相等，根据本章学习的内容可知

7、，我们可能由已知条件证明相似，进而得到相等的角，根据三点定形法，可初步猜测：4AECS4ACF.由射好定理可知：AC2 = ABAD -,又根据两角相等两三角彩相似，证明：RtAFD,得到相似比例线段： =,即AE AHAB AD AE- AF 根据线段的等量代换得到二AC2 = AE-AF ,可证明：AECs/CF【答案】在ACB t CD JL AB根据射影定理有：/AC? 八。又丁 /?/ AFD s RtABEri/ a.=，AB AD =4-AF AE AB/. AC2 = AEAE , XZCAF = ZEAC二八EC s ac/ZAEC = ZACF【巩冏】如图,RlABC中NC

8、 = 90L点。在AC上.BD AD . M是力6的中点，ME，AC 丁，点 是ME的中点,连接。.求证？ BE 1 DP .【难度】4星【解析】本题证明的关被是要证明）/ s EC8 ,证明这对相依三角形就需要由已知条件推到出有用的 成比例线段，再根据都是直角三角形，才可得证.【答策】迩按。时.V BD = AD, BM = AMA DM AB 7 ME 1. ADME2 = DE ME （射影定理） DE DEIDE BC ZME 2ME=.=PE 1 /ME CECEAEME 2,DE BC 9 =PE CEV AC BC.PE X AD:.ADEP s ECB:.ZPDE 二 ZCff

9、E:.PD L BE【拓展】如上图，在A48C中，心=FB .尸C 10的垂直平分线交4 丁七，交8c的延长线下尸， 求证：AD平分N2MC .【难度】4星【解析】解答本题的关键是要利用垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两蛤的距盍相等，再根据 线段的等量代换得到人尸-尸C.尸8,利用公共角相等可证明HFCsZkB/7A,由相似得到有用 的等角，再根据尸为筝腰三角形，利用角之间的等量代换可得到证明.【答案】连接乂F，V EF垂克平分人。，； = 尸V OF = FC F8 , :. AF2 = FC FB,AF FB = ,FC AFXV ZAFC ZBF4:.AAFC ABFA ,:.N

10、FAC = ZB ,7 ZFDA ZFAE ZFAC ZCAE ZfDA = NB 十/5力。, 二 ZBAD 二 ZCAD ,即平分ZRAC .模块二内接矩形类相似问题内排矩影类的模型及结论：其中，1 =在平时训练中遇到内接矩形类的图号，就要充分利用这一结论，有助于进行解题.AH BC【例3】/18C中，正方形ErG的两个顶点E、尸住BC上,另两个顶点G、H分别在AC、AB BC = IS.BC边上的高AD = 10 .求S卜：网川.【碓度】4至【解析】根据内接矩形的模型可列比例关系式，即可解题.【答案】设正方形E尸G的边长为工，710、G的交点为知有A M H ( d J 0 一 ) x=

11、,抨=A D H C 1。15本题有有另外一个解题思珞:相似三角形的高线比等于相似比.如图，EF II BC , 4D fiC , AM EF AE AF则=AD 6c AB AC【巩固】如图，已知4DC中，人C-S. Afl -11, 5C-4.Vs ,四边形DEC尸为正方形，其中2 ,“在边AC . BC上，F , G &AR上，求正方形的边长.【难度】3星【解析】喀【答案】过c作CH 1 AB，垂足为 I连接C.设小 -a 则 4 = I I则有 CT/? =4C,_ A”？ =8C?即 S? - J =(4)J(1】-a)3 解得 g=3,:.CH =4DE Ci /4744设正方彩的

12、边长为“，则有乱二2万，即77=一1.斛得上=石.所以正方形的边长为段.【巩周】如图，有一块三角形土地，它的底边BC=4S米，高/ = 16米，某单位要沿着底边BC修一座底而是矩形DE尸G的大楼.当这个大楼地基面积为192平方米时，这个矩形的长和宽各是多少?【难度】3星【解析】这是常见的内模矩形类相似问题，可利用模型的公式与设未知量轻松解题.【答案】24 5 24设大楼地基的长为上，则根据面枳，宽为空.A,19216 -根据内接矩形类相似模型可列：=匚，解得* = 24.4K 16所以，地基的长与宽分别为：24；24 .【拓展】如图，己知ABC中，四边形DEG厂为正方形尸在线段HC, 6c上，

13、/,G在人.匕 如&皿=3,求A4RC的面积.【难度】4星【解析】略【答案】设正方形边长为/, AF=-, C/=-, BG=-. jcxx.Cl DE由ACDEsaca日，得=CH AB 解得X = 2 ,二 AB =6,CH = 3 ,:吵1 .如图，在ARC中，人。平分N2MFD2 = FB FC 【难度】3星【解析】略 【答案】连接“V EF 垂直平分 AD , :. AF T DF：.Z4 = ZD4F ,即 N4n22 + N3又.24 = /1+/八,N2+N3 =V 40 平分NHAC , :. Z1 = Z2 ,义: NC产人=NAFB , ACFA s AAFH PA2 =

14、 FC .义: 4F = DF ,= FD2 = FB FC AF HGHC,，。的垂直平分线交.4。于E ,交RC的延长线于尸，求证:BDCF JiDCF9N1N ?Az3 NR FB.2.如图，正方形MN。的顶点在三角形ABC的边上，当边= “ 与高AD J，满足什么条件时，止方形MNPQ的血积是三角形4&C面积的半？【难度】3星【解析】根据内接矩号的模型可得到一个比例等式，再根据已知条件：正方形面积是三角卷面积的一半, 列出另外一个等或，通过两个等式得到a与方的关系.【答案J a -*设正方形的边长为“根据内接矩形模型可列：,得到：x =. a ha + h又;正方形的面积是三比形ABC

15、面积的一半J.可列：-a - A j = J：* 可得：x ah两式子联立：y/ah 1解得：（41 - ft ）2 = 0 9即=：力.ah 24献今思箫色到1 .通过本堂课你学杂了2 .掌握的不太好的部分3 .老师点评：1 .如图9 等腰ABC 中9 ABmAC , AD BC To , 证；BP： = PE-PF 【难度】4星【解析】略【答案】连接CP,由C/人。，Z/7 = Z1 再证明APR宅kA PC可得/I = /2（也可以由人4= AC,尸8 = C ,于是N4AC等量减等量使可得NI = N2 ）5LV 4CPE = ZFPC ; &CPEs AFPC :.PC2 M PE PF ,叉：PC = PB , PB= PE PF .2 .如图尸已知AbC 中r 4C,=3, ac=4, NC = 90。 上，A，, G在入S上,求止方形的边长.CF AB ,延长6尸交人C 丁 勇交CF